Изучение кольцевых фигур равновесия. Относительно природы кольца Сатурна можно выдвинуть три гипотезы: оно либо целиком твердое, либо жидкое, либо состоит из отдельных твердых элементов. Последняя гипотеза, известная как гипотеза Кассини, представляется нам наиболее правдоподобной. ${}^1$
ГИПОТЕЗА ТВЕРДОГО КОЛЬЦА
Историческая справка. Эта гипотеза была впервые исследована Лапласом. Он выдвинул замечание, что если бы кольцо было однородным, то его движение не могло бы быть устойчивым. Стоит только его центру сместиться в сторону от центра тяжести планеты, притяжение Сатурна усилит аномалию и кольцо стремительно обрушится вниз. Следовательно, если кольцо твердое, оно должно было бы иметь неправильную форму. Лаплас не потрудился определить порядок величины требуемых нерегулярностей, это сделал Максвелл; согласно его вычислениям, они должны быть весьма значительными, причем настолько значительными, что данная гипотеза становится неприемлемой.

Уравнения движения. Среди сил, приложенных к кольцу, нам нет нужды рассматривать силы притяжения кольца на самого себя, так как различные части твердого тела не подвержены относительному смещению. Следовательно, необходимо учитывать только притяжение Сатурна и других небесных тел, однако последним можно пренебречь.

Предположим, что геометрический центр кольца находится в центpe $O$ планеты — наблюдения показывают, что так оно и есть, — а центр тяжести $G$ кольца отличен от $O$. Поскольку мы не говорим о внутренних силах взаимного притяжения, точка $M$ кольца подвержена действию силы притяжения только Сатурна. Совокупность сил притяжения,
${}^1$ Сейчас мы, конечно, не сомневаемся в дискретной природе колец Сатурна и других больших планет.

таким образом, уравновешивает силу инерции. На точку $M$ действуют сила притяжения Сатурна и центробежная сила. Если положение геометрического центра кольца неизменно, то и сила притяжения, и центробежная сила являются постоянными; в этом случае точка $M$ вращается с некоторой скоростью, равной скорости спутника, помещенного на том же расстоянии от центра планеты — это условие является необходимым и достаточным условием равновесия. Если кольцо однородно, то это условие не является необходимым, так как скорость вращения может быть в этом случае какой угодно; на каждую из точек кольца действует одинаковая сила, и при любой скорости вращения имеет место равновесие. Таким образом, в общем случае центр тяжести $G$ описывает при равномерном движении окружность вокруг Сатурна.

Примем за единицу длины радиус кольца, за единицу массы массу кольца; в этом случае момент инерции кольца по отношению к его геометрическому центру будет равен единице. Остается определить единицу времени: можно подобрать ее таким образом, чтобы, обозначив массу Сатурна через $M$, а гравитационную постоянную через $f$, мы получили бы $fM=1$.

Рассмотрим движение тонкого кольца. Пусть $x$ и $y$ — координаты центра тнжести. Обозначив плотность линейного элемента дуги $ds$ кольца через $\rho$, имеем
$$x\int \rho ds=\int \rho \cos sds,y\int \rho ds=\int \rho \sin sds.$$

Масса кольца равна
$$\int \rho ds.$$

Уравнения движения центра тяжести имеют вид
$$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}\int \rho ds=\int \rho \cos sds=x\int \rho ds,$$

откуда
$$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=x,\frac{d^{2}y}{d{t}^2}=y.$$

Подобрав удобное начало отсчета времени, можем записать решения этих уравнений как
$$x=\alpha \cos t,y=\beta \sin t.$$

Таким образом, в общем случае точка $G$ описывает эллипс. Если точка описывает окружность, то ее угловая скорость, т.е. скорость спутника, помещенного на единичное расстояние от центра планеты, равна единице; в этом случае $\alpha =\beta$.

