ФИГУРЫ РАВНОВЕСИЯ

Проблема Дирихле для эллипсоида. Рассмотрим теперь проблему Дирихле для эллипсоида, в рамках которой на поверхности эллипсоида, определяемого параметром $\rho_{0}$, даны значения некоторой функции $V$; требуется найти функцию $V$, которая бы удовлетворяла уравнению Лапласа и принимала на поверхности эллипсоида данные значения.
Пусть на поверхности эллипсоида
\[
V=\Phi=\sum A_{i} M_{i} N_{i} .
\]

Положим
\[
A_{i}=\alpha_{i} R_{i}^{0} S_{i}^{0},
\]

где $R_{i}^{0}$ – значение при $\rho=\rho_{0}$ функции $R_{i}$, а $S_{i}^{0}$ – значение при $\rho=\rho_{0}$ функции $S_{i}$.
Тогда
\[
\Phi=\sum \alpha_{i} R_{i}^{0} S_{i}^{0} M_{i} N_{i} .
\]

Теперь рассмотрим функцию, задаваемую выражением
\[
\sum \alpha S^{0} R M N
\]

внутри эллипсоида и выражением
\[
\sum \alpha R^{0} S M N
\]

снаружи того же эллипсоида.
Эти два ряда сходятся в указанных промежутках, и, следовательно, функция полностью определена.

Найдем значения величин
\[
\frac{\partial V}{\partial n_{e}} \quad \text { и } \frac{\partial V}{\partial n_{i}} .
\]

Имеем
\[
\frac{\partial V}{\partial n_{i}}=\sum \alpha_{i} R_{i}^{0} S_{i}^{\prime} M_{i} N_{i} \cdot \frac{d u}{d n}=-l \sum \alpha_{i} R_{i}^{0} S_{i}^{\prime 0} M_{i} N_{i} .
\]

В то же время
\[
\frac{\partial V}{\partial n_{e}}=-l \sum \alpha_{i} S_{i}^{0} R_{i}^{\prime 0} M_{i} N_{i} .
\]

Функция $V$ остается непрерывной при пересечении с поверхностью, но ее производные терпят разрыв. Таким образом, $V$ представляет собой потенциал, создаваемый распределенной по поверхности массой, плотность которой $\delta$ определяется соотношением
\[
\frac{\partial V}{\partial n_{e}}-\frac{\partial V}{\partial n_{i}}=-4 \pi \delta .
\]

Вместо того чтобы предполагать переменную плотность, можно предположить, что распределение плотности равно единице, а изменяется толщина слоя, причем изменяется согласно отношению
\[
\frac{\partial V}{\partial n_{e}}-\frac{\partial V}{\partial n_{i}}=-4 \pi \zeta ;
\]

это уравнение полностью определяет $\zeta$, поскольку
\[
4 \pi \zeta=-l \sum \alpha_{i}\left(R_{i}^{0} S_{i}^{\prime 0}-R_{i}^{\prime 0} S_{i}^{0}\right) M_{i} N_{i}=l \sum \alpha(2 n+1) M N .
\]

Если толщина слоя определяется функцией вида
\[
\sum l \beta M N,
\]

то потенциал на поверхности эллипсоида определяется из формулы
\[
\sum \frac{\beta}{2 n+1} M N,
\]

откуда легко вывести выражения для потенциала внутри и снаружи поверхности.

Применение. Рассмотрим простейшие функции Ламэ.
1. При $n=0$ имеем
\[
R_{0}=M_{0}=N_{0}=1, \quad S=u .
\]
2. При $n=1$ имеем три функции $R$ :
\[
R_{1}=\sqrt{\rho^{2}-a^{2}}, \quad R_{2}=\sqrt{\rho^{2}-b^{2}}, \quad R_{3}=\sqrt{\rho^{2}-c^{2}} .
\]

Положив
\[
\begin{array}{l}
h_{1}=\frac{1}{\sqrt{\left(a^{2}-b^{2}\right)\left(a^{2}-c^{2}\right)}}, \\
h_{2}=\frac{1}{\sqrt{\left(b^{2}-c^{2}\right)\left(b^{2}-a^{2}\right)}}, \\
h_{3}=\frac{1}{\sqrt{\left(c^{2}-a^{2}\right)\left(c^{2}-b^{2}\right)}},
\end{array}
\]

получим ${ }^{1}$
\[
x=h_{1} R_{1} M_{1} N_{1}, \quad y=h_{2} R_{2} M_{2} N_{2}, \quad z=h_{3} R_{3} M_{3} N_{3} .
\]
3. При $n=2$ имеем, прежде всего, два полинома второй степени:
\[
\rho^{2}-h^{2}
\]

и
\[
\rho^{2}-h^{\prime 2},
\]

которые можно легко вычислить. Известно, что
\[
a^{2}>h^{2}>b^{2}>h^{\prime 2}>c^{2} ;
\]

откуда получим три функции:
\[
\begin{array}{l}
R_{4}=\sqrt{\left(\rho^{2}-b^{2}\right)\left(\rho^{2}-c^{2}\right)}, \\
R_{5}=\sqrt{\left(\rho^{2}-c^{2}\right)\left(\rho^{2}-a^{2}\right)}, \\
R_{6}=\sqrt{\left(\rho^{2}-a^{2}\right)\left(\rho^{2}-b^{2}\right)} .
\end{array}
\]
${ }^{1}$ Таким образом, совершается переход от эллиптических координат к декартовым.

Имеем
\[
R_{4}=R_{2} R_{3}, \quad R_{5}=R_{1} R_{3}, \quad R_{6}=R_{1} R_{2} ;
\]

из них следует, что $y z=h_{2} h_{3} R_{4} M_{4} N_{4}, z x=h_{3} h_{1} R_{5} M_{5} N_{5}$, а $x y=$ $=h_{1} h_{2} R_{6} M_{6} N_{6}$.

Отметим еще значение функций $R_{1}, R_{2}, R_{3}$, которые являются полуосями эллипсоида, определяемого параметром $\rho$. Его объем равен
\[
T=\frac{4}{3} \pi R_{1} R_{2} R_{3}=\frac{4}{3} \pi R_{1} R_{4} .
\]

Предположим, что на поверхности эллипсоида имеется тонкий слой постоянной плотности и толщины
\[
\zeta=M_{0} N_{0}
\]

потенциал на поверхности в этом случае равен
\[
V=4 \pi R_{0}^{0} S_{0}^{0} M_{0} N_{0}=4 \pi u_{0} ;
\]

нижние индексы здесь указывают порядок функции Ламэ, а верхний то, что $\rho$ берется равным $\rho_{0}$. Потенциал внутри поверхности равен
\[
4 \pi S_{0}^{0} R_{0} M_{0} N_{0}=4 \pi u_{0},
\]
т. е. потенциал остается постоянным. Следовательно, распределение вещества будет таким же, как равновесное распределение электрических зарядов на поверхности проводящего эллипсоида.
Потенциал снаружи поверхности равен
\[
4 \pi R_{0}^{0} S_{0} M_{0} N_{0}=4 \pi u .
\]

Таким образом, эквипотенциальные поверхности являются поверхностями, где $u=C^{\text {te }}$, или поверхностями постоянного $\rho$, т. е. софокусными эллипсоидами.

Соответствующий тонкий слой – это слой, заключенный между двумя софокусными эллипсоидами, расстояние между которыми равно $\zeta$.

Притяжение однородного эллипсоида. Возьмем однородный эллипсоид, потенциал которого равен $V$ (рис. 17), и сместим его на величину $\varepsilon$ параллельно оси $O x$. Потенциал в точке $(x, y, z)$ примет вид
\[
V^{\prime}(x-\varepsilon, y, z)=V(x, y, z)-\varepsilon \frac{\partial V}{\partial x},
\]

а эллипсоид займет положение $E^{\prime}$. Разность потенциалов обусловлена тем, что добавлена заштрихованная область справа, и отнята заштрихованная область слева. Можно предположить, что эта разность представляет собой потенциал некоторого слоя толщины $\zeta$, распределенного по поверхности эллипсоида, где величина $\zeta$ положительна справа и отрицательна слева.

