Цель курса. В данном курсе мы рассмотрим фигуры равновесия вращающейся массы жидкости. В таких системах действуют только внутренние силы, связанные с ньютоновским притяжением, когда две точки притягиваются с силой, прямо пропорциональной их массам и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними. Прежде всего, освежим в памяти некоторые известные сведения о ньютоновском потенциале.

Определение потенциала и его свойства. Точка с массой $m$ притягивается всей остальной системой с силой, являющейся производной от потенциала $V$. Составляющие действующей на точку силы, т.е. ее проекции на оси координат, являются частными производными от одной и той же функции
\[
m \frac{\partial V}{\partial x}, \quad m \frac{\partial V}{\partial y}, \quad m \frac{\partial V}{\partial z} .
\]

Если притягивающиеся массы дискретны, потенциал определяется выражением:
\[
V=\sum \frac{m_{i}}{r_{i}}
\]

где $r_{i}$ — расстояние между точкой с массой $m$ и точкой с массой $m_{i}$.
Если эти массы непрерывны, то
\[
V=\int \frac{\rho^{\prime} d \tau^{\prime}}{r},
\]

где $\rho^{\prime}$ представляет собой плотность элемента объема $d \tau^{\prime}, r$ — расстояние от этого элемента до точки с массой $m$, а интеграл берется по всему притягивающему объему. Известно, что данный интеграл имеет смысл.

Если притягивающая масса распределена по поверхности с плотностью $\mu^{\prime}$, потенциал выражается формулой:
\[
V=\int \frac{\mu^{\prime} d \sigma^{\prime}}{r} .
\]

Наконец, если мы имеем дело с бесконечно тонким объемом толщиной $\varepsilon^{\prime}$, тогда
\[
d \tau^{\prime}=\varepsilon^{\prime} d \sigma^{\prime}
\]

и потенциал будет равен
\[
V=\int \frac{\varepsilon^{\prime} \rho^{\prime} d \sigma^{\prime}}{r} .
\]

В объеме вне притягивающих масс и потенциал $V$, и его первые производные представляют собой непрерывные функции по всему пространству. Кроме того, известно, что
\[
\Delta V=\frac{\partial^{2} V}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} V}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} V}{\partial z^{2}}=0 .
\]

Внутри, в точке с плотностью $\rho$,
\[
\Delta V=-4 \pi \rho .
\]

Рис. 1
На границе двух различных сред вторые производные потенциала терпят разрывы.
Что касается поверхности, функция $V$ неразрывна по всему пространству, однако ее производные на самой поверхности терпят разрывы.
На нормали к точке $A$, лежащей на поверхности $S$ (рис. 1), отметим точки $B$ и $C$ так, чтобы отрезки $A B$ и $A C$ равнялись соответственно $d n_{e}$ и $d n_{i}$.

Если $V_{A}$ — это потенциал в точке $A$, то потенциалы в точках $B$ и $C$ будут равны
\[
\begin{array}{l}
V_{B}=V_{A}+\frac{\partial V}{\partial n_{e}} d n_{e}, \\
V_{C}=V_{A}+\frac{\partial V}{\partial n_{i}} d n_{i} .
\end{array}
\]

К тому же
\[
\frac{\partial V}{\partial n_{e}}+\frac{\partial V}{\partial n_{i}}=-4 \pi \mu,
\]

где $\mu$ — это поверхностная плотность притягивающей массы.
Предположим, что нормаль направлена наружу. Если ее направляющие косинусы обозначить через $l, m, n$, а значения частных производных снаружи и изнутри поверхности через
\[
\left(\frac{\partial V}{\partial x}\right)_{e}, \quad\left(\frac{\partial V}{\partial y}\right)_{e}, \quad\left(\frac{\partial V}{\partial z}\right)_{e} ; \quad\left(\frac{\partial V}{\partial x}\right)_{i}, \quad\left(\frac{\partial V}{\partial y}\right)_{i}, \quad\left(\frac{\partial V}{\partial z}\right)_{i},
\]