Устойчивость движения. Теперь нам следует выяснить, является ли данное движение устойчивым. Полагая массу кольца пренебрежимо малой по сравнению с массой Сатурна, мы можем допустить, что Сатурн неподвижен.
Рие. 33
Проведем через центр $O$ Сатурна две неподвижные оси $OX$ и $OY$ (рис. 33), а через геометрический центр кольца проведем оси $оx$ и $oy$, жестко связанные с кольцом; их положение, а значит, и положение кольца, будет определено, если даны координаты $x$ и $y$ точки $O$ относительно системы координат $\mathrm{xoy}$ и угол $\theta$ между осями $ox$ и $OX$.

Пусть $G$ — центр тяжести кольца; можно предположить, он находится на оси $ox$. Величина $a=oG$ является заданной, а координаты $X$ и $Y$ центра тяжести равны
$$X=-y\sin \theta +(a-x)\cos \theta ,Y=y\cos \theta +(a-x)\sin \theta .$$

Живая сила кольца равна сумме живой силы перемещения $\frac{M}{2}(X^{\prime 2}+$ $+Y^{\prime 2}$ ) и живой силы вращения $J{\theta }^{\prime 2}$. Момент инерции по отношению к точке $o$ задан соотношением $I=J+a^2$. Таким образом, живая сила является функцией от переменных $x,y,\theta$ и их производных, и имеет место равенство
$$X^{\prime 2}+Y^{\prime 2}=x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+{\theta }^{\prime 2}[y^2+(a-x{)}^2]-2{\theta }^{\prime }[x^{\prime }y+(a-x)y^{\prime }].$$

Потенциальная энергия имеет вид
$$U=-fMV,$$

где $V$ — потенциал сил притяжения кольца к центру тяжести, и, поскольку
$$fM=1,$$

получим
$$U=-V.$$

Допустим, что плотность кольца является функцией, разложимой в ряд Фурье. Если $d\psi$ — это угол, под которым мы видим линейный элемент из центра кольца, то, обозначив плотность в точке, определенной углом $\psi$, через $\rho$, получим
$$\rho ={\rho }_0[1+2a\cos \psi +\frac{2\alpha }{3}\cos 2\psi +\frac{2\beta }{3}\sin 2\psi +\dots ].$$

Обозначив координаты точки кольца относительно системы подвижных осей через $\xi$ и $\eta$, запишем
$$\begin{array}{c}\int \rho ds=1,\int \rho \xi ds=a,\int \rho \eta ds=0,\\ \int \rho ({\xi }^2+{\eta }^2)ds=\int \rho ds=1.\end{array}$$

Найдем также
$$\begin{array}{rl}\int \rho ({\xi }^2-{\eta }^2)ds& ={\int }_0^{2\pi }\rho \cos 2\psi d\psi =\frac{\alpha }{3},\\ \int \rho \xi \eta ds& ={\int }_0^{2\pi }\rho \sin 2\psi d\psi =\frac{\beta }{3}.\end{array}$$

Как мы уже видели, производя вычисления, потенциал в точке $G$, создаваемый силой притяжения кольца Сатурном, имеет вид
$$\int \frac{\rho ds}{r}V=-U=1+ax+\frac{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}}{4}+\beta xy+\frac{\alpha }{4}(x^2-y^2)+\dots$$

Уравнения Лагранжа дают
$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial q^{\prime }}\right)-\frac{\partial T}{\partial q}+\frac{\partial U}{\partial q}=0,$$

но, так как $U$ не зависит от $q^{\prime }$, имеем
$$\frac{d}{dt}\frac{\partial (T-U)}{\partial q^{\prime }}-\frac{\partial (T-U)}{\partial q}=0.$$

Можно записать
$$T-U=\frac{A{\theta }^{\prime 2}+2B{\theta }^{\prime }+C}{2}+V,$$

где
$$A=J+y^2+(a-x{)}^2,B=-x^{\prime }y+y^{\prime }(a-x),C=x^{\prime 2}+y^{\prime 2};$$

