Эллиптические координаты. Рассмотрим софокусные поверхности второго порядка
\[
\frac{x^{2}}{\lambda^{2}-a^{2}}+\frac{y^{2}}{\lambda^{2}-b^{2}}+\frac{z^{2}}{\lambda^{2}-c^{2}}-1=0 .
\]

Через любую точку пространства проходят три таких поверхности. В самом деле, если даны $x, y, z$, то $\lambda^{2}$ определяется из кубического уравнения, корни которого находятся между числами $a^{2}, b^{2}$ и $c^{2}$.

Отсюда следует, что наибольший из этих корней (тот, что больше $a^{2}$ ) соответствует эллипсоиду, средний корень, заключенный между $a^{2}$ и $b^{2}$, определяет однополостный гиперболоид, а третий корень, находящийся между $b^{2}$ и $c^{2}$, соответствует гиперболоиду двуполостному.
Обозначим эти корни через $\rho^{2}, \mu^{2},
u^{2}$ и запишем
\[
\rho^{2}>a^{2}>\mu^{2}>b^{2}>
u^{2}>c^{2} .
\]

С другой стороны, если даны $\rho, \mu$ и $
u$, то имеются три поверхности, которые пересекаются в восьми точках, расположенных симметрично относительно координатных плоскостей.

Если ограничиться рассмотрением точек, расположенных в данном октанте, то каждая тройка чисел $\rho, \mu,
u$ определяет одну и только одну точку.
Можно записать
\[
\frac{x^{2}}{\lambda^{2}-a^{2}}+\frac{y^{2}}{\lambda^{2}-b^{2}}+\frac{z^{2}}{\lambda^{2}-c^{2}}-1=\frac{-\left(\lambda^{2}-\rho^{2}\right)\left(\lambda^{2}-\mu^{2}\right)\left(\lambda^{2}-
u^{2}\right)}{\left(\lambda^{2}-a^{2}\right)\left(\lambda^{2}-b^{2}\right)\left(\lambda^{2}-c^{2}\right)} .
\]

Умножив на $\lambda^{2}-a^{2}$ и положив далее $\lambda^{2}=a^{2}$, получим
\[
x^{2}=-\frac{\left(a^{2}-\rho^{2}\right)\left(a^{2}-\mu^{2}\right)\left(a^{2}-
u^{2}\right)}{\left(a^{2}-b^{2}\right)\left(a^{2}-c^{2}\right)} .
\]

Отсюда
\[
x=\sqrt{\frac{\left(\rho^{2}-a^{2}\right)\left(\mu^{2}-a^{2}\right)\left(
u^{2}-a^{2}\right)}{\left(a^{2}-b^{2}\right)\left(a^{2}-c^{2}\right)}} ;
\]

то же для $y$ и $z$ :
\[
\begin{array}{l}
y=\sqrt{\frac{\left(\rho^{2}-b^{2}\right)\left(\mu^{2}-b^{2}\right)\left(
u^{2}-b^{2}\right)}{\left(b^{2}-a^{2}\right)\left(b^{2}-c^{2}\right)}} \\
z=\sqrt{\frac{\left(\rho^{2}-c^{2}\right)\left(\mu^{2}-c^{2}\right)\left(
u^{2}-c^{2}\right)}{\left(c^{2}-a^{2}\right)\left(c^{2}-b^{2}\right)}}
\end{array}
\]

Знак, который следует поставить перед знаком корня, зависит от того, какой октант мы рассматриваем.
Возьмем некоторый полином $f(x)$ и положим
\[
R=f\left(\rho^{2}\right), \quad M=f\left(\mu^{2}\right), \quad N=f\left(
u^{2}\right) .
\]

Полином $R M N$ будет в этом случае симметричным полиномом от трех величин $\rho^{2}, \mu^{2},
u^{2}$, которые являются корнями уравнения
\[
\frac{x^{2}}{\lambda^{2}-a^{2}}+\frac{y^{2}}{\lambda^{2}-b^{2}}+\frac{z^{2}}{\lambda^{2}-c^{2}}=1
\]

и, следовательно, целой функцией от $x^{2}, y^{2}, z^{2}$.
Положим
\[
R=f\left(\rho^{2}\right) \sqrt{\rho^{2}-a^{2}},
\]

либо
\[
R=f\left(\rho^{2}\right) \sqrt{\left(\rho^{2}-a^{2}\right)\left(\rho^{2}-b^{2}\right)},
\]

либо
\[
R=f\left(\rho^{2}\right) \sqrt{\left(\rho^{2}-a^{2}\right)\left(\rho^{2}-b^{2}\right)\left(\rho^{2}-c^{2}\right)}
\]

и запишем для $M$ и $N$ аналогичные функции от $\mu$ и $
u$. Тогда $R M N-$ это полином в переменных $x^{2}, y^{2}, z^{2}$, умноженный соответственно на $x, x y$ либо $x y z$.

Предположим, что $R$ – целый полином от $\rho^{2}$; мы можем разложить его на множители первого порядка и записать
\[
R=\prod\left(\rho^{2}-\lambda_{1}^{2}\right) .
\]

Тогда
\[
\begin{aligned}
R M N & =\prod\left(\rho^{2}-\lambda_{1}^{2}\right)\left(\mu^{2}-\lambda_{1}^{2}\right)\left(
u^{2}-\lambda_{1}^{2}\right)= \\
& =\prod\left[\frac{x^{2}}{\lambda_{1}^{2}-a^{2}}+\frac{y^{2}}{\lambda_{1}^{2}-b^{2}}+\frac{z^{2}}{\lambda_{1}^{2}-c^{2}}-1\right] .
\end{aligned}
\]

Таким образом, $R M N$ во всех случаях представляет собой произведение множителей вида (1), умноженных на некоторую комбинацию величин $x, y, z$.