Вычислим значение $\zeta$. Пусть $P P^{\prime \prime}$ – нормаль, общая для обоих эллипсоидов, т.е. $\zeta=P P^{\prime \prime}, P P^{\prime}=\varepsilon$, Рис. 17 а $P P^{\prime} P^{\prime \prime}$ – прямоугольный треугольник с прямым углом в вершине $P^{\prime \prime}$. Отсюда,
\[
P P^{\prime \prime}=\varepsilon \cos \left(P P^{\prime}, P P^{\prime \prime}\right) .
\]

Поскольку $P P^{\prime \prime} \cos \left(P P^{\prime}, P P^{\prime \prime}\right)$ является проекцией $P P^{\prime \prime}$ на ось $O x$ и $P P^{\prime \prime}$ есть нормаль к эллипсоиду $\rho$, имеем
\[
\zeta \cos P=\frac{\partial x}{\partial \rho} d \rho=\frac{\partial x}{\partial \rho} \frac{d \rho}{d n} d n=\frac{\partial x}{\partial \rho} \frac{d \rho}{d n} \zeta .
\]

Из этих равенств выводим
\[
\cos P=\frac{\partial x}{\partial \rho} \frac{d \rho}{d n}=\frac{\partial x}{\partial u} \frac{d u}{d n}=-l \frac{\partial x}{\partial u} .
\]

Мы уже знаем, что
\[
\frac{\partial x}{\partial u}=h R_{1}^{\prime} M_{1} N_{1},
\]

где
\[
R_{1}^{\prime}=\frac{\partial R_{1}}{\partial \rho} \frac{d \rho}{d u}=-A \frac{\rho}{R_{1}}
\]

и, поскольку
\[
A=\frac{1}{\rho} \sqrt{\left(\rho^{2}-a^{2}\right)\left(\rho^{2}-b^{2}\right)\left(\rho^{2}-c^{2}\right)}=\frac{1}{\rho} R_{1} R_{2} R_{3}=\frac{1}{\rho} R_{1} R_{4},
\]

можно заключить, что
\[
R_{1}^{\prime}=R_{4}
\]

и
\[
\frac{\partial x}{\partial u}=h R_{4} M_{1} N_{1} .
\]

Следовательно,
\[
\cos P=h l R_{4}^{0} M_{1} N_{1}, \quad \zeta=\varepsilon h l R_{4}^{0} M_{1} N_{1} .
\]

Теперь, применяя известную формулу, можно определить потенциал $V^{\prime}$, обусловленный слоем толщины $\zeta$. На поверхности эллипсоида имеем
\[
V^{\prime}=-\frac{4 \pi}{3} \varepsilon h R_{4}^{0} S_{1}^{0} R_{1}^{0} M_{1} N_{1} .
\]

Внутри эллипсоида
\[
V^{\prime}=-\frac{4 \pi h}{3} \varepsilon R_{4}^{0} S_{1}^{0} R_{1} M_{1} N_{1}
\]

и, поскольку $R_{1} M_{1} N_{1}=x$,
\[
V^{\prime}=-\frac{\varepsilon T x S_{1}^{0}}{R_{1}^{0}} ;
\]

отсюда
\[
\frac{\partial V}{\partial x}=-\frac{T x S_{1}^{0}}{R_{1}^{0}} .
\]

Снаружи эллипсоида имеем
\[
\frac{\partial V}{\partial x}=\frac{4 \pi h}{3} R_{4}^{0} R_{1}^{0} S_{1} M_{1} N_{1}=-\frac{T x S_{1}}{R_{1}} .
\]

Таким образом, величина $\frac{\partial V}{\partial x}$, представляющая собой составляющую силы притяжения, параллельную оси $O x$, пропорциональна $x$ внутри эллипсоида; снаружи же зависимость несколько сложнее.

Теорема Айвори. Рассмотрим два софокусных эллипсоида: первый $E_{0}$ определен параметром $\rho_{0}$, второй $E_{1}$ – параметром $\rho_{1}$, причем $\rho_{1}>\rho_{0}$ (рис. 18). Отметим две соответственные точки $P_{0}$ и $P_{1}$, эллиптические координаты которых равны $\left(\rho_{0}, \mu,
u\right)$ и $\left(\rho_{1}, \mu,
u\right)$ соответственно. Прямоугольные координаты этих точек пропорциональны, т. e.
\[
x_{0}=p x_{1}, \quad y_{0}=q y_{1}, \quad z_{0}=r z_{1},
\]

где $p, q, r$ – функции от $\rho_{0}$ и от $\rho_{1}$.

Теорема Айвори устанавливает отношение силы притяжения эллипсоида $E_{1}$ в точке $P_{0}$ к силе притяжения эллипсоида $E_{0}$ в точке $P_{1}$. Составляющая первой из этих сил, параллельная оси $O x$, равна
\[
4 \pi h R_{4}^{1} S_{1}^{1} R_{1}^{0} M_{1} N_{1} ;
\]

соответствующая составляющая второй силы равна
\[
4 \pi h R_{4}^{0} R_{1}^{0} S_{1}^{1} M_{1} N_{1} .
\]

Рис. 18
Отсюда отношение
\[
\frac{R_{4}^{0}}{R_{4}^{1}}=C^{\mathrm{te}} ;
\]

аналогично находятся отношения составляющих сил притяжения, параллельных осям $O y$ и $O z$, равные соответственно
\[
\frac{R_{5}^{0}}{R_{5}^{1}} \quad \text { и } \quad \frac{R_{6}^{0}}{R_{6}^{1}} .
\]

Эллипсоид Маклорена. ${ }^{1}$ Возьмем однородный эллипсоид и повернем его вокруг оси $O x$ на бесконечно малый угол $\omega$. При этом точка с координатами $x, y, z$ получит новые координаты
\[
x, \quad y+\omega z, \quad z-\omega y,
\]

а потенциал ее примет вид
\[
V(x, y+z \omega, z-y \omega)=V(x, y, z)+\omega\left(z \frac{\partial V}{\partial y}-y \frac{\partial V}{\partial z}\right) .
\]

Потенциал $V^{\prime}-V$ обусловлен поверхностным слоем, заключенным между двумя эллипсоидами.

Если точка с координатами $(x, y, z)$ расположена внутри эллипсоида, то составляющие действующей на нее силы равны
\[
-\frac{T x S_{1}^{0}}{R_{1}^{0}}, \quad-\frac{T y S_{2}^{0}}{R_{2}^{0}}, \quad-\frac{T z S_{3}^{0}}{R_{3}^{0}} ;
\]
${ }^{1}$ Сейчас принято говорить: сфероид Маклорена.

этой силе соответствует потенциал
\[
V=V_{0}-\frac{T}{2}\left(x^{2} \frac{S_{1}}{R_{1}}+y^{2} \frac{S_{2}}{R_{2}}+z^{2} \frac{S_{3}}{R_{3}}\right),
\]

где $V_{0}$ – потенциал в центре тела. Эта формула верна также и на поверхности эллипсоида, а значит,
\[
\frac{\partial V}{\partial y} \quad \text { и } \frac{\partial V}{\partial z}
\]

пропорциональны значениям $y$ и $z$, и имеет место равенство
\[
V^{\prime}-V=A \omega y z=A \omega R_{4} M_{4} N_{4} .
\]

Согласно формуле, приведенной выше (стр. 134), толщина слоя в некоторой точке равна
\[
\frac{5 A \omega l}{4 \pi} \frac{M_{4} N_{4}}{S_{4}^{0}} .
\]

Чтобы эллипсоид мог являться фигурой равновесия, на его поверхности должно выполняться следующее условие:
\[
V+\frac{\omega^{2}}{2}\left(y^{2}+z^{2}\right)=C^{\mathrm{te}} .
\]

Обсудим теперь более общую проблему. Выясним, может ли трехосный эллипсоид быть фигурой равновесия, учитывая, что помимо внутренних сил взаимного притяжения на него действует сила, обусловленная потенциалом
\[
\frac{1}{2}\left(\alpha x^{2}+\beta y^{2}+\gamma z^{2}\right),
\]

где $\alpha, \beta, \gamma$ – некоторые константы.
Для того чтобы имело место равновесие, необходимо, чтобы на поверхности эллипсоида, задаваемого уравнением
\[
\frac{x^{2}}{R_{1}^{2}}+\frac{y^{2}}{R_{2}^{2}}+\frac{z^{2}}{R_{3}^{2}}-1=0,
\]

была постоянной функция
\[
x^{2}\left(\alpha-\frac{T S_{1}}{R_{1}}\right)+y^{2}\left(\beta-\frac{T S_{2}}{R_{2}}\right)+z^{2}\left(\gamma-\frac{T S_{3}}{R_{3}}\right) .
\]

Следовательно, должно выполняться равенство
\[
\alpha R_{1}^{2}-T S_{1} R_{1}=\beta R_{2}^{2}-T S_{2} R_{2}=\gamma R_{3}^{2}-T S_{3} R_{3} .
\]

В нашем частном случае вращающегося эллипсоида $\alpha=0, \beta=\gamma=$ $=\omega^{2}$, и равенство принимает вид
\[
T S_{1} R_{1}=\omega^{2} R_{2}^{2}-T S_{2} R_{2}=\omega^{2} R_{3}^{2}-T S_{3} R_{3} ;
\]

отсюда
\[
\frac{\omega^{2}}{T}=\beta \frac{R_{3} S_{3}-R_{1} S_{1}}{R_{3}^{2}}=\beta \frac{R_{2} S_{2}-R_{1} S_{1}}{R_{2}^{2}} ;
\]

очевидно,
\[
T=\frac{4 \pi}{3} R_{1} R_{2} R_{3} .
\]

В задаче с неизвестными $\rho^{2}-a^{2}, \rho^{2}-b^{2}, \rho^{2}-c^{2}$ величина $T$ задана изначально.