заметим, что значение разности $T-U$ не зависит от $\theta$. Таким образом, из первого уравнения Лагранжа получим
$$\frac{d}{dt}\left[\frac{\partial (T-U)}{\partial {\theta }^{\prime }}\right]=0$$

или, поскольку $U$ не зависит от $\theta$,
$$\frac{dT}{d{\theta }^{\prime }}=p$$

где $p$ — константа. Эту константу, впрочем, легко вычислить при заданных начальных условиях. Разложив предыдущее уравнение, можно записать
$$A{\theta }^{\prime }+B=p.$$

Положив $x_0=0,y_0=0$ и, как следствие, очень малые $x_0^{\prime }$ и $y_0^{\prime }$, получим
$$A_0=1,B_0=0;$$

отсюда $p={\theta }_0^{\prime }$ — скорость вращения кольца, которое, по предположению, находится в равновесии. Как было доказано выше, ${\theta }_0^{\prime }=1$, значит, и $p=1$. Полученное уравнение представляет собой уравнение площадей.

Преобразуем теперь уравнения Лагранжа. Положим
$$H=T-U-p{\theta }^{\prime }.$$

При замене разности $T-U$ на $H$ уравнения Лагранжа сохраняют свою форму; так как, если $q$ является одной из переменных, имеет место соотношение
$$\frac{\partial H}{\partial q}=\frac{\partial (T-U)}{\partial q}+\frac{\partial T}{\partial {\theta }^{\prime }}\frac{\partial {\theta }^{\prime }}{\partial q}-p\frac{\partial {\theta }^{\prime }}{\partial q},$$

а поскольку
$$p=\frac{\partial T}{\partial {\theta }^{\prime }},$$

то в итоге получаем
$$\frac{\partial H}{\partial q}=\frac{\partial (T-U)}{\partial q}$$

Аналогично
$$\frac{\partial H}{\partial q^{\prime }}=\frac{\partial (T-U)}{\partial q^{\prime }}.$$

Мы можем исключить величину ${\theta }^{\prime }$ из уравнений, подставив вместо нее
$$\frac{p-B}{A},$$

и так как ни $T$, ни $U$ не содержат $\theta$, то функция $H$ перестает быть функцией от переменных $x$ и $y$ и их производных и принимает вид
$$H=-\frac{(p-B{)}^2}{2A}+\frac{C}{2}-V\text{. }$$

Допустим теперь, что центр кольца находится очень близко к центру Сатурна, т.е. что $x$ и $y$ малы, и посмотрим, останутся ли они малыми при последующем движении.

Членами нулевой степени в составе уравнения функции $H$ можно пренебречь, так как они не входят в уравнения Лагранжа. Члены первого порядка по $x$ и $y$ должны сократиться; в самом деле, в уравнениях Лагранжа такие члены становятся постоянными, и поэтому эти уравнения должны иметь решения $x=0$ и $y=0$. Что касается членов первого порядка по $x^{\prime }$ и $y^{\prime }$, то они в уравнениях Лагранжа сокращаются. Таким образом, остаются только члены второго порядка, которые мы обозначим через $W$; членами более высоких степеней также можно пренебречь.

Разложим функцию $H$, сохраняя только члены второго порядка. Получим для $W$ следующее выражение:
$$E{x}^2+2Cxy+F{y}^2+\frac{x^{\prime 2}}{2}+\frac{1-a^2}{2}{y}^{\prime 2}-x^{\prime }y+(1-2a^2)x{y}^{\prime },$$

где
$$E=\frac{3}{4}-2a^2+\frac{\alpha }{4},C=\frac{\beta }{4},F=\frac{3}{4}+\frac{\alpha }{4}.$$