Линейный элемент в эллиптических координатах. Поверхности $\rho=C^{\text {te }}, \mu=C^{\text {te }},
u=C^{\text {te }}$ образуют ортогональную систему координат, квадрат линейного элемента которой выражается следующим образом:
\[
d s^{2}=\alpha^{2} d \rho^{2}+\beta^{2} d \mu^{2}+\gamma^{2} d
u^{2},
\]

где $\alpha, \beta, \gamma$ функции от $\rho, \mu,
u$, которые мы определим позже. Имеем
\[
\begin{array}{c}
d s^{2}=d x^{2}+d y^{2}+d z^{2}, \\
\frac{d x}{x}=\frac{\rho d \rho}{\rho^{2}-a^{2}}+\frac{\mu d \mu}{\mu^{2}-a^{2}}+\frac{
u d
u}{
u^{2}-a^{2}}, \\
\frac{d y}{y}=\frac{\rho d \rho}{\rho^{2}-b^{2}}+\frac{\mu d \mu}{\mu^{2}-b^{2}}+\frac{
u d
u}{
u^{2}-b^{2}}, \\
\frac{d z}{z}=\frac{\rho d \rho}{\rho^{2}-c^{2}}+\frac{\mu d \mu}{\mu^{2}-c^{2}}+\frac{
u d
u}{
u^{2}-c^{2}} .
\end{array}
\]

Отсюда
\[
\begin{aligned}
d x^{2}+d y^{2}+d z^{2} & =\rho^{2} d \rho^{2}\left[\frac{x^{2}}{\left(\rho^{2}-a^{2}\right)^{2}}+\frac{y^{2}}{\left(\rho^{2}-b^{2}\right)^{2}}+\frac{z^{2}}{\left(\rho^{2}-c^{2}\right)^{2}}\right]+ \\
& +\mu^{2} d \mu^{2}\left[\frac{x^{2}}{\left(\mu^{2}-a^{2}\right)^{2}}+\frac{y^{2}}{\left(\mu^{2}-b^{2}\right)^{2}}+\frac{z^{2}}{\left(\mu^{2}-c^{2}\right)^{2}}\right]+ \\
& +
u^{2} d
u^{2}\left[\frac{x^{2}}{\left(
u^{2}-a^{2}\right)^{2}}+\frac{y^{2}}{\left(
u^{2}-b^{2}\right)^{2}}+\frac{z^{2}}{\left(
u^{2}-c^{2}\right)^{2}}\right]
\end{aligned}
\]

и, следовательно,
\[
\frac{\alpha^{2}}{\rho^{2}}=\frac{\left(\mu^{2}-\rho^{2}\right)\left(
u^{2}-\rho^{2}\right)}{\left(\rho^{2}-a^{2}\right)\left(\rho^{2}-b^{2}\right)\left(\rho^{2}-c^{2}\right)} .
\]

Положим
\[
\begin{aligned}
Q^{2} & =\left(\mu^{2}-\rho^{2}\right)\left(\rho^{2}-
u^{2}\right)\left(
u^{2}-\mu^{2}\right), \\
A^{2} & =\frac{\left(\rho^{2}-a^{2}\right)\left(\rho^{2}-b^{2}\right)\left(\rho^{2}-c^{2}\right)}{\rho^{2}}, \\
B^{2} & =\frac{\left(\mu^{2}-a^{2}\right)\left(\mu^{2}-b^{2}\right)\left(\mu^{2}-c^{2}\right)}{\mu^{2}}, \\
C^{2} & =\frac{\left(
u^{2}-a^{2}\right)\left(
u^{2}-b^{2}\right)\left(
u^{2}-c^{2}\right)}{
u^{2}},
\end{aligned}
\]

где величины $A^{2}$ и $C^{2}$ – положительны, а $B^{2}$ – отрицательна, т.е. $A$ и $C$ являются вещественными числами, а $B$ – мнимым.
В соответствии с принятыми обозначениями запишем
\[
\alpha=\frac{Q}{A \sqrt{\mu^{2}-
u^{2}}}, \quad \beta=\frac{Q}{B \sqrt{
u^{2}-\rho^{2}}}, \quad \gamma=\frac{Q}{C \sqrt{\rho^{2}-\mu^{2}}},
\]

где $\sqrt{
u^{2}-\rho^{2}}$ – величина мнимая, значит $\beta$ является вещественным числом.

Уравнение Лапласа. Рассмотрим, какой вид принимает уравнение Лапласа в эллиптических координатах. Ранее (стр. 43) мы уже установили, что если обозначить квадрат линейного элемента через
\[
d s^{2}=\alpha^{2} d \rho^{2}+\beta^{2} d \mu^{2}+\gamma^{2} d
u^{2},
\]

To
\[
\Delta V=\frac{1}{\alpha \beta \gamma} \sum \frac{\partial}{\partial \rho}\left[\frac{\beta \gamma}{\alpha} \frac{\partial V}{\partial \rho}\right] .
\]

Из уравнения $\Delta V=0$ получим
\[
\sum \frac{\partial}{\partial \rho}\left(\frac{\beta \gamma}{\alpha} \frac{\partial V}{\partial \rho}\right)=0 .
\]

Имеем
\[
\frac{\beta \gamma}{\alpha}=\frac{A Q}{B C} \sqrt{\frac{\mu^{2}-
u^{2}}{\left(
u^{2}-\rho^{2}\right)\left(\rho^{2}-\mu^{2}\right)}}=\frac{A \sqrt{-1}\left(\mu^{2}-
u^{2}\right)}{B C} ;
\]

отсюда уравнение Лапласа выглядит следующим образом:
\[
\sum \frac{\partial}{\partial \rho}\left[\frac{A}{B C}\left(\mu^{2}-
u^{2}\right) \frac{\partial V}{\partial \rho}\right]=0 .
\]

Из величин в квадратных скобках, кроме $\frac{\partial V}{\partial \rho}$, только $A$ зависит от $\rho$; поэтому запишем
\[
\sum \frac{\mu^{2}-
u^{2}}{B C} \cdot \frac{\partial}{\partial \rho}\left[A \frac{\partial V}{\partial \rho}\right] .
\]

Умножив на $A B C$, получим
\[
\begin{array}{c}
\sum A\left(\mu^{2}-
u^{2}\right) \frac{\partial}{\partial \rho}\left[A \frac{\partial V}{\partial \rho}\right]=0 \\
\sum\left[A^{2} \frac{\partial^{2} V}{\partial \rho^{2}}+A \frac{d A}{d \rho} \frac{\partial V}{\partial \rho}\right]\left(\mu^{2}-
u^{2}\right)=0 .
\end{array}
\]

Коэффициенты в этом уравнении представляют собой вещественные числа, поскольку вещественны числа $A^{2}, B^{2}, C^{2}$ и, следовательно, их производные также существуют.