то
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial V}{\partial n_{e}} & =l\left(\frac{\partial V}{\partial x}\right)_{e}+m\left(\frac{\partial V}{\partial y}\right)_{e}+n\left(\frac{\partial V}{\partial z}\right)_{e}, \\
-\frac{\partial V}{\partial n_{i}} & =l\left(\frac{\partial V}{\partial x}\right)_{i}+m\left(\frac{\partial V}{\partial y}\right)_{i}+n\left(\frac{\partial V}{\partial z}\right)_{i} .
\end{aligned}
\]

Теорема Гаусса. Гаусс доназал, что вне притягивающих масс функция $V$ не имеет ни максимумов, ни минимумов в силу того, что $\Delta V=0$.

Вообще говоря, если значение $\Delta V$ положительно или равно нулю, функция $V$ не имеет максимумов, если же значение $\Delta V$ отрицательно или равно нулю, функция $V$ не имеет минимумов. В рассматриваемом случае $\Delta V$ равно нулю либо отрицательно; следовательно, функция $V$ не имеет минимумов, а в области вне действующих масс — и максимумов.

Таким образом, если на поверхности, не содержащей притягивающих масс, значение функции $V$ заключено между числами $g$ и $h$, то во всякой точке, расположенной внутри поверхности, будет верно неравенство $g<V<h$.

Теорема Грина. Если $U$ и $V$ суть непрерывные функции внутри объема $T$, ограниченного поверхностью $S$, то выполняется следующее равенство:
\[
\int_{S} U \frac{\partial V}{\partial n} d \sigma=\int_{T} U \Delta V d \tau+\int_{T}\left(\frac{\partial U}{\partial x} \frac{\partial V}{\partial x}+\frac{\partial U}{\partial y} \frac{\partial V}{\partial y}+\frac{\partial U}{\partial z} \frac{\partial V}{\partial z}\right) d \tau .
\]

Поменяв местами $U$ и $V$ и вычтя полученное равенство из равенства (1), получим следующее выражение:
\[
\int_{S}\left(U \frac{\partial V}{\partial n}-V \frac{\partial U}{\partial n}\right) d \sigma=\int_{T}(U \Delta V-V \Delta U) d \tau .
\]

Частные случаи равенства (1): при $U=1$
\[
\int_{S} \frac{\partial V}{\partial n} d \sigma=\int_{T} \Delta V d \tau
\]

а при $U=V$
\[
\int_{S} V \frac{\partial V}{\partial n} d \sigma=\int_{T} V \Delta V d \tau+\int_{T}\left[\left(\frac{\partial V}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial V}{\partial y}\right)^{2}+\left(\frac{\partial V}{\partial z}\right)^{2}\right] d \tau .
\]

Если функция $V$ удовлетворяет уравнению Лапласа, $\Delta V=0$, то
\[
\int_{S} V \frac{\partial V}{\partial n} d \sigma=\int_{T}\left[\left(\frac{\partial V}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial V}{\partial y}\right)^{2}+\left(\frac{\partial V}{\partial z}\right)^{2}\right] d \tau,
\]

причем и первый, и второй члены здесь положительны.
Если функции $U$ и $V$ описывают потенциалы точек, находящихся на сфере достаточно большого радиуса, то их значения составляют величины порядка $1 / R$, а значения их первых производных — порядка $1 / R^{2}$. В этом случае возможно применить формулу (1) для описания пространства снаружи поверхности $S$, но внутри некоторой другой сферы очень большого радиуса. Если этот радиус достаточно велик, то интеграл, взятый по поверхности сферы $\varphi$, пренебрежимо мал, т. е. порядка $1 / R$. Однако существует следующее соотношение:
\[
\int_{S} U \frac{\partial V}{\partial n_{e}} d \sigma+\int_{S} U \frac{\partial V}{\partial n_{i}} d \sigma=0
\]