Как уже было замечено, уравнения Лагранжа можно свести к виду
$$\frac{d}{dt}\frac{\partial W}{\partial x^{\prime }}=\frac{\partial W}{\partial x},\frac{d}{dt}\frac{\partial W}{\partial y^{\prime }}=\frac{\partial W}{\partial y}$$
T. e.
$$\begin{array}{rl}{x}^{\prime \prime }-2(1-a^2)y^{\prime }& =2Ex+2Cy,\\ (1-a^2)y^{\prime \prime }+2(1-a^2)x^{\prime }& =2Cx+2Fy.\end{array}$$

Для того чтобы проинтегрировать эти линейные уравнения с постоянными коэффициентами, положим прежде
$$x=x_0{e}^{i\omega t},y=y_0{e}^{i\omega t}.$$

Получим четыре возможных значения для $\omega$, а общее уравнение движения запишется как
$$\begin{array}{c}x=l_1{e}^{i{\omega }_{1}t}+l_2{e}^{i{\omega }_{2}t}+l_3{e}^{i{\omega }_{3}t}+l_4{e}^{i{\omega }_{4}t},\\ y=m_1{e}^{i{\omega }_{1}t}+m_2{e}^{i{\omega }_{2}t}+m_3{e}^{i{\omega }_{3}t}+m_4{e}^{i{\omega }_{4}t},\end{array}$$

где $l$ и $m$ — некоторые константы, определяемые из начальных условий. Для того чтобы движение было устойчивым при каких угодно условиях, значения $\omega$ должны быть, в частности, вещественными отрицательными либо нулевыми.

Для определения $\omega$ заменим $x$ и $y$ в дифференциальных уравнениях и получим
$$\begin{array}{c}{\omega }^{2}x-2(1-a^2)\omega y=2Ex+2Cy,\\ (1-a^2){\omega }^{2}y+2(1-a^2)\omega x=2Cx+2Fy.\end{array}$$

Можно исключить $x$ и $y$; в итоге имеем
$${\omega }^4(1-a^2)+{\omega }^2(-1+\frac{5a^2}{2}+\frac{a^2\alpha }{2})+\frac{1}{4}(9-{\alpha }^2-{\beta }^2-24a^2+8a^2\alpha )=0.$$

Это уравнение для ${\omega }^2$ должно иметь вещественные корни, так как если оба решения уравнения мнимые, то их квадратные корни не будут чисто мнимыми величинами. Вследствие этого, учитывая, что они равны, но противоположны по знаку, один из корней уравнения будет, в частности, вещественным и положительным. ${}^1$
С другой стороны, в случае однородного кольца
$$a=\alpha =\beta =0,$$

а значит, уравнение сводится к виду
$${\omega }^4-{\omega }^2+\frac{9}{4}=0.$$

Корни этого уравнения суть мнимые величины; они останутся мнимыми и в том случае, если $a,\alpha$ и $\beta$ находятся в окрестности нуля. Отсюда следует, что величины $a,\alpha$ и $\beta$ должны быть большими, т.е. что неправильность формы кольца весьма значительна, а ее видимая правильность ничем не объяснима.

Максвелл произвел вычисления, исходя из предположения, что кольцо однородно везде, за исключением одной точки, где присутствует некоторая дополнительная масса, и обнаружил, что эта масса должна составлять не менее чем $\frac{4}{5}$ общей массы кольца, т.е. что
$$a>0,8.$$

Радо исследовал случай кольца, плотность которого изменялась бы от точки к точке, и нашел, что эта плотность должна была бы тогда меняться в интервале от 2,7 до 0,04 , что маловероятно.

К тому же, если какая-либо часть кольца тоньше других, она должна иметь бо́льшую жесткость, чтобы противостоять притяжению спутников. Гирн вычислил, что коэффициент жесткости кольца должен быть в тысячу раз больше коэффициента жесткости стали. Следовательно, кольцо Сатурна не является твердым.
${}^1$ Из самого дисперсионного уравнения это утверждение еще не следует. Для положительности одного из корней необходимости равенства корней по модулю нет.