Согласно первоначальному условию, величина $\omega^{2}$ должна быть положительна. Значит,
\[
R_{2} S_{2}-R_{1} S_{1}>0, \quad R_{3} S_{3}-R_{1} S_{1}>0 .
\]

Эти неравенства всегда справедливы. Докажем, например, что верно первое из них, т.е.
\[
R_{2} S_{2}-R_{1} S_{1}>0 .
\]

Заметим, что величины $R_{1}, R_{2}, S_{1}$ и $S_{2}$ положительны, поскольку $\rho^{2}>a^{2}$, а значит, должно быть верно следующее:
\[
\frac{S_{2}}{S_{1}}>\frac{R_{1}}{R_{2}},
\]
T. e.
\[
\frac{R_{2} \int_{0}^{u} \frac{d u}{R_{2}^{2}}}{R_{1} \int_{0}^{u} \frac{d u}{R_{1}^{2}}}>\frac{R_{1}}{R_{2}}
\]

или
\[
\frac{\int_{0}^{u} \frac{d u}{R_{2}^{2}}}{\int_{0}^{u} \frac{d u}{R_{1}^{2}}}>\frac{\frac{1}{R_{2}^{2}}}{\frac{1}{R_{1}^{2}}},
\]

что возвращает нас к известной арифметической теореме. Значение первого отношения находится в интервале между наибольшим и наименьшим значениями отношения величин, расположенных под знаком интеграла: наибольшее из этих значений, соответствующее $u=0$ и $\rho=$ $=\infty$, есть единица, наименьшее равно $\frac{\rho^{2}-a^{2}}{\rho^{2}-b^{2}}$. Теорема, таким образом, доказана. Более общее доказательство будет приведено ниже.

Далее мы видим, что ось вращения не может быть осью $O y$, так как необходимо, чтобы величина $R_{2} S_{2}$ была наибольшей из трех аналогичных величин.

Уравнение (II) имеет одно очевидное решение, а именно, $R_{2}=R_{3}$, которое соответетует эллисоиду вращения вокруг оси $O x$. Такой эллипсоид называется эллипсоидом Маклорена.

Эллипсоид Якоби. Равенство (II) может также описывать другой эллипсоид, а именно – эллипсоид, найденный Якоби; однако, прежде чем мы займемся его изучением, необходимо сделать одно замечание.

Рассматривая некоторый однородный эллипсоид, мы всегда можем подобрать постоянные $\alpha, \beta, \gamma$ так, чтобы выполнялось равенство (I), т.е. чтобы этот эллипсоид находился в равновесии под действием силы тяжести и некоторой дополнительной силы, составляющие которой равны $\alpha x, \beta y, \gamma z$. Далее мы предполагаем, что $\alpha=0$.

Условие равновесия однородного эллипсоида $E$, на который действуют сила тяжести и некая противодействующая сила, обусловленная потенциалом $\frac{1}{2}\left(\beta y^{2}+\gamma z^{2}\right)$, заключается в том, чтобы на его поверхности функция
\[
U=V+\frac{1}{2}\left(\beta y^{2}+\gamma z^{2}\right)
\]

была постоянной.

Допустим, что эллипсоид слабо деформируется, так что его новая поверхность $\Sigma$ мало отличается от эллипсоидальной, и выясним, при каком условии эта $\Sigma$ даст фигуру равновесия, полагая, что на жидкость по-прежнему действуют те же силы, т.е. сила тяжести и сила $\alpha x, \beta y$, $\gamma z$.

Обозначив потенциал фигуры $\Sigma$ через $V+v$, запишем для нее условие равновесия на поверхности
\[
V+v+\frac{1}{2}\left(\beta y^{2}+\gamma z^{2}\right)=C^{\text {te }} .
\]

Проведем нормаль к поверхности $E$ и обозначим ее длину между $E$ и $\Sigma$ через $\zeta$. Величину $\zeta$ можно представить в виде суммы сферических функций
\[
\zeta=-\sum \beta l M N
\]

на поверхности имеем
\[
v=\sum \frac{4 \pi \beta}{2 n-1} R^{0} S^{0} M N .
\]

С другой стороны,
\[
U=U_{0}+\frac{\partial U}{\partial n} \zeta
\]

с точностью до величин порядка $\zeta^{2}$. Обозначив напряженность поля тяжести на поверхности через $g$, запишем
\[
g=-\frac{\partial U}{\partial n}
\]

откуда
\[
U=U_{0}-g \zeta .
\]

Условие равновесия требует, чтобы функция $U$ была постоянной, а поскольку
\[
\begin{array}{c}
U_{0}=V+\frac{1}{2}\left(\beta y^{2}+\gamma z^{2}\right)=C^{\mathrm{te}}, \\
U=V+v+\frac{1}{2}\left(\beta y^{2}+\gamma z^{2}\right)=C^{\mathrm{te}},
\end{array}
\]

то необходимо, чтобы на поверхности была постоянной функция
\[
v+g \zeta,
\]

т. е. чтобы выполнялось следующеє равенство:
\[
\sum \frac{4 \pi \beta}{2 n+1} R^{0} S^{0} M N-\sum g l \beta M N=C^{\mathrm{te}} .
\]

Я утверждаю, что произведение $g l$ постоянно для эллипсоида. В самом деле, если сместить эллипсоид параллельно оси $O x$, равновесие не нарушится, так как, согласно условию, $\alpha=0$ и работа силы $\alpha x, \beta y, \gamma z$ также равна нулю. Мы уже знаем, что
\[
\zeta=K l M_{1} N_{1},
\]

где $K$ – некоторая константа. Предыдущее уравнение сводится в этом случае к виду
\[
\frac{4 \pi K}{3} R_{1}^{0} S_{1}^{0} M_{1} N_{1}-g l K M_{1} N_{1}=C^{\mathrm{te}} ;
\]

это верно, только если
\[
g l=\frac{4 \tau}{3} R_{1}^{0} S_{1}^{0}{ }^{1}
\]

Тогда уравнение (1) принимает вид
\[
\sum\left(\frac{R^{0} S^{0}}{2 n+1}-\frac{R_{1}^{0} S_{1}^{0}}{3}\right) M N=C^{\mathrm{te}} .
\]

Избавившись от индекса 0 , запишем уравнение равновесия
\[
\frac{R_{i} S_{i}}{2 n+1}-\frac{R_{1} S_{1}}{3}=0 .
\]

Если масса находится в равновесии под действием сил притяжения и центробежной силы, равновесие сохранится и после поворота осей
${ }^{1}$ Это – так называемая теорема Кельвина: полное ускорение в любой точке на поверхности равновесного однородного эллипсоида обратно пропорционально длине перпендикуляра $l$ из центра до касательной плоскости, проведенной к испытуемой точке. В данном случае
\[
l=\left(\frac{x^{2}}{a^{4}}+\frac{y^{2}}{b^{4}}+\frac{z^{2}}{c^{4}}\right)^{\frac{1}{2}},
\]

где $a, b, c$ – полуоси эллипсоида.

на малый угол. Такой поворот представляет собой одно из тех преобразований, которым можно подвергать эллипсоид Якоби, не нарушая равновесия.
Мы знаем, что в этом случае
\[
\zeta=M_{4} N_{4}
\]

с точностью до некоторого постоянного множителя (стр. 140), откуда можно заключить, что для эллипсоида Якоби верно соотношение
\[
\frac{R_{4} S_{4}}{5}=\frac{R_{1} S_{1}}{3} .
\]

И наоборот, предположим, что эллипсоид находится в равновесии под действием сил притяжения и силы, обусловленной потенциалом
\[
\frac{1}{2}\left(\beta y^{2}+\gamma z^{2}\right) .
\]

Я утверждаю, что если возможно повернуть этот эллипсоид на угол $\omega$, не нарушая равновесия, то $\beta=\gamma$.
Действительно, на поверхности должно выполняться равенство
\[
V+\frac{1}{2}\left(\beta y^{2}+\gamma z^{2}\right)-V_{1}-C^{\mathrm{te}},
\]

где $V$ – ньютоновский потенциал. В вершине малой оси $V=V_{1}$. Если повернуть эллипсоид на угол $\omega$ вокруг оси $O x$, то вершина малой оси останется на поверхности, постоянная $V_{1}$ не изменится, $V$ также не изменится.
Известно, что
\[
\delta V+\beta y \delta y+\gamma z \delta z=\delta V_{1} ;
\]

таким образом, на поверхности эллипсоида
\[
\beta y \delta y+\gamma z \delta z=0 .
\]

Учитывая, что
\[
\begin{array}{l}
\delta y=\omega z, \\
\delta z=-\omega y,
\end{array}
\]

получим для поверхности условие
\[
(\beta-\gamma) \omega y z=0 .
\]

Следовательно,
\[
\beta=\gamma
\]

Уравнение эллипсоидов Якоби. Теперь нам необходимо обсудить уравнение эллипсоидов Якоби
\[
\frac{R_{4} S_{4}}{5}=\frac{R_{1} S_{1}}{3} .
\]

По способу получения это уравнение не годится для описания эллипсоидов вращения; в самом деле, в случае эллипсоидов вращения $\zeta=0$.
Поэтому вместо уравнения (1) обсудим более общее уравнение
\[
F=\frac{R_{k} S_{k}}{2 m+1}-\frac{R_{i} S_{i}}{2 n+1}=0,
\]

где $m$ – порядок функции $R_{k}, n$ – порядок функции $R_{i}$, и подразумевается, что $\rho^{2}>a^{2}$.