Функции Ламэ. Среди решений уравнения Лапласа есть полиномы вида $R M N$; они называются функциями Ламэ ${ }^{1}$.
Заметим прежде всего, что очевидно верны тождества
\[
\begin{aligned}
\sum\left(\mu^{2}-
u^{2}\right) & =0, \\
\sum \rho^{2}\left(\mu^{2}-
u^{2}\right) & =0 .
\end{aligned}
\]

Отсюда уравнение (2) эквивалентно следующему уравнению:
\[
\sum\left[A^{2} \frac{\partial^{2} V}{\partial \rho^{2}}+A \frac{d A}{d \rho} \frac{\partial V}{\partial \rho}+H \rho^{2} V+K V\right]\left(\mu^{2}-
u^{2}\right)=0 .
\]

Допустим, что $V=R M N$ и что $R$ удовлетворяет уравнению
\[
A^{2} \frac{\partial^{2} R}{\partial \rho^{2}}+A \frac{d A}{d \rho} \frac{d R}{d \rho}+H \rho^{2} R+K R=0 ;
\]
${ }^{1}$ Полиномы вида $R M N$ принято сейчас называть произведениями Ламэ, а функциями Ламэ – входящие в них сомножители.

тогда $M$ и $N$ удовлетворяют аналогичным уравнениям, а функция $V$ в целом удовлетворяет уравнению Лапласа. Это достаточное условие является также и необходимым, т.е. если функция $V$ имеет вид $R M N$ и удовлетворяет уравнению Лапласа, то $R$ удовлетворяет уравнению (3), а $M$ и $N$ удовлетворяют аналогичным уравнениям, полученным посредством замены $\rho$ на $\mu$ и $
u$ и замены $A$ на $B$ и $C$ соответственно.

В самом деле, если положить $\mu=
u$, то уравнение должно остаться справедливым. Функция $R$ в этом случае сводится к $M$, а уравнение к виду
\[
B^{2} \frac{\partial^{2} M}{\partial \mu^{2}}+B \frac{d B}{d \mu} \frac{d M}{d \mu}+H \mu^{2} M+K M=0 .
\]

Существуют ли такие функции? Рассмотрим функцию $p(u)$, определяемую дифференциальным уравнением
\[
p^{\prime} u=2 \sqrt{\left(p u-e_{1}\right)\left(p u-e_{2}\right)\left(p u-e_{3}\right)},{ }^{1}
\]

где
\[
e_{1}+e_{2}+e_{3}=0 \text {. }
\]

Положим
\[
\rho^{2}=p u+h, \quad a^{2}=e_{1}+h, \quad b^{2}=e_{2}+h, \quad c^{2}=e_{3}+h ;
\]

откуда
\[
h=\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3} .
\]

Таким образом,
\[
p^{\prime} u=2 \sqrt{\left(\rho^{2}-a^{2}\right)\left(\rho^{2}-b^{2}\right)\left(\rho^{2}-c^{2}\right)}=2 A \rho .
\]

Заметим, что
\[
p^{\prime} u \frac{d u}{d \rho}=2 \rho
\]

значит,
\[
A=\frac{d \rho}{d u}
\]

и, следовательно,
\[
A \frac{d R}{d \rho}=\frac{d R}{d \rho} \frac{d \rho}{d u}=\frac{d R}{d u} .
\]
${ }^{1}$ Здесь Пуанкаре использует обозначения Вейерштрасса.

Уравнение
\[
A \frac{d}{d \rho}\left[A \frac{d R}{d \rho}\right]+\left(H \rho^{2}+K\right) R=0
\]

принимает вид
\[
\frac{d^{2} R}{d u^{2}}+\left(H \rho^{2}+K\right) R=0 .
\]

Можно ли подобрать значения $H$ и $K$ таким образом, чтобы функция $R$ являлась полиномом от $\rho$ или подобным же полиномом, умноженным либо на $\sqrt{\rho^{2}-a^{2}}$, либо на $\sqrt{\rho^{2}-b^{2}}$, либо на $\sqrt{\rho^{2}-c^{2}}$ ?

При замене $\rho^{2}$ на $p(u)$ такой полином будет представлять собой двоякопериодическую функцию, имеющую два периода $p(u): 2 \omega_{1}$ и $2 \omega_{2}$. Иначе говоря, существует удвоенное бесконечное количество полюсов функции $p(u)$, т.е. $u=2 m \omega_{1}+2 n \omega_{2}$, где $m$ и $n-$ некоторые целые числа – положительные, отрицательные или равные нулю. Эти двойные полюса функции $p(u)$ будут для полинома полюсами порядка $2 n$.

кроме того, функция $\sqrt{\rho^{2}-a^{2}}=\sqrt{p u-e_{1}}$ также является двоякопериодической с периодами $2 \omega_{1}$ и $4 \omega_{2}$ и в качестве простых полюсов имеет полюса функции $p(u)$. Следовательно, при прибавлении к $u$ значений $2 \omega_{1}, 2 \omega_{2}$ или $2 \omega_{3}$ функция $R$ сохраняет свое значение либо меняет знак в зависимости от того, сколько она содержит радикалов: ни одного, один или два, или от того, на сколько радикалов был умножен полином: на один, на два или на три.

Таким образом, функция $R$ может быть четной либо нечетной, но в любом случае должно существовать разложение
\[
R=\frac{a_{0}}{u^{n}}+\frac{a_{1}}{u^{n-2}}+\frac{a_{2}}{u^{n-4}}+\ldots
\]

Подставим это значение в полученное ранее уравнение, учитывая, что
\[
p(u)=\frac{1}{u^{2}}+\alpha u^{2}+\ldots ;
\]

в результате уравнение примет вид
\[
\begin{aligned}
{\left[\frac{n(n+1) a_{0}}{u^{n+2}}+\right.} & \left.\frac{(n-1)(n-2) a_{1}}{u^{n}}+\ldots\right]+ \\
& +\left[H\left(\frac{1}{u^{2}}+\alpha u^{2}+\ldots\right)+K\right]\left[\frac{a_{0}}{u^{n}}+\frac{a_{1}}{u^{n-2}}+\ldots\right]=0
\end{aligned}
\]

Для того чтобы это уравнение было справедливым, необходимо прежде всего сократить слагаемые, содержащие $\frac{1}{u^{n+2}}$, а это возможно, только если
\[
H=-n(n+1) .
\]

Обозначив степень функции $R$ через $q$, а количество радикалов, входящих в произведение, через $p(p=1,2$ или 3 ), можно записать
\[
n=2 q+p .
\]

Построение функций Ламэ. Итак, полиномы Ламэ, если они существуют, должны удовлетворять нижеследующим условиям.

