[1] Получено важное неравенство Пуанкаре; для неоднородных фигур относительного равновесия оно выглядит так: $\omega^{2} \leqslant 2 \pi G \bar{\rho}$, где $\bar{\rho}-$ средняя плотность. Выполнение этого неравенства гарантирует направление внутрь полной силы тяжести и неотрицательность давления. Впоследствии Крудели в два раза усилил это неравенство (только при $\rho=$ const). Для общей теории фигур относительного равновесия эти два критерия имеют, однако, несколько разное значение: если предел Крудели может быть превзойден для составных фигур равновесия, то предел Пуанкаре – это своего рода «табу», которое не дано нарушить никакой жидкой фигуре относительного равновесия.
[2] Во-первых, название раздела неудачно. Уместнее был бы заголовок «Теорема Ляпунова», поскольку под теорией великого русского математика в этой области науки все понимают совсем иное – его обширные и грандиозные исследования по фигурам равновесия и их устойчивости.

Далее, вопрос в тексте «Существуют ли другие фигуры равновесия?» в данном контексте сейчас звучит просто риторически. Из теоремы Лихтенштейна о существовании у любой фигуры относительного равновесия экваториальной плоскости симметрии немедленно следует, что кроме сферы, других фигур равновесия для невращающейся жидкой массы не существует.

Само доказательство теоремы Ляпунова о так называемой потенциальной энергии сферы Пуанкаре проводит оригинальным и более физичным (но вовсе не более строгим!) способом, привлекая понятие о емкости. Обратим внимание на важную, чисто физическую формулу $S^{2}=12 \pi T C$ (см. с. 26). Впоследствии метод емкости активно разрабатывался (см., например, $\{11\}^{1}$ ). Однако необходимо отметить, что доказательство теоремы у Пуанкаре совершенно неоправданно затянуто, и почти весь раздел «Сфера – единственная фигура равновесия», кроме буквально двух последних фраз, можно изъять как не имеющий абсолютно никакого отношения к проводимому доказательству. И вслед за словами «… сферическое тело имеет наименьшую электростатическую емкость» нужно сразу переходить к словам «Но энергия тела обратно пропорцинальна…».
${ }^{1}$ В данном разделе в фигурных скобках даны ссылки на список рекомендуемой литературы, приведенный после комментариев.

Но ненужное здесь может пригодиться в другом. В этом «лишнем» куске текста есть намек на любопытную идею о разделении полной гравитационной энергии тела на две составляющие – внутреннюю и внешнюю. Нельзя, конечно, согласиться с выводом о том, что «… если тело находится в равновесии, соотношение между частью интеграла, взятой по внутреннему объему, и его частью, взятой по внешнему объему, постоянно и равно $1 / 5$ ». Я ранее доказал, что этот вывод верен только для однородной сферы, и даже в случае сфероида ситуация уже значительно сложнее. Впрочем, идея о разделении может быть применена как один из составных элементов при выводе принципиально нового выражения для угловой скорости у фигур относительного равновесия $\{15\}$.
[3] Совершенно нетривиальное обобщение теоремы Ляпунова дано в статье $\{14\}$.
[4] Пуанкаре подводит интуиция, и главная мысль в оставшейся части раздела является неудачной. Он почему-то допускает, а его коллега Аппель $\{3\}$ даже заостряет на этом внимание, что поместив жидкую фигуру относительного равновесия во внешнюю среду, обеспечивающую постоянное давление на ее границе, можно такую фигуру заставить вращаться быстрее, чем это допускает неравенство $\omega^{2}<2 \pi G \bar{\rho}$. Это, однако, невозможно. Дело в том, что если $\Delta U=2 \omega^{2}-4 \pi G \bar{\rho}>0$, то полный потенциал $U$ имеет минимум внутри тела, т. е. при переходе из внутренней точки фигуры на ее поверхность эта функция $U$ испытывает возрастание и $U_{0}>U(x, y, z)$. Однако, как отметил впервые Лихтенштейн, такое возрастание полного потенциала означало бы и рост к поверхности потенциала гравитационного, что можно продемонстрировать, выбирая путь перехода на поверхность параллельно оси вращения. Но, и в этом все дело, в теории потенциала хорошо известно, что гравитационный (ньютоновский) потенциал не может иметь минимума внутри самой притягивающей массы. Это обстоятельство и делает абсурдным предположение о возможности $\omega^{2}>2 \pi G \bar{\rho}$.