Величины $F$ и $\frac{F}{R_{k}^{2}}$ имеют одинаковый знак, более того, $R_{k}$ не может обратиться в нуль, так как корни полинома $R$ заключены в интервале от $a^{2}$ до $c^{2}$; отсюда уравнение
\[
F_{1}=\frac{F}{R_{k}^{2}}=\frac{S_{k}}{(2 m+1) R_{k}}-\frac{S_{i}}{(2 n+1) R_{i}} \frac{R_{i}^{2}}{R_{k}^{2}}=0
\]

имеет те же корни, что и уравнение $F=0$.
Корни уравнения $\frac{F}{R_{k}^{2}}=0$ находятся между корнями производной
\[
\frac{d F_{1}}{d u}=\frac{1}{2 m+1} \frac{d}{d u} \frac{S_{k}}{R_{k}}-\frac{1}{2 n+1} \frac{R_{i}^{2}}{R_{k}^{2}} \frac{d}{d u} \frac{S_{i}}{R_{i}}-\frac{1}{2 n+1} \frac{S_{i}}{R_{i}} \frac{d}{d u}\left(\frac{R_{i}^{2}}{R_{k}^{2}}\right) .
\]

По определению
\[
\frac{d}{d u} \frac{S_{k}}{R_{k}}=\frac{2 m+1}{R_{k}^{2}}
\]

и, следовательно,
\[
\frac{d F_{1}}{d u}=-\frac{2}{2 n+1} \frac{S_{i}}{R_{i}} \cdot \frac{R_{i}}{R_{k}} \frac{R_{i}^{\prime} R_{k}-R_{i} R_{k}^{\prime}}{R_{k}^{2}}=-\frac{2 S_{i}}{2 n+1} \frac{R_{i}^{\prime} R_{k}-R_{i} R_{k}^{\prime}}{R_{k}^{3}} .
\]

Но $S_{i}$ не может обращаться в нуль, значит, корнями $\frac{d F_{1}}{d u}$ являются корни уравнения $R_{i}^{\prime} R_{k}-R_{i} R_{k}^{\prime}=0$. Разумеется, нас интересуют только корни, большие $a^{2}$.
Производная данной функции по $u$ имеет вид
\[
R_{i}^{\prime \prime} R_{k}-R_{i} R_{k}^{\prime \prime}
\]

кроме того, по определению $R_{i}$ и $R_{k}$,
\[
R_{i}^{\prime \prime}=\left(H \rho^{2}+K\right) R_{i}
\]

отсюда
\[
R_{i} R_{k}[n(n+1)-m(m+1)] \rho^{2}+K_{i}-K_{k} .
\]

Два первых множителя не имеют корней относительно $\rho^{2}$, больших $a^{2}$, третий же имеет только один корень. Следовательно ${ }^{1}$, производная $\frac{d F}{d u}$ не может иметь более двух корней, а $F$ или $F_{1}$ – более трех.

Предположим, что функция $\frac{R_{i}}{R_{k}}$ постоянно возрастает, и ее производная нигде не обращается в нуль; в этом случае функция $F_{1}$ постоянно убывает и не может иметь ни одного корня. Напротив, если $\frac{R_{i}}{R_{k}}$ всегда убывает, $F_{1}$ возрастает на всей области определения. С другой стороны, при $u=0$ и $\rho=\infty$ значение функции $\frac{R_{i}}{S_{i}}$ почти равно $\frac{1}{\rho}$. Следовательно, функция исходит из нуля и либо постоянно возрастает, либо постоянно убывает, т.е. не имеет корней кроме $\rho=\infty$, каковой корень не является допустимым.

В самом общем случае, как мы видели, функция $F$ может иметь до трех корней, включая и корень $\rho=\infty$, т.е. ни одного, один или два корня, больших $a^{2}$. Ни одного корня она не имеет, если $\frac{R_{i}}{R_{k}}$ постоянно возрастает или убывает. $^{2}$
Вернемся к уравнению
\[
F=\frac{R_{1} S_{1}}{3}-\frac{R_{i} S_{i}}{2 n+1}=0 .
\]
${ }^{1}$ Согласно теореме Ролля.
${ }^{2}$ Отсутствие корней означает, что новых фигур равновесия в этом случае нет.

Если $R_{i}$ содержит $\sqrt{\rho^{2}-a^{2}}$ в качестве множителя, то функция $\left(\frac{R_{i}}{R_{1}}\right)^{2}$ представляет собой полином, все корни которого вещественны и заключены в интервале от $a^{2}$ до $c^{2}$, а ее производная не может обращаться в нуль при $\rho^{2}>a^{2}$. Функция $F$ в этом случае не имеет корней, больших $a^{2}$. Предположим теперь, что $R_{i}$ нельзя разделить на $\sqrt{\rho^{2}-a^{2}}$ и что $n$ много больше единицы. Я утверждаю, что в этом случае $F$ имеет по крайней мере один корень. В самом деле, если подставить $a^{2}$ в уравнение, то первый член обратится в нуль, а второй станет отрицательным; значение суммы при этом также станет отрицательным. Если же вместо $\rho$ подставить $\infty$, то первый член уравнения станет приблизительно равен
\[
\frac{1}{\rho}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{2 n+1}\right),
\]

и результат будет положительным. Следовательно, существует некоторое нечетное число корней уравнения в интервале от $a^{2}$ до $+\infty$, а так как оно не может быть больше двух, то остается один и только один корень.
Это рассулдение пе действительпо при $n=1$, т.е. если
\[
R_{i}=R_{2}=\sqrt{\rho^{2}-b^{2}}
\]

или если
\[
R_{i}=R_{3}=\sqrt{\rho^{2}-c^{2}} ;
\]

в этих случаях функция
\[
\frac{R_{i}^{2}}{R_{1}^{2}}=\frac{\rho^{2}-b^{2}}{\rho^{2}-a^{2}}
\]

и аналогичные ей функции всегда возрастают при любом $\rho^{2}$ в интервале от $\infty$ до $a^{2}$. Следовательно, соответствующее уравнение не имеет корней; эта теорема уже была изложена выше (стр. 142).
Применим это правило к эллипсоиду Якоби. Запишем уравнение
\[
\frac{R_{1} S_{1}}{3}-\frac{R_{4} S_{4}}{5}=0 ;
\]

функция $R_{4}$ не делится на $R_{1}$, значит существует один и только один корень $\rho$.

Таким образом, среди софокусных эллипсоидов существует один и только один эллипсоид, являющийся фигурой равновесия – это эллипсоид Якоби.

Фигуры, порождаемые э.липсоидом Маклорена. Положим $b^{2}=c^{2}$ и выясним, существуют ли фигуры равновесия, мало отличающиеся от эллипсоида Маклорена. Для того чтобы существовала некоторая фигура $\Sigma$, мало отличающаяся от эллипсоида Маклорена, необходимо, чтобы выполнялось условие
\[
\frac{R_{1} S_{1}}{3}=\frac{R_{i} S_{i}}{2 n+1} .
\]

Положим
\[
\frac{z}{y}=\operatorname{tg} \varphi
\]

тогда, как мы уже видели,
\[
\begin{array}{c}
N_{i}=\cos p \varphi,^{1} \\
M_{i}=h F\left(\sqrt{\frac{a^{2}-\mu^{2}}{a^{2}-b^{2}}}\right),
\end{array}
\]

где $h$ – константа. Положим также
\[
F(\xi)=\left(1-\xi^{2}\right)^{\frac{p}{2}} D^{n+p}\left(1-\xi^{2}\right)^{n} .
\]

Необходимым и достаточным условием того, чтобы уравнение (1) имело один корень, является неделимость функции $R_{i}$ на $\sqrt{\rho^{2}-a^{2}}$. Следовательно, функция $M_{i}$ также не должна быть делима на $\sqrt{a^{2}-\mu^{2}}$, а значение суммы $n+p$, где $n$ и $p$ – некоторые определенные числа, должно быть четным. Фигура равновесия, близкая к эллипсоиду вращения, определяется соотношением
\[
\zeta=\varepsilon l M_{i} \cos p \varphi,
\]

откуда в общем виде следует
\[
\zeta=l M_{i}\left(\varepsilon \cos p \varphi+\varepsilon^{\prime} \sin p \varphi\right) .
\]
${ }^{1}$ Или $N_{i}=\sin p \varphi$.

Предположим, что $\varepsilon^{\prime}=0$; в этом случае следует повернуть координатные оси на соответствующий угол вокруг оси $O x$. В фигуре, получаемой с помощью такого поворота, ось $O x$ выступает как ось симметрии порядка $p$. При изменении знака $\xi$ значение функции $F(\xi)$ не меняется, следовательно, плоскость $y z$ является плоскостью симметрии. Если $p=$ $=0$, то $\zeta$ не зависит от $\varphi$, и фигура является фигурой вращения.

Среди полученных уравнений нет необходимости рассматривать уравнение с $n=0$, так как в этом случае не сохраняется объем. Также следует исключить уравнение с $n=1$, поскольку функция $R_{i}$ в этом случае будет делима на $\sqrt{\rho^{2}-a^{2}}$. Таким образом, наименьшее значение $n$ равно 2 . Этому значению $n$ соответствуют два значения $p: p=0$ и $p=2$.