Эти полиномы, рассматриваемые как функции от $x, y, z$, являются произведениями множителей второго порядка и одного или нескольких множителей $x, y, z$. Заменяя $x, y, z$ их значениями, т. е. функциями от $\rho^{2}, \mu^{2},
u^{2}$, получаем функцию вида $R M N$, где $R$ представляет собой полином от $\rho^{2}$, либо такой же полином, умноженный на один, два или три радикала
\[
\sqrt{\rho^{2}-a^{2}}, \quad \sqrt{\rho^{2}-b^{2}}, \quad \sqrt{\rho^{2}-c^{2}},
\]

а $M$ и $N$ являются подобными функциями, где $\rho$ заменяется на $\mu$ и $
u$.
Для функции $Q$ существует восемь возможных форм, каждой из которых соответствует своя форма $R$. Если $n$ – степень функции $\varphi$, то степень $R$ от $\rho^{2}$ может быть
\[
\frac{n}{2}, \frac{n-1}{2}, \frac{n-2}{2} \text { или } \frac{n-3}{2},
\]

в зависимости от того, сколько радикалов содержит $R$ – ни одного, один, два или три.

Наконец, заменив в функции $R$ переменную $\rho^{2}$ на $p u$, получим функцию, которая при замене $u$ на $u+2 \omega_{1}$ меняет знак или остается неизменной в зависимости от четного или нечетного количества радикалов $\sqrt{\rho^{2}-b^{2}}$ и $\sqrt{\rho^{2}-c^{2}}$, поскольку радикал $\sqrt{p u-e_{1}}$ не изменяет знака функции при $u=u+2 \omega_{1}$.

Аналогично при увеличении $u$ на величину $2 \omega_{2}$ радикалы $\sqrt{p u-e_{1}}$ и $\sqrt{p u-e_{3}}$ меняют знак; следовательно, функция $R$ меняет знак либо нет в зависимости от четного либо нечетного количества этих радикалов в своем составе.

Все эти выводы представлены в помещенной ниже таблице. Первая колонка содержит формы функции $Q$, вторая – соответствующие формы $R$, третья – степень полинома, которая входит в $R$ как функция от степени $Q$. Четвертая и пятая указывают, изменит ли функция знак при увеличении значения $u$ на период $2 \omega_{1}$ и $2 \omega_{2}$ соответственно. Функция $Q_{1}$ представляет собой исключительно произведение множителей второго порядка.

Отыскание $K$. Принимая во внимание вышеизложенное, попытаемся отыскать $K$. Для функций первого типа $R$ – полином степени $\frac{n}{2}$, содержащий $\frac{n}{2}+1$ однородных коэффициентов.

Подставив его в дифференциальное уравнение, получим полином степени $\frac{n}{2}+1$, который должен быть равен нулю. Так как, согласно нашему предположению, $H=-n(n+1)$, коэффициент при члене наибольшего порядка сокращается. Значит, нужно сократить еще $\frac{n}{2}+1$ коэффициентов.

Таким образом, $\frac{n}{2}+1$ коэффициентов полинома должны удовлетворять такому же количеству линейных однородных уравнений, коэффициенты которых линейно зависят от $K$. После сокращения коэффициентов полинома получим для $K$ уравнение степени $\frac{n}{2}+1$.

Если $R$ относится ко второму типу, необходимо определить $\frac{n+1}{2}$ коэффициентов полинома степени $\frac{n-1}{2}$. Значит, согласно рассуждению, аналогичному приведенному выше, порядок уравнения для $K$ равен $\frac{n+1}{2}$.

В случае функции $R$ третьего типа уравнение для $K$ имеет порядок $\frac{n}{2}$, а если $R$ относится к четвертому типу, то порядок уравнения для $K-\frac{n-1}{2}$.

Эти выводы составляют шестую колонку вышеприведенной таблицы.

Из сказанного следует, что каждому корню уравнений для $K$, полученных таким образом, соответствует один и только один полином.

Если $n$ четно, то существуют только полиномы первого и третьего типов; их количество равно
\[
\frac{n}{2}+1+3 \frac{n}{2}=2 n+1 .
\]

Если $n$ нечетно, то существуют только полиномы второго и четвертого типов; их общее количество равно
\[
\frac{n-1}{2}+3 \frac{n+1}{2}=2 n+1 .
\]

Следовательно, имеется не более $2 n+1$ полиномов Ламэ. Я говорю «не более», потому что уравнения для $K$ могли бы иметь кратные корни, однако позже мы увидим, что ничего подобного не происходит.

Связь со сферическими функциями. Предположим, что $x, y$, $z$ являются бесконечными величинами первого порядка; $\mu$ и $
u$ остаются, по своей сути, конечными, однако $\rho$ также становится бесконечной величиной первого порядка.

Однородная совокупность членов наибольшего порядка в функции Ламэ, разумеется, удовлетворяет уравнению Лапласа. Значит, она представляет собой сферический полином, который можно записать как $H(x, y, z)$. Член наибольшего порядка в полиноме $R M N$ от $\rho$ запишется как $\alpha \rho^{m} M N$.
Перейдем к полярным координатам
\[
x=r \sin \theta \cos \varphi, \quad y=r \sin \theta \sin \varphi, \quad z=r \cos \theta .
\]

Если величина $\rho$ достаточно велика, то она мало отличается от $r$, переменные же $\mu$ и $
u$, напротив, зависят от $\varphi$ и $\theta$.