Однако то, что не проходит для объемных фигур, может быть достигнуто для фигур двумерных. Правда, в одном сугубо частном случае. Таков случай жидкого кругового гравитирующего цилиндра, имеющего бесконечную длину и помещенного во внешнюю среду: для него предел Пуанкаре может быть превышен $\{9\}$. Однако в таком динамическом режиме цилиндр будет явно неустойчивым.
[5] Вскоре (1890г.) Пуанкаре докажет более общую теорему о невозможности для фигуры относительного равновесия находиться в состоянии прецессии. Одно уточнение к этой теореме сделал В. А. Антонов (в заметке «О невозможности свободной прецессии жидкой массы, достигшей относительного равновесия» $\{16\}$ ). При значительно более общих условиях невозможность прецессии доказана в статье $\{15\}$.
[6] Пуанкаре не договаривает: вращение фигуры относительного равновесия возможно только вокруг наименьшей из главных осей эллипсоида инерции. Несколько иначе обстоит дело у фигур с внутренним течением $\{8,9\}$ и у звездных систем $\{9\}$.
[7] Сейчас принято говорить о динамической или колебательной (вместо временной) неустойчивости. Самый большой вклад в развитие теории устойчивости внес А. М. Ляпунов.
[8] В отличие от твердого тела у жидкой фигуры относительного равновесия нет выбора: ее равновесие вообще несовместимо с вращением вокруг средней и большой осей эллипсоида инерции (см. комментарий [6]).
[9] Речь идет об очевидном, в общем-то, факте: из максимума $W+$ $+\frac{J \omega^{2}}{2}$ следует, что и разность $W-\frac{J \omega^{2}}{2}$ будет иметь максимум; обратное же не верно.
[10] Ахиллесовой пято́й в проблеме Клеро следует признать вопрос о форме уровенных поверхностей. Сам Клеро, не мудрствуя и ничего не доказывая, просто выбрал сжатые сфероиды по принципу «что ближе лежит». Попал в точку! Лаплас и Лсжандр, пользулсь разложснисм потснциала по сфсри ческим функциям, уже пытались обосновать такой выбор. Пуанкаре в данном разделе модифицирует метод Лапласа и не повторяет ошибок последнего при разложении потенциала в ряды. Однако в принципиальном отношении ничего нового здесь мы не видим, и ситуация остается столь же неудовлетворительной, как и раньше. Принято говорить, что задача о фигуре равновесия неоднородной жидкой массы решается в так называемом первом приближении (когда отбрасываются все величины порядка $\omega^{4}$ и выше). Однако все попытки решить проблему уже во втором приближении с треском проваливаются по той простой причине, что неоднородные фигуры не могут иметь строго эллипсоидальную форму или иметь эллипсоидальную стратификацию внутри. И возникает вопрос, что же это за первое приближение, если мы не знаем, к чему приближаться, ведь точное решение вообще неизвестно. Нелепость ситуации отразил Ляпунов: «… совершенно неправильно искать элементы эллипсоидов в первых приближениях, ибо это элементы тех эллипсоидов, которые сами представляют неизвестные поверхности в первом приближении» $\{4\}$. Так что уверенный тон данной книги не может никак заменить собой истинно строгого анализа проблемы.
[11] Содержание этого раздела можно резюмировать так: формула (2) и неравенство $-3 \leqslant \frac{r D^{\prime}}{D} \leqslant 0$ показывают, что параметр концентрации $\frac{r D^{\prime}}{D}=0$ при $r \rightarrow 0$. Тогда, на основании известных свойств особых точек дифференциальных уравнений первого порядка, можно утверждать, что и уравнение (12) имеет только одно решение, удовлетворяющее условию $\eta=0$ при $r \rightarrow 0$.
[12] Здесь досадная путаница в выводах. Равенство $\eta=3$ относится, конечно, к телу, вся масса которого собрана в центре. Поэтому в последнем неравенстве случай $e=\frac{\varphi}{2}$ (предел Гюйгенса) соответствует как раз фигуре с предельной концентрацией, а $e=\frac{5}{4} \varphi$ (Ньютон, Начала) – фигуре с однородным распределением плотности.
[13] В этом разделе установлено, что все случаи, кроме $n=1$ и $n=2$, являются тривиальными.
[14] Численные оценки в этом разделе сделаны для того, чтобы выяснить, насколько первое приближение в теории Клеро согласуется с наблюдаемыми характеристиками для Земли. Пуанкаре верно отмечает, что имеющее место разногласие не удается устранить даже с учетом второго приближения (что и не удивительно, см. комментарий [10]). Сейчас полагают, что расхождение теории и наблюдений является следствием особенностей строения нашей планеты; в поверхностной оболочке Земли глубиной 90-100 км условия гидростатического равновесия выполняются лишь приближенно, поэтому теория Клеро здесь неприменима! Замечание Пуанкаре о малой вероятности того, что Земля имеет жидкое ядро, разумеется, неверно. Это замечание выглядит тем более странным, что именно Пуанкаре разработал гидродинамическую теорию жидкого ядра Земли.
[15] Вывод последнего выражения содержит у Пуанкаре шесть упущений. В исправленном виде последние формулы будут выглядеть так:
\[
g=M-2 M \zeta+\frac{3}{2}(C-A) Y-\frac{2 \omega^{2}}{3}-\frac{1}{3} \omega^{2} Y
\]