Какие же из этих фигур имеют эллипсоидальную форму? Рассмотрим два эллипсоида $E_{0}$ и $E_{1}$, причем $E_{1}$ мало отличается от $E_{0}$, но не софокусен ему. Потенциал внутри каждого из них представляет собой функцию второго порядка от декартовых координат точки. Разность потенциалов также является полиномом второго порядка, кроме того, это потенциал, создаваемый слоем, заключенным между данными эллипсоидами. Следовательно, можно представить этот потенциал в виде суммы
\[
\sum \varepsilon R M N,
\]

где $R, M, N$ – сферические функции порядка 0,1 или 2.
На поверхности
\[
V=\sum \varepsilon R_{0} M N
\]

а внутри, как следствие,
\[
V=\sum \varepsilon \frac{R_{0}}{S_{0}} S M N
\]

толщина слоя, создающего этот потенциал, имеет вид
\[
\zeta=\sum \frac{2 n+1}{4 \pi} \frac{\varepsilon}{S_{0}} M N=\sum \varepsilon^{\prime} l M N .
\]

В сумму входят только члены порядка 0,1 или 2 , однако, как мы заметили ранее, функция $M$ не может иметь порядок 0 или 1 ; таким образом, остается лишь $n=2$ и $p=0$ или $p=2$. В случае $p=0$ рассматриваемая поверхность является поверхностью вращения, это эллипсоид, мало отличающийся от первого. Если $p=2$, то поверхность представляет собой эллипсоид Якоби.

Изменение $\boldsymbol{\omega}^{2}$ в зависимости от сжатия. При изменении $\rho^{2}$ от $a^{2}$ до $+\infty$ сжатие рассматриваемых эллипсоидов изменяется в интервале от 0 до 1.

При нулевом сжатии $\omega^{2}=0$. При увеличении сжатия величина $\omega^{2}$ также увеличивается, однако она может иметь максимумы и минимумы. Также при увеличении сжатия возрастает главный момент инерции.
Мы знаем, что величина
\[
T U_{0}=H=W+\frac{\omega^{2}}{2} J
\]

не может превышать определенного предела. Кроме того,
\[
d H=d W+\omega J d \omega+\frac{\omega^{2}}{2} d J .
\]

Если тело находится в равновесии, то
\[
d W+\frac{\omega^{2}}{2} d J=0 .
\]

Отсюда следует, что при равновесии
\[
d H=\omega J d \omega .
\]

При увеличении сжатия $J$ возрастает до бесконечности; $\omega$ при этом уменьшается и стремится к нулю, а $\omega^{2}$ исходит из нуля и возвращается в нуль, проходя на этом интервале через максимум.

Замечание. Изменяя $\rho^{2}$ в интервале от $\infty$ до $a^{2}$, мы будем получать все более сжатые эллипсоиды, пока не дойдем до таких, для которых верно равенство
\[
\frac{R_{1} S_{1}}{3}=\frac{R_{i} S_{i}}{2 n+1} .
\]

Я утверждаю, что первая из встреченных нами фигур равновесия будет эллипсоидом Якоби. В самом деле, если предположить, что функция $\frac{R_{i}}{R_{4}}$ возрастает на всем рассматриваемом промежутке, то очевидно, что функция $\frac{R_{4} S_{4}}{5}-\frac{R_{i} S_{i}}{2 n+1}$ всегда положительна.

При $\rho^{2}=\infty$ имеем
\[
\frac{R_{1} S_{1}}{3}>\frac{R_{4} S_{4}}{5}>\frac{R_{i} S_{i}}{2 n+1}
\]

увеличивая $\rho$, получим в итоге
\[
\frac{R_{1} S_{1}}{3}=\frac{R_{4} S_{4}}{5}>\frac{R_{i} S_{i}}{2 n+1} .
\]

Далее увеличивая $\rho$, получим
\[
\frac{R_{1} S_{1}}{3}=\frac{R_{i} S_{i}}{2 n+1},
\]

однако, как мы видели, первой фигурой равновесия будет эллипсоид Якоби.

Фигуры, порождаемые эллипсоидом Якоби. Нам осталось рассмотреть фигуры равновесия, мало отличающиеся от эллипсоида Якоби. Имеем
\[
\frac{R_{1} S_{1}}{3}=\frac{R_{4} S_{4}}{5},
\]

а для фигуры, близкой к эллипсоиду Якоби,
\[
\frac{R_{1} S_{1}}{3}=\frac{R_{i} S_{i}}{2 n+1}
\]

высота поверхности новой фигуры над поверхностью эллипсоида запишется как
\[
\zeta=\varepsilon l M_{i} N_{i} .
\]

Таким образом, нам следует рассмотреть два уравнения:
\[
\frac{R_{1} S_{1}}{3}=\frac{R_{4} S_{4}}{5}=\frac{R_{i} S_{i}}{2 n+1} .
\]

При заданном объеме
\[
V=\frac{4 \pi}{3} \sqrt{\left(\rho^{2}-a^{2}\right)\left(\rho^{2}-b^{2}\right)\left(\rho^{2}-c^{2}\right)}
\]

имеем три неизвестных $\rho^{2}-a^{2}, \rho^{2}-b^{2}$ и $\rho^{2}-c^{2}$.

Для того чтобы уравнение
\[
\frac{R_{1} S_{1}}{3}=\frac{R_{i} S_{i}}{2 n+1}
\]

имело один корень, функция $R_{i}$ должна быть неделима на $R_{1}=$ $=\sqrt{\rho^{2}-a^{2}}$, а для того чтобы уравнение
\[
\frac{R_{4} S_{4}}{5}=\frac{R_{i} S_{i}}{2 n+1}
\]

имело один корень, функция $\frac{R_{i}}{R_{4}}$ не должна возрастать на всей области определения. Отсюда единственными возможными формами $R_{i}$ являются следующие:
\[
P, \quad P \times \sqrt{\rho^{2}-b^{2}}, \quad P \times \sqrt{\rho^{2}-c^{2}}, \quad P \times \sqrt{\left(\rho^{2}-b^{2}\right)\left(\rho^{2}-c^{2}\right)},
\]

где $P$ – полином от $\rho^{2}$.
Выясним, в самом ли деле возможны эти четыре формы, учитывая, что $R_{4}=\sqrt{\left(\rho^{2}-b^{2}\right)\left(\rho^{2}-c^{2}\right)}$.
1-й mun. Функция $R_{i}$ является полиномом; если $\alpha$ – наибольший корень $R_{i}$, можно положить
\[
R_{i}=\left(\rho^{2}-\alpha\right) \Pi_{i} ;
\]

корень $\alpha$ находится в интервале от $a^{2}$ до $c^{2}$, и имеет место равенство
\[
\frac{R_{i}}{R_{4}}=\sqrt{\frac{\rho^{2}-\alpha}{\rho^{2}-b^{2}}} \cdot \sqrt{\frac{\rho^{2}-\alpha}{\rho^{2}-c^{2}}} \Pi_{i}
\]

Функция $\Pi_{i}$ постоянно возрастает, $\sqrt{\frac{\rho^{2}-\alpha}{\rho^{2}-c^{2}}}$ также постоянно возрастает, $\sqrt{\frac{\rho^{2}-\alpha}{\rho^{2}-b^{2}}}$ возрастает при $\alpha<b^{2}$ и убывает в противном случае. Функция $\sqrt{\frac{\rho^{2}-\alpha}{\rho^{2}-b^{2}}}$ не должна убывать, поэтому $\alpha<b^{2}$, и, как следствие, все корни полинома $R_{i}$ заключены в интервале от $b^{2}$ до $c^{2}$.

Среди функций Ламэ порядка $n$ существует одна и только одна, все корни которой заключены в интервале от $b^{2}$ до $c^{2}$; ее и следует принять за $R_{i}[17]$.
2-й тun. Возьмем $R_{i}=\sqrt{\rho^{2}-b^{2}} P$ и обозначим наибольший корень полинома $P$ через $\alpha$. Имеем
\[
\frac{R_{i}}{R_{4}}=\sqrt{\rho^{2}-\alpha} \sqrt{\frac{\rho^{2}-\alpha}{\rho^{2}-c^{2}}} \Pi .
\]

Все три множителя возрастают на всей области определения, поэтому все функции этого типа следует отбросить.
3 -й тип. Положим
\[
R_{i}=\sqrt{\rho^{2}-b^{2}}\left(\rho^{2}-\alpha\right) \Pi,
\]

где $П$ – полином, корни которого меньше $\alpha$. Имеем
\[
\frac{R_{i}}{R_{4}}=\sqrt{\rho^{2}-\alpha} \sqrt{\frac{\rho^{2}-\alpha}{\rho^{2}-b^{2}}} \Pi .
\]

Для того чтобы это уравнение имело одно решение, величина $\alpha$ должна быть меньше $b^{2}$. Значит, все корни $P$ заключены в интервале от $b^{2}$ до $c^{2}$.
4 -й тun. В случае функций четвертого типа полином $\frac{R_{i}}{R_{4}}$ не имеет корней, больших $\alpha$, следовательно, нам нет необходимости рассматривать эти функции.