В самом деле, уравнение, определяющее $\mu$, может быть записано следующим образом:
\[
\frac{x^{2}}{\mu^{2}-a^{2}}+\frac{y^{2}}{\mu^{2}-b^{2}}+\frac{z^{2}}{\mu^{2}-c^{2}}-1=0 .
\]

Если $x, y, z$ достаточно велики, то единицей можно пренебречь. В результате остается уравнение второго порядка; его корнями являются конечные величины $\mu$ и $
u$, которые зависят только от отношений $\frac{y}{x}$ и $\frac{z}{x}$ соответственно, т.е. от $\varphi$ и $\theta$.
Следовательно, можно записать
\[
r^{n} H(\sin \theta \cos \varphi, \sin \theta \sin \varphi, \cos \theta)=\alpha \rho^{n} M N
\]

или, поскольку $r=\rho$,
\[
H(\sin \theta \cos \varphi, \sin \theta \sin \varphi, \cos \theta)=\alpha M N ;
\]

следовательно, произведение $M N$ является сферической функцией, а полином $H$ может быть представлен как произведение множителей второго порядка ${ }^{1}$. Как доказал Мутар, это единственный случай, когда сферический полином может быть разложен в произведение квадратичных и линейных множителей.

Полином $M N$, рассматриваемый как функция от $\theta$ и $\varphi$, является, таким образом, сферической функцией и, поскольку любая функция может быть представлена в виде суммы сферических функций, любая функция от $\mu$ и $
u$ может быть представлена в виде суммы
\[
\sum \alpha M N .
\]

Сходство между сферическими функциями и функциями Ламэ проявится еще больше, когда мы рассмотрим случай софокусных поверхностей вращения.

Эллипсоиды вращения. Рассмотрим два частных случая софокусных поверхностей второго порядка: $a=b$ и $b=c$.

В случае $a=b$ имеем сжатые эллипсоиды вращения при $\lambda^{2}>a^{2}$ и двуполостные гиперболоиды при $a^{2}>\lambda^{2}>c^{2}$. Однополостные гиперболоиды вырождаются в плоскости, проходящие через ось $O z$.
${ }^{1}$ См. Journal de Liouville, т. XI, 1846, стр. 278. – Прим. автора.

В случае $b=c$ имеем вытянутые эллипсоиды вращения вокруг оси $O x$ при $\lambda^{2}>a^{2}$ и однополостные гиперболоиды при $a^{2}>\lambda^{2}>b^{2}$. Двуполостные гиперболоиды вырождаются в плоскости, проходящие через ось $O x$.

В обоих этих случаях ни $\mu$, ни $
u$ не могут служить параметрами; необходимо выбрать в качестве параметра угол между рассматриваемой плоскостью и некоторой фиксированной плоскостью, например, плоскостью $x O z$ для наших случаев. Имеет место равенство
\[
\frac{y}{x}=\sqrt{\frac{\left(\rho^{2}-b^{2}\right)\left(\mu^{2}-b^{2}\right)\left(b^{2}-
u^{2}\right)}{\left(\rho^{2}-a^{2}\right)\left(a^{2}-\mu^{2}\right)\left(a^{2}-
u^{2}\right)}} \sqrt{\frac{a^{2}-c^{2}}{b^{2}-c^{2}}} .
\]

Если $b$ стремится к $a$, то $\mu$ также стремится к $a$, и очевидно, что
\[
\frac{y}{x}=\lim \sqrt{\frac{\mu^{2}-b^{2}}{a^{2}-\mu^{2}}} .
\]

Обозначив угол между плоскостью, проходящей через точку $(x, y, z)$ и ось $O z$, и плоскостью $x O z$ через $\varphi$, можно увидеть, что $\mu$ нвлнетсн функцией от $\varphi$ :
\[
\mu^{2}=a^{2} \cos ^{2} \varphi+\sin ^{2} \varphi
\]

Очевидно, что
\[
\begin{array}{l}
\lim \sqrt{\frac{a^{2}-\mu^{2}}{a^{2}-b^{2}}}=\sin \varphi, \\
\lim \sqrt{\frac{b^{2}-\mu^{2}}{a^{2}-b^{2}}}=\cos \varphi \cdot{ }^{1}
\end{array}
\]

При таких же условиях можно записать уравнение, определяющее $
u$, следующим образом:
\[
\frac{x^{2}+y^{2}}{
u^{2}-a^{2}}+\frac{z^{2}}{
u^{2}-c^{2}}=0,
\]
${ }^{1}$ Должно быть $\lim _{a \rightarrow b} \sqrt{\frac{\mu^{2}-b^{2}}{a^{2}-b^{2}}}=\cos \varphi$.

за вычетом единицы, которая пренебрежимо мала по сравнению с $x, y$ и $z$.
Переведя равенство в полярные координаты, получим
\[
\frac{r^{2} \sin ^{2} \theta}{
u^{2}-a^{2}}+\frac{r^{2} \cos ^{2} \theta}{
u^{2}-c^{2}}=0
\]

и далее
\[
\sin \theta=\sqrt{\frac{a^{2}-
u^{2}}{a^{2}-c^{2}}}, \quad \cos \theta=\sqrt{\frac{
u^{2}-c^{2}}{a^{2}-c^{2}}} .
\]

Теперь мы можем приступить к построению функций Ламэ.
Известно, что $M N$ является сферической функцией; $M$ не зависит от $\varphi, N$ не зависит от $\theta$, и таким образом, $M N$ – одна из фундаментальных сферических функций, рассмотренных выше (стр. 45).
Следовательно, $M=\cos p \varphi$ или $\sin p \varphi$, а для $N$, положив
\[
F_{n}^{p}(\cos \theta)=F_{n}^{p}\left[\sqrt{\frac{
u^{2}-c^{2}}{a^{2}-c^{2}}}\right],
\]

можно записать
\[
F_{n}^{p}(t)=\left(1-t^{2}\right)^{\frac{p}{2}} \frac{d^{n+p}\left(1-t^{2}\right)^{n}}{d t^{p}} .
\]

Нули функции $N$, не считая значений $\pm 1$, можно определить, вычислив нули функции $F_{n}^{p}$. Все эти значения вещественны и различны, поскольку, как явствует из теоремы Ролля, нули функции $F_{n}^{p}$ располагаются между нулями функции $F_{n}^{p-1}$. Имеем
\[
\left(1-t^{2}\right)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{a^{2}-
u^{2}}{a^{2}-b^{2}}} .
\]

Следовательно, если число $p$ четное, то функция $F_{n}^{p}$ не меняет своего знака вместе с $\sin \theta$; и наоборот, если число $p$ нечетное, то знак функции $F_{n}^{p}$ меняется при смене знака $\sin \theta$.