следующая формула верна;
\[
\begin{array}{l}
g=g_{0}\left(1-\frac{2 e_{1} Y}{3}\right)+g_{0}\left(e_{1}-\frac{\varphi}{2}\right) Y-\frac{2 \varphi g_{0}}{3}-\frac{\varphi g_{0} Y}{3}, \\
\frac{g}{g_{0}}=1+\frac{e_{1} Y}{3}-\frac{5 \varphi}{6} Y-\frac{2 \varphi}{3}=1-\frac{2 \varphi}{3}-\frac{Y}{3}\left(\frac{5 \varphi}{2}-e_{1}\right) .
\end{array}
\]

Кроме того, под формулой Клеро принято понимать выражение ( $\varphi$ широта)
\[
\frac{g}{g_{e}}=1+\left(\frac{5}{2} \varphi-e_{1}\right) \sin ^{2} \varphi .
\]

Последнее следует из формулы Пуанкаре с учетом того, что $Y=1-3 \sin ^{2} \varphi$, а $g_{e}$ на экваторе отнюдь не равна $g_{0}=\frac{G M}{r_{1}^{2}}$ и дается выражением
\[
g_{e}=g_{0}\left(1+\frac{e_{1}}{3}-\frac{3}{2} \varphi\right)
\]

Все расчеты ведутся в первом приближении.
[16] Величина $l$ по смыслу должна быть положительной, поэтому знаки «-» здесь являются лишними.
[17] Однако это важное утверждение Пуанкаре ничем не обосновано! Смысл его в том, что для каждого $n \geqslant 2$ существует одна и только одна фигура бифуркации. Для $n=3$ это строго доказал А. М. Ляпунов. Пуанкаре же здесь ничего не доказывает. Более того, в изложении вопроса Аппелем ( $\{3\}$, стр. 186), где дана ссылка на Клейна, есть прямое недоразумение, ибо последовательность эллипсоидов Якоби не является последовательностью софокусных друг другу эллипсоидов. Но именно эту софокусность ошибочно и подразумевают здесь Пуанкаре и Аппель.
[18] Эту неэллипсоидальную фигуру равновесия называют грушевидной. У самого Пуанкаре эскиз ее неточен. Более правильно форму грушевидной фигуры выяснил Дарвин $\{8\}$; контур этой фигуры оказывается более вытянутым и не имеющим точек перегиба и, тем более, участков с отрицательной кривизной ( $\{3\}$, стр. 214).
[19] Здесь говорится о том, каким образом заканчивается последовательность эллипсоидов Якоби. При $a \rightarrow \infty$ эллипсоид вытягивается и образуется тонкая игла круглого сечения; угловая скорость убывает до нуля, момент вращения возрастает до бесконечности. В этом пределе $b \rightarrow c$, и так как все корни характеристического полинома находятся именно в этом стягивающемся в точку интервале, то вслед за бифуркацией $n=3$ (груша) быстро добавляются все новые неустойчивости. Поэтому для гармоник высокого порядка этот иглообразный эллипсоид становится аналогичен невращающемуся жидкому круговому цилиндру, неустойчивому на распад в виде отдельных сферических сгустков.
[20] В этом абзаце путаница, так как вдоль последовательностей Маклорена и Якоби описывается поведение не углового момента $M$ (пусть и приведенного), а совсем другой величины – угловой скорости $\omega$. Сам же угловой момент возрастает до бесконечности вдоль обеих последовательностей фигур равновесия. Ссылка на Лиувилля, конечно, неправомерна.