Таким образом, для того чтобы близкая к эллипсоиду Якоби фигура была фигурой равновесия, необходимо, чтобы функция $R_{i}$ была одной из тех функций, которые мы назвали $R_{0, n}$. Я утверждаю, что это условие необходимо и достаточно. Действительно, предположим, что $b^{2}$ изменяется в интервале от $c^{2}$ до $a^{2}$. Каждому значению $b^{2}$ соответствует такое значение $\rho^{2}$, что выполняется равенство
\[
\frac{R_{1} S_{1}}{3}=\frac{R_{4} S_{4}}{5} .
\]

Рассмотрим функцию
\[
F=\frac{R_{4} S_{4}}{5}-\frac{R_{i} S_{i}}{2 n+1}
\]

при $b^{2}=c^{2}$ функция $\frac{R_{i}}{R_{4}}$ постоянно возрастает, следовательно, значение $F$ положительно. Если $b^{2}=a^{2}$, то соответствующее значение $\rho^{2}$ стремится к $a^{2}$, тогда
\[
R_{4}=0 .
\]

Значение $R_{i}$ не равно нулю, поскольку $R_{i}$ не содержит ни $\sqrt{\rho^{2}-a^{2}}$, ни $\sqrt{\rho^{2}-c^{2}}$, и все ее корни находятся в интервале от $b^{2}$ до $c^{2}$. Следовательно,
\[
F<0,
\]

и рассматриваемые уравнения, безусловно, имеют некоторую систему корней.

Отсюда очевидно, что существуют фигуры равновесия, близкие к эллипсоиду Якоби.

Замечание. Какова же первая из встреченных нами фигур равновесия? Иными словами, при каком значении $n$ значение $\rho$ максимально?
Рассмотрим функции $R_{0, m}$ и $R_{0, n}$, причем
\[
m>n \text {. }
\]

Я утверждаю, что функция
\[
\frac{R_{0, m}}{R_{0, n}}=\frac{R_{k}}{R_{i}}
\]

постоянно возрастает. Докажем, что ее производная по $u$ всегда положительна. Эта производная, с точностью до некоторого положительного множителя, равна
\[
R_{k}^{\prime} R_{i}-R_{k} R_{i}^{\prime}
\]

причем если $R_{i}$ не делится на $\sqrt{\rho^{2}-a^{2}}$, то $R_{i}^{\prime}$ делится, и наоборот. Но если функции $R_{i}$ и $R_{k}$ не делимы ни на $\sqrt{\rho^{2}-a^{2}}$, ни на $\sqrt{\rho^{2}-b^{2}}$, то в результате производная
\[
R_{k}^{\prime} R_{i}-R_{k} R_{i}^{\prime}
\]

обращается в нуль при $\rho^{2}=a^{2}$.
Выражая $R_{i}$ и $R_{k}$ как функции от аргумента $u$, имеем
\[
R_{i}=F(p u), \quad R_{i}^{\prime}=p^{\prime} u F^{\prime}[p(u)],
\]

причем производная не имеет корней, больших $a^{2}$. В самом деле, производная функции (*), взятая по $u$, равна, как мы уже видели,
\[
\left(R_{k}^{\prime \prime} R_{i}-R_{k} R_{i}^{\prime \prime}\right)=\left(\varphi_{k}-\varphi_{i}\right) R_{i} R_{k} .
\]

Функции $R_{i}$ и $R_{k}$ не могут обращаться в нуль, а $\varphi_{k}-\varphi_{i}$ не может иметь двух нулей, поскольку это полином первого порядка от $\rho^{2}$. Таким образом, при $a^{2} \leqslant \rho^{2}$, т.е. на промежутке $0<u \leqslant e_{1}$, производная не может обращаться в нуль более чем дважды.

Производная, равная нулю при $u=0$ и $u=e_{1}$, не может обращаться в нуль внутри ограниченного этими значениями промежутка, значит, $\frac{R_{k}}{R_{i}}$ всегда возрастает, пока $\rho^{2}$ изменяется в интервале от $a^{2}$ до $+\infty$. Отсюда также следует, что
\[
\frac{R_{i} S_{i}}{2 n+1}>\frac{R_{k} S_{k}}{2 m+1} .
\]

Таким образом, изменяя $\rho^{2}$ в интервале от $\infty$ до $a^{2}$, мы сначала встретим значение, удовлетворяющее уравнению
\[
\frac{\boldsymbol{R}_{4} S_{4}}{5}=\frac{\boldsymbol{R}_{i} S_{i}}{2 n+1},
\]

а затем значение, удовлетворяющее уравнению
\[
\frac{R_{4} S_{4}}{5}=\frac{R_{k} S_{k}}{2 n+1} .
\]

То есть в первом случае $n=1$, а во втором $n=2$ – эти значения $n$ мы уже рассматривали. Теперь нам предстоит изучить поверхность, близкую к эллипсоиду Якоби и соответствующую функции $R_{0,3}$.

Рассмотрим прежде поверхность, соответствующую $R_{0, n}$ в общем виде. Толщина слоя запишется следующим образом:
\[
\zeta=\varepsilon l M_{i} N_{i} .
\]

Эта толщина равна нулю в тех точках, где
\[
M_{i} N_{i}=0,
\]

или
\[
R_{i} M_{i} N_{i}=0 .
\]

Это выражение можно представить в виде суммы членов второго порядка
\[
\frac{x^{2}}{\alpha^{2}-a^{2}}+\frac{y^{2}}{\alpha^{2}-b^{2}}+\frac{z^{2}}{\alpha^{2}-c^{2}}=1 ;
\]

так как значения $\alpha^{2}$ находятся в интервале от $b^{2}$ до $c^{2}$, соответствующие поверхности являются двуполостными гиперболоидами, пересекающими эллипсоид по двум линия кривизны одного и того же семейства.
Рис. 19
С одной стороны одной из этих линий величина $\zeta$ положительна, с другой – отрицательна ${ }^{1}$. По этим данным можно построить фигуру равновесия для $n=3$. На рис. 19 штрих-пунктирной линией показан видимый контур эллипсоида, непрерывной линией – пересечение рассматриваемой поверхности с эллипсоидом, а также видимый внешний контур ее части, находящейся вне эллипсоида, пунктиром показан контур части поверхности, находящейся внутри эллипсоида. Одна из линий кривизны является, кроме того, главным эллипсом, как это видно из соотношения
\[
R_{0,3}=\sqrt{\rho^{2}-c^{2}} \times P .
\]

Исходя из этих же соображений, построим фигуру равновесия, соответствующую $R_{0,4}$ (рис. 20 ).

Заметим, что мы не можем взять в качестве функции $R_{i}$ какую-либо функцию второго порядка, так как в этом случае вместо
${ }^{1}$ Точнее сказать: с вогнутой стороны одной из этих линий кривизны, изображенной в правой части рис. 19 , величина $\zeta$ положительна, с аналогичной же стороны второй линии $\zeta$ отрицательна.

Рис. 20
функции $R_{0,2}$ необходимо будет взять полином вида $\rho^{2}-h^{2}$, что даст в итоге другой эллипсоид, а, как мы уже видели, при данной скорости вращения может существовать только эллипсоид Якоби.

Исходя из вышеизложенного, если изменять $b^{2}$ в интервале от $c^{2}$ до $a^{2}$, мы получим эллипсоиды, каждому из которых соответствует одно и только одно значение $\omega ; \omega$ не может иметь ни максимумов, ни минимумов, поскольку если бы существовал такой максимум или минимум $\omega_{1}$, то значению, близкому к $\omega_{1}$ соответствовали бы две эллипсоидальные фигуры, что не верно. Таким образом, величина $\omega$ всегда изменяется только в одном направлении.

Предположим, что $b^{2}$ и $c^{2}$ стремятся к нулю. Тогда форма эллипсоида будет стремиться к форме вытянутой иглы, а величина $\omega$ одинакова только у подобных эллипсоидов. Таким образом, достаточно выяснить, что происходит, когда $a$ неограниченно возрастает при фиксированных значениях $b$ и $c$. В этом случае мы получим эллиптический цилиндр, причем равнодействующая внутренних сил взаимного притяжения цилиндра и центробежной силы должна быть направлена по нормали к цилиндру, т.е. параллельно плоскости $y O z$. Отметим на одной из образующих, проходящих через ось вращения, точку. Благодаря симметрии сила притяжения в этой точке должна быть параллельна плоскости $y O z$, отсюда центробежная сила, которая перпендикулярна оси $O z$, может быть только нулевой, и, следовательно, при бесконечном возрастании $a$ величина $\omega$ стремится к нулю [19].

С другой стороны, нужно заметить, что для того, чтобы стало возможным равновесие, цилиндр непременно должен быть цилиндром вращения.

УСТОЙЧИВОСТЬ НАЙДЕННЫХ ФИГУР
Графическое представление полученных результатов. Построим плоскую систему координат (рис. 21) и будем откладывать по оси абсцисс значения $R_{2}^{2} / R_{1}^{2}$, а по оси ординат – значения $R_{3}^{2} / R_{1}^{2}$; эти ве.іичины представляют собой отношение средней оси эллипсоида к его малой оси и отношение большой оси к малой соответственно.

Сначала отметим точку $A$ с координатами $(1,1)$; соответствующей фигурой является сфера. Часть биссектрисы угла $x O y$, начинающаяся в точке $A$, соответствует эллипсоидам Рис. 21 вращения. Эллипсоиды Якоби представлены кривой $C B C^{\prime}$, которая симметрична относительно биссектрисы и пересекает ее в точке $B$.