так как элементы интеграла взаимно уничтожаются.
Что касается интегралов от вторых членов, их сумма дает интегралы по всей области. После сложения двух полученных равенств имеет место следующее равенство:
\[
\int U \Delta V d \tau+\int\left(\frac{\partial V}{\partial x} \frac{\partial U}{\partial x}+\frac{\partial V}{\partial y} \frac{\partial U}{\partial y}+\frac{\partial V}{\partial z} \frac{\partial U}{\partial z}\right) d \tau=0,
\]

и интегралы здесь берутся по всему пространству.
Формула (2) дает
\[
\int(U \Delta V-V \Delta U) d \tau=0
\]

и, учитывая, что
\[
\begin{array}{l}
-\Delta V=4 \pi \rho, \\
-\Delta V_{1}=4 \pi \rho_{1},
\end{array}
\]

мы получим следующую формулу:
\[
\int\left(V_{1} \rho-V \rho_{1}\right) d \tau=0,
\]

где интегрирование производится по всему пространству.
Формулу, аналогичную вышеприведенной, можно встретить в теории электричества:
\[
\sum m V_{1}-\sum m_{1} V=0 .
\]

Произведем следующие подстановки в формуле (7):
\[
V_{1}=V+d V, \quad \rho_{1}=\rho+d \rho ;
\]

в результате получим выражение:
\[
\int(V d \rho-\rho d V) d \tau=0 .
\]

Работа сил притяжения. Представим себе систему масс $m^{\prime}$, $m^{\prime \prime}, \ldots$ и т. д., испытывающую притяжение со стороны другой системы масс $m_{1}^{\prime}, m_{1}^{\prime \prime}, \ldots$

Пусть $V_{1}^{\prime}, V_{1}^{\prime \prime}, \ldots$ есть потенциалы точек $m^{\prime}, m^{\prime \prime}, \ldots$ относительно притягивающих масс $m_{1}^{\prime}, m_{1}^{\prime \prime}, \ldots$, а $V^{\prime}, V^{\prime \prime}, \ldots$ — потенциалы точек $m_{1}^{\prime}, m_{1}^{\prime \prime}, \ldots$ относительно притягивающих масс $m^{\prime}, m^{\prime \prime}, \ldots$

При перемещении притягивающих масс совершается следующая работа:
\[
\varepsilon=\sum m\left(\frac{\partial V_{1}}{\partial x} \delta x+\frac{\partial V_{1}}{\partial y} \delta y+\frac{\partial V_{1}}{\partial z} \delta z\right),
\]

где $\delta x, \delta y, \delta z$ есть смещения точки с массой $m$; или
\[
\varepsilon=\sum m \delta V_{1} .
\]

Произведя подстановку
\[
\Pi=\sum m V_{1},
\]

получим следующее выражение:
\[
\varepsilon=\delta \Pi \text {. }
\]

Если перемещаются притягивающие массы, потенциал $V_{1}$ принимает вид $V_{1}+\delta^{\prime} V_{1}$ и имеет место следующее равенство:
\[
\delta^{\prime} \Pi=\sum m \delta^{\prime} V_{1}^{\prime} .
\]

Если же эти два перемещения происходят одновременно, то
\[
\varepsilon=\delta \Pi+\delta^{\prime} \Pi \text {. }
\]

Предположим, что притягиваемые массы образуют объем $T$, в этом случае
\[
\Pi=\int_{T} \rho V_{1} d \tau .
\]

Впрочем, интегрирование может проводиться и по всему пространству, поскольку вне объема $T$ значение $\rho$ равно нулю. Отсюда
\[
\delta \Pi=\int V_{1} \delta \rho d \tau,
\]

где интегрирование также проводится по всему пространству.
Если притягивающая масса равна притягиваемой массе, то $V=V_{1}$ и
\[
\delta \Pi=\int V \delta \rho d \tau .
\]

Принимая во внимание равенство (8), это можно записать следующим образом:
\[
\delta \Pi=\int \rho \delta V d \tau
\]

или
\[
\delta \Pi=\int \frac{\rho \delta V+V \delta \rho}{2} d \tau .
\]

Допустим теперь, что
\[
W=\int \frac{\rho V}{2} d \tau
\]