Заменим переменные $x, y, z$ их выражениями в полярных координатах. Тогда функция $Q$ будет менять свой знак, если она содержит один из множителей $x$ или $y$. Если же она содержит два таких множителя или не содержит их совсем, то ее знак не изменится. В первом случае значение $p$ будет четным, а во втором – нечетным.

Заметим также, что $y$ и $\sin p \varphi$ изменяют знак одновременно. Следовательно, если функция $Q$ содержит множитель $y$, то функцию $M$ следует брать равной $\sin p \varphi$, в противном случае функцию $M$ следует брать равной $\cos p \varphi$.

Аналогично, если $b^{2}=c^{2}$, то мы переходим к следующим полярным координатам:
\[
x=r \cos \theta, \quad y=r \sin \theta \cos \varphi, \quad z=r \sin \theta \sin \varphi .
\]

В этом случае, $N=\sin p \varphi$ или $\cos p \varphi$, а $M=F_{n}^{p}(\cos \theta)$.
Число $p$ будет нечетным, если $Q$ содержит один из множителей $y$ или $z$, и четным, если $Q$ содержит оба эти множителя либо ни одного из них. Для функции $N$ выбираем $\sin p \varphi$ или $\cos p \varphi$ в зависимости от того, содержит ли $Q$ множитель $z$.

Резюме. Выводы данного обсуждения представлены в нижеследующей таблице. Первая колонка содержит восемь возможных видов функции $Q$, вторая – соответствующие формы $R$. Третья и четвертая колонки относятся к случаю $a^{2}=b^{2}$ – в третьей стоит 0 , если $p$ четное, и 1 , если $p$ нечетное, а в четвертой указано, сводится функция $M$ к $\cos p \varphi$ или $\sin p \varphi$. Пятая и шестая колонки содержат соответствующие данные для случая $b^{2}=c^{2}$.

Вещественность значений $K$. Докажем теперь, что все корни уравнений для $K$ вещественны.

Для того чтобы найти значения $K$, допустим сначала, что $a^{2}=b^{2}$. Положим $\mu^{2}=a^{2} \cos ^{2} \varphi+b^{2} \sin ^{2} \varphi$, поскольку значение $\mu$ заключено в интервале от $a$ до $b$ и равно $M$ при $a=b$. Приняв $\varphi$ за переменную, уравнение, определяющее $\mu$,
\[
B \frac{d}{d \mu}\left(B \frac{d M}{d \mu}\right)-\left[n(n+1) \mu^{2}-K\right] M=0
\]

можно записать как
\[
\begin{array}{c}
\sqrt{\mu^{2}-c^{2}} \frac{d}{d \varphi}\left[\sqrt{\mu^{2}-c^{2}} \frac{d M}{d \varphi}\right]-\left[n(n+1) \mu^{2}-K\right] M=0, \\
\left(\mu^{2}-c^{2}\right) \frac{d^{2} M}{d \varphi^{2}}+\left(b^{2}-a^{2}\right) \sin \varphi \cos \varphi \frac{d M}{d \varphi}-\left[n(n+1) \mu^{2}-K\right] M=0 .
\end{array}
\]

При $a^{2}=b^{2}$ получим уравнение
\[
\left(a^{2}-c^{2}\right) \frac{d^{2} M}{d \varphi^{2}}-\left[n(n+1) \mu^{2}-K\right] M=0 .
\]

Решениями этого уравнения должны быть $\cos p \varphi$ и $\sin p \varphi$, следовательно,
\[
\frac{K-n(n+1)}{a^{2}-c^{2}}=p^{2} .
\]

Таким образом, уравнение для $K$ имеет $n+1$ вещественных корней, соответствующих значениям $p$
\[
0,1,2, \ldots,(n-1), n \text {. }
\]

Очевидно, что все корни уравнений для $K$ вещественны, а четные значения $p$ располагаются между нечетными.

При изменении $b$ в интервале от $a$ до $c$ корни уравнений, соответствующие двум группам функций Ламэ, содержащих ни одного либо два радикала, будут располагаться между корнями, соответствующими двум другим группам функций, содержащих один либо три радикала. Это правило может быть нарушено только в том случае, когда какойлибо из корней $\varphi$ одной группы уравнений станет равен какому-либо из корней другой группы.

Пусть $K$ – такой корень, а $R$ и $S$ – соответствующие функции Ламэ, принадлежащие, согласно нашему предположению, к двум различным группам. Имеем
\[
R^{\prime \prime}-\left(H \rho^{2}+K\right) R=0, \quad S^{\prime \prime}-\left(H \rho^{2}+K\right) S=0,
\]

откуда
\[
R^{\prime \prime} S-S^{\prime \prime} R=0 .
\]

Непосредственно интегрируя, запишем
\[
R^{\prime} S-S^{\prime} R=\alpha .
\]

Предположим, что функции $R$ и $S$ выражены в эллиптических функциях от параметра $u$. Тогда можно увеличить $u$ на $2 \omega, 2 \omega_{2}$ или $2 \omega_{3}$ так, чтобы функция $R$, например, не изменила своего значения, а функция $S$ изменила бы знак; то же относится к $R^{\prime}$ и $S^{\prime}$. Но тогда разность произведений $R^{\prime} S-S^{\prime} R$ изменит знак; следовательно, $\alpha=0$. Отсюда заключаем, что $\frac{R}{S}$ – величина постоянная, что, разумеется, неверно.

Таким образом, два уравнения для $K$, соответствующие одному значению $n$, не могут иметь общего корня.

Заметим, что коэффициент при члене наибольшего порядка в уравнении для $K$ сводится к единице; следовательно, понижение степени уравнения невозможно.

Линейная независимость функций Ламэ. Докажем теперь, что между $p$ функциями Ламэ одинакового вида для данного значения $n$ не существует линейного соотношения с постоянными коэффициентами ( $p$ – одно из чисел $\frac{n}{2}+1, \frac{n-1}{2}, \frac{n+1}{2}, \frac{n}{2}$ ).