В случае эллипсоидов Маклорена величина $\omega^{2}$ возрастает при перемещении от точки $A$ к точке $D$, после чего, по мере удаления от точки $D$, она начинает убывать и в бесконечности обращается в нуль. Точки на кривой $C B C^{\prime}$, симметричные относительно оси $A H$, представляют одинаковые, но развернутые на $90^{\circ}$ эллипсоиды. Величина $\omega^{2}$ уменьшается при движении от точки $B$ к точкам $C$ или $C^{\prime}$. В случае цилиндра вращения точки $C$ и $C^{\prime}$ бесконечно удаляются от точки $B$; кривая $C B C^{\prime}$ является асимптотой к прямым $x=1$ и $y=1$.

Отметим на прямой $A H$ точки $E$ и $F$, соответствующие фигурам равновесия, близким к эллипсоиду вращения, а на кривой $C B C^{\prime}$ отметим точки $G, K, L, M$ и $G^{\prime}, K^{\prime}, L^{\prime}, M^{\prime}$, соответствующие различным функциям $R_{0, n}$, т. е. различным фигурам равновесия, близким к эллипсоиду Якоби, с которыми мы встречались ранее.

Следует заметить, что взятые нами параметры не соответствуют в действительности данным задачи. Параметрами являются объем $T$, скорость вращения $\omega$ и главный момент инерции $J$. Положим $\mu=\omega^{2} J$, тогда $\mu$ и $T$ можно считать заданными, поскольку величина $\omega^{2} J$ должна быть постоянной; $\mu$ пропорциональна пятой степени длин осей, а $T-$ кубу этих длин. Если положить
\[
M=\frac{\mu}{T^{5 / 3}},
\]

то $M$ будет заданной величиной, независимой от выбранной единицы длины.

Лиувилль вычислил, каким значениям $M$ соответствуют различные точки линий $A H$ и $C B C^{\prime}$. Он показал, что при перемещении по прямой $A H$ величина $M$ возрастает от $A$ до $D$ и убывает от $D$ к $H$. На кривой $C B C^{\prime}$ величина $M$ убывает при перемещении от $B$ к $C$ и $C^{\prime}[20]$. Таким образом, если скорость $\omega$ очень велика, то фигур равновесия не существует; если $\omega$ находится в интервале от $\omega_{B}$ до $\omega_{D}$, возможны две фигуры равновесия, причем обе являются эллипсоидами вращения.

При $\omega<\omega_{B}$ возможны четыре фигуры равновесия – два эллипсоида Маклорена и два эллипсоида Якоби; впрочем эти эллипсоиды Якоби одинаковы, как уже было отмечено.

Кривые равновесия. Рассмотрим систему, зависящую от $n$ переменных $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$, подверженную действию системы сил, зависящей от потенциала $F\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}, \lambda\right)$. Необходимое и достаточное условие равновесия данной системы таково, что значение $F$ должно быть максимально по отношению к $x$ при данном значении $\lambda$. Имеем
\[
F=W-\frac{\omega^{2}}{2} J=W-\frac{M^{2}}{2 J} .
\]

Условие равновесия заключается в следующем:
\[
\frac{\partial F}{\partial x_{1}}=\frac{\partial F}{\partial x_{2}}=\ldots=\frac{\partial F}{\partial x_{n}}=0 ;
\]

для того чтобы равновесие было устойчивым, необходимо, кроме того, чтобы форма
\[
\Phi=\sum \frac{\partial^{2} F}{\partial x_{i}^{2}} \xi_{i}^{2}+2 \sum \frac{\partial^{2} F}{\partial x_{i} \partial x_{k}} \xi_{i} \xi_{k}
\]

была отрицательно определенной; эту форму также можно представить в виде суммы $n$ квадратов:
\[
\Phi=\sum \alpha_{k} \eta_{k}^{2}
\]

Коэффициенты $\alpha_{k}$ называются коэффициентами устойчивости. Если один из этих коэффициентов обращается в нуль, то дискриминант формы $\Phi$ также обращается в нуль, поскольку в этом случае форма сводима к сумме меньшей, чем сумма $n$ членов. Положим
\[
\frac{\partial^{2} F}{\partial x_{i} \partial x_{k}}=a_{i, k} .
\]

Тогда определитель суммы имеет вид
\[
\Delta=\left|\begin{array}{cccc}
a_{1,1} & a_{1,2} & \ldots & a_{1, n} \\
a_{2,1} & a_{2,2} & \ldots & a_{2, n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n, 1} & a_{n, 2} & \ldots & a_{n, n}
\end{array}\right| .
\]

Если равны нулю два коэффициента $\alpha_{k}$, то миноры первого порядка определителя $\Delta$ равны нулю. Мы, однако, предположим, что это не так. При $\Delta$, отличном от нуля, уравнения
\[
\frac{\partial F}{\partial x_{1}}=0, \quad \frac{\partial F}{\partial x_{2}}=0, \quad \cdots, \quad \frac{\partial F}{\partial x_{n}}=0
\]

можно решить; получим
\[
x_{i}=\psi_{i}(\lambda) \text {. }
\]

Дифференцируя соотношение $\frac{\partial F}{\partial x_{1}}=0$ по $\lambda$, получаем
\[
\sum_{i} \frac{\partial^{2} F}{\partial x_{1} \partial x_{i}} \frac{d x_{i}}{d \lambda}+\frac{\partial^{2} F}{\partial x_{1} \partial \lambda}=0 ;
\]

это можно записать иначе:
\[
\sum_{i} a_{1, i} \frac{d x_{i}}{d \lambda}=-\frac{\partial^{2} F}{\partial x_{1} \partial \lambda} .
\]

При $\Delta$, отличном от нуля, можно найти значения $\frac{d x_{i}}{d \lambda}$, так как мы имеем $n$ линейных уравнений с $n$ неизвестными, а функции $x$ в окрестности рассматриваемых значений являются однородными функциями от $\lambda$.

Предположим, что $\Delta=0$, и при этом ни один из миноров первого порядка нулю не равен. Пусть, например,
\[
\frac{\partial \Delta}{\partial a_{1, i}}
eq 0
\]

В этом случае мы можем решить $n-1$ оставшихся линейных уравнений относительно
\[
\frac{d x_{2}}{d \lambda}, \frac{d x_{3}}{d \lambda}, \ldots, \frac{d x_{n}}{d \lambda}
\]

отсюда видим, что функции $x_{2}, x_{3}, \ldots, x_{n}$ являются однородными функциями от $x_{1}$ и $\lambda$.

Запишем значения $x_{2}, x_{3}, \ldots, x_{n}$ в функции $F$ в виде функций от $x_{1}$ и $\lambda$, полученных из уравнений
\[
\frac{\partial F}{\partial x_{2}}=0, \quad \ldots, \quad \frac{\partial F}{\partial x_{n}}=0 ;
\]

в результате получим функцию $\psi\left(x_{1}, \lambda\right)$, производная которой по $x_{1}$ запишется как
\[
\frac{d \psi}{d x_{1}}=\frac{\partial F}{\partial x_{1}}+\frac{\partial F}{\partial x_{2}} \frac{d x_{2}}{d x_{1}}+\ldots+\frac{\partial F}{\partial x_{n}} \frac{d x_{n}}{d x_{1}} .
\]

Однако, согласно предположению, если представить $x_{2}, x_{3}, \ldots, x_{n}$ в виде функций от $x_{1}$ и $\lambda$, то
\[
\frac{\partial F}{\partial x_{2}}=0, \quad \ldots, \quad \frac{\partial F}{\partial x_{n}}=0 .
\]

Значит,
\[
\frac{d \psi}{d x_{1}}=\frac{\partial F}{\partial x_{1}} .
\]

Таким образом, условие равновесия имеет вид
\[
\frac{d \psi}{d x_{1}}=0 .
\]

Данное соотношение между $x_{1}$ и $\lambda$ определяет некоторую кривую. Функция $x_{1}$ является однородной функцией от $\lambda$, если производная $\frac{d^{2} \psi}{d x_{1}^{2}}$ отлична от нуля. Условие $\Delta=0$ эквивалентно, таким образом, условию $\frac{d^{2} \psi}{d x_{1}^{2}}=0$.

Предположим, что это условиє выполнено, но производная $\frac{d^{2} \psi}{d x_{1} d \lambda}$ при этом не обращается в нуль. Кривая в этом случае имеет вертикальную касательную (рис. 22).

Когда $\lambda$ проходит через точку пересечения оси абсцисс с этой касательной, имеем

Рис. 22 для $x_{1}$ два вещественных значения, которые сливаются друг с другом, становясь затем мнимыми; то же верно и для $x_{2}, \ldots, x_{n}$.
Рис. 23
Рис. 24
При $\frac{d^{2} \psi}{d x_{1} d \lambda}=0$ соответствуюцая точка на кривой является двойной точкой с различными либо сливающимися касательными, причем одна из касательных может быть вертикальной. Имеем два различных случая: в первом обе касательных различны и не вертикальны (рис. 23), во втором же одна из касательных вертикальна, а другая нет (рис. 24).