ГИПОТЕЗА ЖИДКОГО КОЛЬЦА
Потенциал однородной окружности. Найдем потенциал, создаваемый однородной окружностью в точке $P$ пространства. Пусть $PA=a$ и $PB=b-$ наименьшее и наибольшее расстояние от точки $P$ до окружности. Поскольку дан радиус $R$ окружности, величины $a$ и $b$ полностью определяют потенциал.
Рис. 34
Рис. 35
Обозначим угол $AOM$ (рис. 34) через $\omega$. Тогда
$${\overline{PM}}^2=a^2{\cos }^2\frac{\omega }{2}+b^2{\sin }^2\frac{\omega }{2},$$

а потенциал
$$V_p={\int }_0^{2\pi }\frac{\mu Rd\omega }{PM}=M{\int }_0^{2\pi }\frac{d\omega }{2\pi \times PM}=M\phi (a,b).$$

Поскольку потенциал зависит только от $a,b$ и массы окружности, вспомним, как вычисляется потенциал $V$, создаваемый окружностью в точке, лежащей на той же плоскости. Опишем окружность диаметpa $(a+b)$ и вычислим потенциал этой окружности в точке, расположенной на расстоянии $a$ от одной из конечных точек диаметра (рис. 35).
Потенциал в точке $P$ определяется из той же формулы; имеем
$$V=M{\int }_0^{2\pi }\frac{d\omega }{2\pi \sqrt{a^2{\cos }^2\frac{\omega }{2}+b^2{\sin }^2\frac{\omega }{2}}},$$

кроме того,
$$V=M{\int }_0^{2\pi }\frac{d\psi }{2\pi \sqrt{{\overline{OA}}^2{\cos }^2\psi +{\overline{QP}}^2{\sin }^2\psi }},$$

где $Q$ — точка на окружности, проекция которой на диаметр $AB$ пересекает его в точке $P$, а $\psi$ — угол $AOM$. Отсюда имеем
$$\begin{array}{l}\phi (a,b)=\phi (OA,QP),\\ \phi (a,b)=\phi (\frac{a+b}{2},\sqrt{ab}).\end{array}$$

Запишем теперь последовательность значений
$$\begin{array}{cc}a& b\\ a_1& b_1\\ ⋮& ⋮\\ a_n& b_n\end{array}$$

таких, что
$$a_n=\frac{a_{n-1}+b_{n-1}}{2},b_n=\sqrt{a_{n-1}{b}_{n-1}};$$

в итоге получим
$$V=M\phi (a_n,b_n),$$

и это верно при любом целом $n$. Легко доказать, что $a_n$ и $b_n$ стремятся к одному пределу, который мы назовем средним арифметикогеометрическим величин $a$ и $b$.
Обозначим этот предел через $m$. Тогда
$$V=M{\int }_0^{2\pi }\frac{d\psi }{2\pi \sqrt{m^2{\cos }^2\frac{\psi }{2}+m^2{\sin }^2\frac{\psi }{2}}}=M{\int }_0^{2\pi }\frac{d\psi }{2\pi m}=\frac{M}{m}.$$

Функция $\phi (a,b)$ представляет собой однородную функцию степени -1 от $a$ и $b$, т.е. верно равенство
$$\phi (\lambda a,\lambda b)={\lambda }^{-1}\phi (a,b);$$

следовательно, можно записать
$$\phi (a,b)=\frac{1}{b}\phi (\frac{a}{b},1).$$

Заменяя $\phi (a,1)$ на $\phi (a)$, получим
$$\phi (a,b)=\frac{1}{b}\phi \left(\frac{a}{b}\right).$$

Какой вид примет формула, если $P$ приближается к окружности, т. е. величина $a$ становится очень малой? Обозначив неперов логарифм через $\ln$, получим
$$V=2{\mu }_0\ln \frac{K}{\rho }+\epsilon ,$$