где $W$ — энергия системы, а интегрирование всегда производится по всему пространству.
Имеет место следующее соотношение:
\[
\delta W=\varepsilon .
\]

Поскольку $\Delta V=-4 \pi \rho$, можно записать следующее:
\[
W=-\frac{1}{8 \pi} \int V \Delta V d \tau
\]

и, учитывая равенство (6),
\[
W=\frac{1}{8 \pi} \int\left[\left(\frac{\partial V}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial V}{\partial y}\right)^{2}+\left(\frac{\partial V}{\partial z}\right)^{2}\right] d \tau .
\]

Здесь интегрирование всегда производится по всему пространству.
Условия равновесия. А теперь, учитывая вышеизложенное, приступим к изучению задачи, которую мы перед собой поставили.

Рассмотрим жидкую массу, изолированную от всякого внешнего влияния и вращающуюся вокруг неподвижной оси, которую мы обозначим через $O z$; движение происходит равномерно с угловой скоростью $\omega$. Введем также оси $O x$ и $O y$, жестко связанные с жидкой массой.

Пусть $p$ — это давление в точке с координатами $(x, y, z) ; p$ зависит только от координат $x, y, z$; силу, действующую на единицу объема $d \tau$, можно представить как сумму трех составляющих:
\[
X=\frac{\partial p}{\partial x} d \tau, \quad Y=\frac{\partial p}{\partial y} d \tau, \quad Z=\frac{\partial p}{\partial z} d \tau .
\]

Запишем условия относительного равновесия, заметив, что кориолисово ускорение равно нулю. Обозначив через $X, Y$ и $Z$ составляющие, или проекции на координатные оси, силы, действующей на молекулу с координатами $(x, y, z)$, получим следующую систему уравнений:
\[
\left\{\begin{array}{l}
X=\rho \frac{\partial V}{\partial x}+\omega^{2} \rho x, \\
Y=\rho \frac{\partial V}{\partial y}+\omega^{2} \rho y, \\
Z=\rho \frac{\partial V}{\partial z},
\end{array}\right.
\]

а допустив, что
\[
U=V+\frac{\omega^{2}}{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)
\]

получим
\[
\frac{\partial p}{\partial x}=\rho \frac{\partial U}{\partial x}, \quad \frac{\partial p}{\partial y}=\rho \frac{\partial U}{\partial y}, \quad \frac{\partial p}{\partial z}=\rho \frac{\partial U}{\partial z},
\]

откуда следует
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial p}{\partial x} d x+\frac{\partial p}{\partial y} d y+\frac{\partial p}{\partial z} d z & =\rho\left(\frac{\partial U}{\partial x} d x+\frac{\partial U}{\partial y} d y+\frac{\partial U}{\partial z} d z\right) \\
d p & =\rho d U .
\end{aligned}
\]

Из данного соотношения видно, что $\rho$ зависит только от $p$; таким образом, $U$ также зависит только от $p$ и, следовательно, от $\rho$. На основании вышеизложенного можно сформулировать следующую теорему:

Теорема. Если жидкая масса, совершающая вращательное движение вокруг неподвижной оси, находится в относительном равновесии, то уровенные поверхности являются поверхностями равного давления, а также равной плотности.

На поверхности жидкости $p=0 .{ }^{1}$ Следовательно, на ней $U$ есть величина постоянная, и такая свободная поверхность представляет собой уровенную поверхность.
При отсутствии вращения $U=V$.
В общем случае имеет место соотношение $\Delta V=-4 \pi \rho$. Таким образом, $\Delta V$ есть функция от $U$.

Заметим, что суммарная сила с компонентами $\frac{\partial U}{\partial x}, \frac{\partial U}{\partial y}, \frac{\partial U}{\partial z}$ в общем случае нормальна к уровенным поверхностям $U=C$.
Эти условия равновесия являются необходимыми.
Кроме того, необходимым и достаточным условием равновесия является следующее: результирующая работа виртуального смещения должна быть равна нулю. Эта работа состоит из работы сил притяжения и работы, совершаемой центробежной силой.
${ }^{1}$ Это лишь частный случай. В общем же давление на поверхности фигуры относительного равновесия обязано быть просто постоянным. (Здесь и далее — примечания редактора, кроме случаев, оговоренных особо.)