В самом деле, допустим, что такое соотношение существует и имеет вид
\[
R_{q+1}=\alpha_{1} R_{1}+\alpha_{2} R_{2}+\ldots+\alpha_{q} R_{q}, \quad q<p .
\]

После подстановки $R_{q+1}$ в уравнение второго порядка $p$ коэффициентов полинома обращаются в нуль. Отсюда для определения коэффициентов $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{q}$ получаем $p+1$ уравнений первого порядка, из которых первое выполняется тождественно. В результате имеем $p$ однородных уравнений с $q$ неизвестными. Сокращение неизвестных даст в итоге некоторое количество уравнений для $K$ порядка не больше $q$, причем эти уравнения должны выполняться для $p$ значений $K$, т. е. эти уравнения сводятся, таким образом, к тождествам. Следовательно, при любом $K$ можно определить коэффициенты $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{q}$. Иными словами, в качестве решения уравнения Ламэ при любом $K$ имеем некоторый полином, а это утверждение противоречиво.

Вещественность корней полиномов Ламэ. Докажем, что корни любого полинома $R$ вещественны и заключены между $a^{2}$ и $c^{2}$.

Разделим интервал от $-\infty$ до $+\infty$ на четыре отрезка числами $a^{2}$, $b^{2}$ и $c^{2}$.

Сначала докажем, что число корней, заключенных в каждом из отрезков, остается постоянным при уменьшении величины $b^{2}$ от $a^{2}$ до $c^{2}$. В самом деле, иная ситуация может возникнуть, только если оба вещественных корня станут мнимыми при некотором значении $b$. Но тогда при данном $b$ полином будет иметь двойной корень, а $R^{\prime}$ обратится в нуль. Имеем
\[
R^{\prime \prime}=F R=0,
\]

где $F=H^{2} \rho+K$; также
\[
R^{\prime \prime \prime}=F R^{\prime}+F^{\prime} R, \quad R^{I V}=F R^{\prime \prime}+2 F^{\prime} R^{\prime}+F^{\prime \prime} R \text { и т. д.; }
\]

все производные обращаются в нуль, а это невозможно.
Кроме того, может случиться так, что один из корней окажется равным $a^{2}, b^{2}$ или $c^{2}$. Предположим, например, что один из корней равен $a^{2}$. Так как мы положили
\[
p u-e_{1}=\rho^{2}-a^{2},
\]

соответствующее значение $u$ будет равно $\omega_{1}$. Известно, что $p^{\prime} \omega_{1}=0$, а $\omega_{1}$ является нулем функции $p^{\prime} \omega_{2}$. Отсюда $\omega_{1}$ будет нулем производной $R^{\prime}$, и мы возвращаемся к предыдущему случаю.

Положим, что $\varepsilon_{1}$ – число мнимых корней совокупности полиномов, соответствующих некоторому значению $n ; \varepsilon_{2}$ – число вещественных корней, заключенных в интервале от $a^{2}$ до $b^{2} ; \varepsilon_{3}$ – число вещественных корней, заключенных в интервале от $b^{2}$ до $c^{2} ; \varepsilon_{4}$ – число вещественных корней, не входящих в интервал от $a^{2}$ до $c^{2}$.
Общее число корней равно сумме степеней полиномов
\[
\frac{n}{2}\left(\frac{n}{2}+1\right)=\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}+\varepsilon_{3}+\varepsilon_{4} .
\]

Если $b^{2}=a^{2}$, все корни $\varepsilon_{2}$ сводятся к $a^{2}$, а корни $\varepsilon_{3}^{\prime}$ сводятся к $a^{2}$ или $c^{2}$; если же $b^{2}=c^{2}$, все корни $\varepsilon_{3}$ сводятся к $c^{2}$, а корни $\varepsilon_{2}^{\prime}$ сводятся к $a^{2}$ или $c^{2}$.

Однако при $a^{2}=b^{2}$ полиномы представляют собой последовательные производные от $\left(
u^{2}-1\right)^{n}$, и все их корни вещественны. Один из полиномов имеет 0 корней, один – один корень, один – два корня и т.д., последний полином имеет $\frac{n}{2}$ корней, не считая корней $\pm 1$. Отсюда
\[
\varepsilon_{3}=\frac{n}{4}\left(\frac{n}{2}+1\right)+\varepsilon_{3}^{\prime}
\]

аналогично
\[
\varepsilon_{2}=\frac{n}{4}\left(\frac{n}{2}+1\right)+\varepsilon_{2}^{\prime} .
\]

Таким образом, верно равенство
\[
\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}+\varepsilon_{3}+\varepsilon_{4}=\frac{n}{2}\left(\frac{n}{2}+1\right)+\varepsilon_{1}+\varepsilon_{4}+\varepsilon_{2}^{\prime}+\varepsilon_{3}^{\prime},
\]

из которого заключаем, что
\[
\varepsilon_{1}+\varepsilon_{4}+\varepsilon_{2}^{\prime}+\varepsilon_{3}^{\prime}=0
\]

и, следовательно,
\[
\varepsilon_{1}=\varepsilon_{2}=\varepsilon_{3}^{\prime}=\varepsilon_{4}^{\prime}=0 .
\]

Теорема доказана.
Для того чтобы найти количество корней, содержащихся в интервалах $a^{2} \ldots b^{2}$ и $b^{2} \ldots c^{2}$, заметим, что в общем случае оно совпадает с их количеством в частном случае, когда $a^{2}=b^{2}$.

Заметим также, что существует полином, содержащий 0 корней в интервале от $a^{2}$ до $b^{2}$, и $\frac{n}{2}$ корней в интервале от $b^{2}$ до $c^{2}$; полином, содержащий 1 корень в интервале от $a^{2}$ до $b^{2}$ и $\frac{n}{2}-1$ корней в интервале от $b^{2}$ до $c^{2}$; и полином, содержащий $\frac{n}{2}$ корней в интервале от $a^{2}$ до $b^{2}$ и 0 корней в интервале от $b^{2}$ до $c^{2}$.