[21] При углублении теории выяснилось, что метод обмена устойчивостью в изложенной здесь постановке не имеет той широкой области применения, которую ему прочили. Так, он верно освещает ситуацию с передачей вековой устойчивости от сфероидов Маклорена к эллипсоидам Якоби, но дает сбой, предсказывая переход устойчивости от них к грушевидным фигурам. Это привело Пуанкаре к весьма досадной ошибке в полемике, завязавшейся вокруг вопроса об устойчивости новых конфигураций. Благодаря Шварцшильду (1896), метод обмена устойчивостью был дополнен необходимым для выяснения истины анализом поведения углового момента при образовании бифуркационных фигур (см. комментарий [22]). Интересна физическая трактовка этой проблемы. У самого Пуанкаре неявно полагалось, что при бифуркации внутреннее трение в жидкости никак себя не проявляет. И это действительно имеет место при бессдвиговой деформации жидкого сфероида в трехосный эллипсоид. Но уже при образовании из эллипсоида Якоби грушевидной фигуры путем наложения на него возмущений с третьей гармоникой жидкие слои тела испытывают взаимные смещения, и эффекты внутренней вязкости здесь себя проявляют. Похоже, однако, что Пуанкаре ни в какой мере не прислушался к аргументам, высказанным Шварцшильдом $\{3\}$.
[22] Надежда Пуанкаре на то, что угловой момент критического эллипсоида Якоби имеет минимум в сравнении со значением этой характеристики у ответвляющейся грушевидной фигуры в данном контексте выдает его сокровенную веру в устойчивость грушевидных конфигураций. Однако ни доказать, ни опровергнуть это предположение сам он не смог. Пуанкаре скончался в 1912 г., так и не узнав истину в этом вопросе. В отсутствии строгого доказательства дело зашло слишком далеко. Под влиянием авторитета Пуанкаре группа видных ученых того времени (Кельвин, Тейт, Дарвин) выдвинули целую программу по изучению эволюции и распада грушевидной и еще более сложных фигур на два или несколько тел. Таким образом они пытались объяснить загадку происхождения двойных и кратных звезд и даже планетных систем. Однако постепенно энтузиазм сторонников этой программы был охлажден: в острой полемике с Дарвином Ляпунов в 1912 г. установил неустойчивость грушевидных фигур. Конкретно, Ляпунов установил, что грушевидная фигура обладает меньшим угловым моментом, чем исходный эллипсоид Якоби. Впоследствии эти результаты подтвердил Джинс (1916г.). Между прочим, угловая скорость при такой бифуркации все же возрастает!
Эти важные результаты иллюстрируют следующие две формулы:
\[
\mu_{\Gamma \mathrm{p}}=\mu_{\mathrm{нK}}\left(1-0,06765 \varepsilon^{2}\right), \quad \omega_{\mathrm{rp}}^{2}=\omega_{\text {нк }}^{2}\left(1+0,05227 \varepsilon^{2}\right),
\]

где момент вращения $\mu$ и угловая скорость $\omega$ нормированы, а $\varepsilon \ll 1$ – параметр отклонения груши от исходного эллипсоида.

[23] Излагаемая здесь теория Максвелла устойчивости кольца Сатурна замечательна как первый образец теории, учитывающей коллективные явления в задаче $N$ гравитирующих тел.