Первую из них, $\delta W$, мы уже рассматривали, вторая же определяется из следующего выражения:
\[
\int \rho d \tau\left(\omega^{2} x \delta x+\omega^{2} y \delta y\right)=\int \rho d \tau \delta \frac{\omega^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)}{2}=\delta \frac{\omega^{2}}{2} \int \rho\left(x^{2}+y^{2}\right) d \tau .
\]

Если $J$ — момент инерции по отношению к оси $O z$, то работа центробежной силы равна
\[
\delta \frac{\omega^{2}}{2} J
\]

а условие равновесия выглядит следующим образом:
\[
\delta W+\frac{\omega^{2}}{2} \delta J=0
\]

для всякого смещения, согласованного со связями системы.
Данное условие не обязательно предполагает, что
\[
W+\frac{\omega^{2}}{2} J
\]

будет максимальным; для этого должны быть соблюдены также некоторые другие условия, однако когда эта функция достигает максимума, равновесие устойчиво ${ }^{1}$.
Пусть $T$ — относительная живая сила. Имеем
\[
T-\left(W+\frac{\omega^{2}}{2} J\right)=C^{\text {te }} .
\]

Допустим, что $W+\frac{\omega^{2}}{2} J=\widetilde{U},{ }^{2}$ и обозначим максимальное значение $\widetilde{U}$ через $\widetilde{U}_{0}$.
Имеет место следующее равенство:
\[
T-\widetilde{U}=T_{0}-\widetilde{U}_{0} .
\]

Теперь присвоим функции $\tilde{U}$ некое значение $\tilde{U}<\tilde{U}_{0}$, а функции $T$ — значение $\alpha$, и получим в результате
\[
T-\widetilde{U}=T_{0}-\widetilde{U}_{0}, \quad T=\alpha-\left(\tilde{U}_{0}-\tilde{U}\right) .
\]

Живая сила $T$ в каждый из последующих моментов будет меньше $T_{0}$. Таким образом, равновесие устойчиво.
${ }^{1}$ Это — условие устойчивости по Кельвину.
${ }^{2}$ В оригинале тильда отсутствует, что может внести путаницу, поскольку несколько выше под $U$ понимается другая функция.

Соотношение между массой, объемом и скоростью вращения. Одним из необходимых условий равновесия является следующее: сила, действующая на любую из точек свободной поверхности, должна быть направлена внутрь, иначе эта точка отделится от системы. Таким образом, должно соблюдаться неравенство $\frac{\partial U}{\partial n_{e}}<0$ и, как следствие,
\[
\int_{S} \frac{\partial U}{\partial n_{e}} d \sigma<0 .
\]

Учитывая формулу (3), данное неравенство можно преобразовать к следующему виду:
\[
\int_{T} \Delta U d \tau<0 .
\]

Следовательно, должно соблюдаться неравенство
\[
\int_{T} \Delta V d \tau+\int_{T} 2 \omega^{2} d \tau<0,
\]
T. e.
\[
-4 \pi \int_{T} \rho d \tau+\int 2 \omega^{2} d \tau<0 .
\]

Обозначив объем через $T$, а массу через $M$, получим
\[
-4 \pi M+2 \omega^{2} T<0 .
\]

В частном случае постоянной плотности $\rho$ формула преобразуется к следующему виду:
\[
2 \omega^{2}<4 \pi \rho . \quad[1]^{1}
\]

При применении данной формулы следует помнить, что единицы измерения выбраны так, что ньютоновская сила притяжения выражается формулой ${ }^{2}$
\[
f=\frac{m m^{\prime}}{r^{2}} .
\]
${ }^{1}$ Ссылки в квадратных скобках указывают на комментарии редактора, приведенные в конце книги.
${ }^{2}$ Здесь гравитационная постоянная $G=1$.