Разложение функции в сумму функций Ламэ. Рассмотрим эллипсоид, принадлежащий семейству поверхностей, задаваемому параметром $\rho$. Если положить
\[
l=\frac{1}{\sqrt{\left(\rho^{2}-\mu^{2}\right)\left(\rho^{2}-
u^{2}\right)}},
\]

получим
\[
\int l M N \cdot M_{1} N_{1} d \sigma=0,
\]

где $M N$ – одно из уже рассмотренных произведений, $M_{1} N_{1}$ – еще одно из таких произведений, а интеграл берется по всей поверхности эллипсоида.
Пусть
\[
V=R M N, \quad V_{1}=R_{1} M_{1} N_{1} .
\]

Поскольку $\Delta V=0$, из формулы Грина получим
\[
\int\left(V \frac{d V_{1}}{d n}-V_{1} \frac{d V}{d n}\right) d \sigma=0
\]

интеграл берется по какой-либо замкнутой поверхности. Предположим, что эта поверхность является эллипсоидом. Тогда $R$ и $R_{1}$ – постоянны. Вычислим $\frac{d V}{d n}$ и $\frac{d V_{1}}{d n}$ : при сдвиге вдоль нормали к поверхности эллипсоида $\mu$ и $
u$ остаются постоянными, а $\rho$ увеличивается на $d \rho$. Имеем
\[
\frac{d V}{d n}=\frac{\partial V}{\partial \rho} \frac{\partial \rho}{\partial n}=\frac{\partial V}{\partial u} \frac{d u}{d \rho} \frac{d \rho}{d n}=\frac{\partial V}{\partial u} \frac{d u}{d n}
\]

однако известно, что
\[
\frac{\partial V}{\partial u}=M N \frac{d R}{d u}
\]

следовательно, интеграл запишется как
\[
\int M N \cdot M_{1} N_{1}\left(R R_{1}^{\prime}-R_{1} R^{\prime}\right) \frac{d u}{d n} d \sigma=0 .
\]

Но $R R_{1}^{\prime}-R_{1} R^{\prime}$ зависит только от $\rho$ и, поскольку значение этой разности представляет собой постоянную величину, можно вывести ее из-под знака корня. Впрочем,
\[
R R_{1}^{\prime}-R_{1} R^{\prime}
eq 0
\]

поменяв знак, получим
\[
\int-M N M_{1} N_{1} \frac{d u}{d n} d \sigma=0 .
\]

Теперь нам следует отыскать
\[
-\frac{d u}{d n}=-\frac{d u}{d \rho} \frac{d \rho}{d n} .
\]

Положив $\rho^{2}=p u+h$, можно записать
\[
\rho \frac{d \rho}{d u}= \pm \sqrt{\left(\rho^{2}-a^{2}\right)\left(\rho^{2}-b^{2}\right)\left(\rho^{2}-c^{2}\right)},
\]

откуда
\[
\frac{d \rho}{d u}= \pm A .
\]

Когда $\rho$ стремится к бесконечности, $р и$ также стремится к $\infty$, а $u$ стремится к 0 , т.е. уменьшается. Значит, следует оставить перед $A$ знак минус.
Поскольку квадрат линейного элемента имеет вид
\[
d s^{2}=\alpha^{2} d \rho^{2}+\beta^{2} d \mu^{2}+\gamma^{2} d
u^{2},
\]

а эачснис $\rho$ изменлетсл тольно на нормали, запишем
\[
\frac{d \rho}{d n}=\frac{1}{\alpha}=\frac{A \sqrt{\mu^{2}-
u^{2}}}{Q} .
\]

Положив
\[
l=-\frac{d u}{d n}
\]

получим
\[
l=-\frac{\sqrt{\mu^{2}-
u^{2}}}{Q}=-\frac{1}{\sqrt{\left(\rho^{2}-\mu^{2}\right)\left(\rho^{2}-
u^{2}\right)}},[16]
\]

что и было приведено в начале данного раздела. Интеграл, впрочем, не зависит от $\rho$, поскольку
\[
d \sigma=\beta \gamma d \mu d
u ;
\]

и, как следствие,
\[
l d \sigma=\frac{Q^{2} \sqrt{-1} d \mu d
u}{B C \sqrt{\left(\rho^{2}-\mu^{2}\right)\left(\rho^{2}-
u^{2}\right)}}=\frac{\left(\mu^{2}-
u^{2}\right) \sqrt{-1} d \mu d
u}{B C} .
\]

Докажем, что любая функция, определенная на поверхности эллипсоида, может быть представлена в виде суммы функций Ламэ:
\[
\Phi=\sum A_{k} M_{k} N_{k} .
\]

Предыдущая теорема позволяет легко найти коэффициенты разложения. Имеем
\[
\int l \Phi M_{k} N_{k} d \sigma=\int \sum A_{k} l M_{k} N_{k} M_{i} N_{i} d \sigma ;
\]

правая часть равенства сводится к $A_{k} \int l M_{k}^{2} N_{k}^{2} d \sigma$, это выражение и определяет $A_{k}$.

Функции $\boldsymbol{S}$. Рассмотрим еще одну функцию от $\rho$, также удовлетворяющую уравнению Ламэ, и определим ее нижеследующим образом. Пусть $R$ – функция Ламэ степени $n$, задаваемая отношением
\[
R^{\prime \prime}+F R=0 ;
\]

функция $S$, связанная с функцией $R$, задается отношением
\[
S^{\prime \prime}+F S=0,
\]

где $F$ имеет то же значение. Отсюда заключаем, что
\[
S^{\prime \prime} R-R^{\prime \prime} S=0 .
\]

Интегрируя это выражение, получим
\[
S^{\prime} R-R^{\prime} S=C^{\mathrm{te}} .
\]

Произвольно выберем констангу равной $2 n+1$. Тогда
\[
\frac{S^{\prime} R-R^{\prime} S}{R^{2}}=\frac{2 n+1}{R^{2}} .
\]

Отсюда
\[
\frac{S}{R}=\int \frac{2 n+1}{R^{2}} d u .
\]

Нижний предел интегрирования также можно выбирать произвольно. Допустим, что
\[
\frac{S}{R}=\int_{0}^{u} \frac{2 n+1}{R^{2}} d u .
\]

Для очень большого значения $\rho^{2}$ имеем
\[
R=A \rho^{n},
\]

где $A$ – некоторая константа, которую можно принять равной единице. Значение $u$ в этом случае очень мало, так как
\[
\rho^{2}=p u \text {. }
\]

Величина $\rho^{2}$ приблизительно равна $\frac{1}{u^{2}}$, а величина $\rho-\frac{1}{u}$.
Таким образом,
\[
R=u^{-n}, \quad S=u^{-n} \int_{0} \frac{2 n+1}{u^{-2 n}} d u=u^{n+1} ;
\]

следовательно, функция $S$ приблизительно равна $u^{n+1}=\frac{1}{r^{n+1}}$; произведение $S M N$ также удовлетворяет уравнению Лапласа.