В первом случае два вещественных значения $x$ сливаются, а затем, после прохождения значения, соответствующего двойной точке, снова становятся вещественными.

Во втором случае, две группы вещественных значений сливаются и становятся мнимыми, когда $\lambda$ проходит критическое в данном контексте значение. Значения $x$ до и после критического значения остаются вещественными. Другие случаи взаимного расположения линий сводятся к вышеописанным, по крайней мере, с интересующей нас точки зрения.

Обмен устойчивостью. Как мы уже замечали, равновесие устойчиво, когда значение функции $F$ максимально при переменных $x_{1}$, $x_{2}, \ldots, x_{n}$. A fortiori необходимо, чтобы значение функции $F$ было максимальным, если при заданном $x_{1}$ изменять значения $x_{2}, x_{3}, \ldots, x_{n}$ произвольным образом. Значит, должны быть справедливы уравнения
\[
\frac{\partial F}{\partial x_{2}}=\frac{\partial F}{\partial x_{3}}=\ldots=\frac{\partial F}{\partial x_{n}}=0 .
\]

Выразим $x_{2}, x_{3}, \ldots, x_{n}$ из этих уравнений, функциональный определитель которых по условию не равен нулю. Подставив эти значения в функцию $F\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)$, получим функцию, значение которой должно достигать максимума для того, чтобы имело место равновесие. Значит, максимума должно достигать и значение функции $\psi\left(x_{1}, \lambda\right)$, т. е. фигура будет находиться в равновесии при $\frac{d \psi}{d x_{1}}=0$; однако равновесие будет устойчивым, только если производная $\frac{d^{2} \psi}{d x_{1}^{2}}$ при этом будет отрицательна.

Дуга кривой $\frac{d \psi}{d x_{1}}=0$ делит участок плоскости на две части: в одной $\frac{d \psi}{d x_{1}}>0$, в другой $\frac{d \psi}{d x_{1}}<0$. Если данная дуга не имеет сингулярностей, то производная $\frac{d^{2} \psi}{d x_{1}^{2}}$ не обращается в нуль и отрицательна в том случае, если область, где функция $\frac{d \psi}{d x_{1}}$ положительна, расположена под кривой; и наоборот, производная $\frac{d^{2} \psi}{d x_{1}^{2}}$ положительна, если функция $\frac{d \psi}{d x_{1}}$ положительна на участке над рассматриваемой кривой. Первый случай соответствует положению неустойчивого равновесия.

Заштриховав участок плоскости, где $\frac{d \psi}{d x_{1}}$ положительна, мы видим, что рис. 25 относится к случаю устойчивого равновесия, а рис. 26 неустойчивого.

В случае, когда кривая $B A C$ имеет одну касательную в точке $A$, возможны два различных варианта в зависимости от того, какой участок заштрихован: выпуклый или вогнутый.

На рис. 27 участок кривой $B A$ соответствует положениям неустойчивого равновесия, в то время как участок $A C$ соответствует положе-

Рис. 27
Рис. 28

ниям устойчивого равновесия. На рис. 28 представлена обратная ситуация: на участке $B A$ – равновесие устойчиво, а на участке $A C-$ неустойчиво.

Здесь следует отметить существенный момент: перемещаясь по соответствующим кривым и проходя через точку $A$, две системы фигур равновесия обмениваются устойчивостью.
Рис. 29
Рис. 30

В случае двойной точки, когда вертикальной касательной нет, также возможны два варианта: на рис. 29 и 30 участки $B A$ и $A C^{\prime}$ соответствуют фигурам неустойчивого равновесия, а участки $B^{\prime} A$ и $A C$ соответствуют фигурам устойчивого равновесия. Заметим еще, что в зависимости от того, по какой кривой мы перемещаемся, $B A C$ или $B^{\prime} A C^{\prime}$, фигуры равновесия переходят из устойчивых в неустойчивые, и наоборот.
Рис. 31
Рис. 32
Наконец, в случае двойной точки с вертикальной касательной мы приходим к такому же выводу: фигуры равновесия, получаемые при движении вдоль какой-либо кривой, обмениваются устойчивостью, проходя через точку, где $\frac{d^{2} \psi}{d x_{1}^{2}}=0$ (рис. 31, 32) [21].

Устойчивость равновесия найденных фигур. Применим вышеизложенное к нашей проблеме и рассмотрим рис. 21 ; величина, обозначенная нами ранее $\mu$, будет здесь представлять величину, которую в предыдущем параграфе мы назвали $\lambda$, а вместо $x_{1}$ мы воспользуемся обозначением $\omega$.

Функция $F$, которая должна иметь максимальное значение, запишется как
\[
W-\frac{\mu^{2}}{2 J} .
\]

Величина $\omega$ увеличивается при перемещении от $A$ к $D$ и уменьшается при перемещении от $D$ к $H$. Величина $M$ увеличивается в направлении $A H$, равно как и при перемещении от $B$ к $C$ или к $C^{\prime}$.
Теперь нам нужно обсудить вопрос об устойчивости равновесия.

Выберем отправной точкой точку $A$, которая соответствует сфере; $\omega$ здесь равна 0 , а равновесие, как нам известно, устойчиво, т.е. все коэффициенты устойчивости отрицательны. Не все из них останутся отрицательными, когда мы встретим первую фигуру бифуркации.

Перемещаясь в направлении $A H$, первую бифуркацию мы встретим в точке $B$, где эллипсоид Маклорена мало отличается от эллипсоида Якоби. Здесь коэффициент устойчивости обратится в нуль вместе с выражением
\[
\frac{R_{1} S_{1}}{3}-\frac{R_{4} S_{4}}{5} .
\]

После точки $B$ этот коэффициент больше не обращается в нуль; в точке ${ }^{1} E$ обращается в нуль при смене знака другой коэффициент, в то время как первый остается положительным. Таким образом, от точки $A$ до точки $B$ равновесие устойчиво, а после точки $B$ – неустойчиво.

На участке $B C$, напротив, имеем устойчивые эллипсоиды вплоть до точки $G$. В точке $G$ один из коэффициентов обращается в нуль, а затем остается положительным. Следовательно, точки на линии $B C$, начиная с точки $G$, соответствуют фигурам неустойчивого равновесия. Заметим, что эти фигуры новы длн нас и нам следует рассмотреть их устойчивость. Дело осложняется тем, что величина $M$ для этих фигур может возрастать либо убывать.

Легко увидеть, что во всех случаях функция $M$ проходит либо через максимум, либо через минимум. В самом деле, если эти фигуры мало отличаются от той, какую мы наблюдали в точке $G$, то для них верно равенство
\[
\zeta=\varepsilon l M_{0,3} N_{0,3},
\]

причем в самой точке $G \varepsilon=0$. Если $\varepsilon$ меняет знак, получаем фигуру, симметричную исходной, а величина $M$ не изменяется. Отсюда следует, что в точке $G$ функция $M$ проходит либо через максимум, либо через минимум. При $M<M_{G}$ получаем единственную фигуру равновесия, в то время как при $M>M_{G}$ фигур равновесия будет три, причем одна из них устойчива. Хотя полного вычисления еще не производилось, представляется весьма вероятным, что в этом случае имеем минимум функции [22].
${ }^{1}$ В этой точке $E$ происходит бифуркация сфероида в неэллипсоидальную фигуру, в экваториальной плоскости которой круглое сечение деформируется в подобие треугольника.

Заключение. Рассмотрим здесь два предположения. Первое имеется вращающаяся однородная масса жидкости, подверженная охлаждению, достаточно медленному для того, чтобы оно распространилось на весь объем. Второе предположение заключается в том, что данная масса вращается как единое целое, т.е. что трение достаточно велико.

Скорость вращения не постоянна; постоянна, согласно теореме площадей, величина $\mu=\omega^{2} J$. Объем $T$ должен уменьшаться, так как тело охлаждается, следовательно, $M$ увеличивается. Фигуры остаются в устойчивом равновесии до точки $B$; после нее те, что сохранили устойчивость, являются эллипсоидами Якоби, и остаются такими до точки $G$. При дальнейшем охлаждении эллипсоиды Якоби перестают существовать, поскольку теряют устойчивость. Если $M_{G}$ является максимумом функции, то из другой серии фигур ни одна не будет устойчивой, и тело рассеется в пространстве. И наоборот, если $M_{G}-$ минимум функции, то мы получим нечто вроде ущемленного овала ${ }^{1}$, разделенного этим ущемлением на две неравные части.

Мы не производили окончательных вычислений, направленных на то, чтобы выяснить, к чему приведет такое ущемление и сможет ли оно усилиться настолько, что фигура разделится на два отдельных тела ${ }^{2}$. Заметим, что к этому случаю нельзя непосредственно применить гипотезу Лапласа, так как масса туманности, которую рассматривал Лаплас, не однородна, а, напротив, сильно сконденсирована в ее центpe.

Как бы то ни было, до настоящего времени неизвестно, соответствует точка $G$ максимуму или же минимуму функции $M .{ }^{3}$
${ }^{1}$ Под этим имеется в виду все та же грушевидная фигура.
${ }^{2} \mathrm{O}$ невозможности деления груши см. наше Предисловие.
${ }^{3}$ Об уменьшении углового момента при бифуркации в этой точке см. комментарий [22].