где $\rho$ — расстояние от точки $P$ до ближайшей к ней точки окружности $P_0,\epsilon$ — некоторая величина, стремящаяся к нулю вместе с $\rho ,{\mu }_0$ и $K$ — константы, не зависящие от положения точки $P$ по отношению к точке $P_0$, равно как и от положения точки $P_0$ на окружности.
Возобновляя предшествующие рассуждения, запишем
$$V=2{\mu }_0\ln \frac{K}{a},$$

а поскольку
$$M=2\pi {\mu }_{0}R,$$

имеем
$$\frac{V}{M}=\frac{1}{\pi R}\ln \frac{K}{a}.$$

Величина $b$ мало отличается от $2R$ согласно принятому порядку приближений; впрочем,
$$\frac{V}{M}=\phi (a,b).$$

Это соотношение позволяет вычислить постоянную $K$. В самом деле, имеем
$$\phi (a,b)=\phi (\sqrt{ab},\frac{a+b}{2})=\frac{2}{a+b}\phi \left(\frac{2\sqrt{ab}}{a+b}\right);$$

положим $b=1$, тогда уравнение сводится к виду
$$\phi (a)=\frac{2}{1+a}\phi \left(\frac{2\sqrt{a}}{1+a}\right).$$

В нашем случае, когда $a$ пренебрежимо мало по сравнению с единицей,
$$\phi (a)=2\phi (2\sqrt{a});$$

с другой стороны,
$$\phi (a)=\ln \frac{K}{a}.$$

Следовательно,
$$\begin{array}{c}\ln \left(\frac{K}{a}\right)=2\ln \left(\frac{K}{2\sqrt{a}}\right),\\ \ln K-\ln a=2\ln K-2\log 2-\ln a,\end{array}$$

откуда заключаем, что
$$\begin{array}{rl}\ln K& =2\ln 2,\\ K& =4,\end{array}$$

и, наконец,
$$\frac{V}{M}=\frac{2}{\pi }\ln \frac{4}{a}$$

в принятом приближении.
Можно отыскать более точное выражение для $\phi (a)$. Положим
$$\phi (a)=\frac{2}{\pi }\lg \frac{4}{a}[1+A_{1}a+A_2{a}^2+\dots ]+\frac{2}{\pi }[B_0+B_{1}a+B_2{a}^2+\dots ];$$

воспользовавшись соотношением
$$\phi (a)=\frac{2}{1+a}\phi \left(\frac{2\sqrt{a}}{1+a}\right),$$

легко находим
$$\{\begin{array}{ll}{A}_1=0,& B_0=B_1=0,\\ A_2=\frac{1}{4},& B_2=-\frac{1}{4}\ln 2\end{array}$$

с тем, чтобы можно было взять вместо $\phi (a)$ функцию
$$\frac{2}{\pi }\lg \frac{4}{a},$$

пренебрегая при этом только слагаемыми, содержащими $\frac{1}{a^2}$.

Кольцеобразное тело вращения. Обозначим центр тяжести меридионального сечения кольца через $G$ и проведем прямую $Gy$ параллельно оси вращения, а также прямую $Gx$ в меридианной плоскости, перпендикулярно $Gy$ и так, чтобы положительным было направление от оси вращения к точке $G$; расстояние от оси вращения до точки $G$ обозначим через $l$. Элемент поверхности меридионального сечения $d{\sigma }^{\prime }$ с плотностью ${\rho }^{\prime }$ и координатами $x^{\prime }$ и $y^{\prime }$ образует при вращении кольцо, масса которого равна
$$2\pi {\rho }^{\prime }(l+x^{\prime })d{\sigma }^{\prime }.$$

Найдем потенциал этого кольца в точке $P$ с координатами $x$ и $y$, лежащей в меридиональной плоскости. Прежде всего необходимо вычислить значения $a$ и $b$. Предположив, что точка $P$ находится с той же стороны от оси вращения, что и элемент $d\sigma$, запишем
$$\begin{array}{l}a=\sqrt{{(x-x^{\prime })}^2+{(y-y^{\prime })}^2},\\ b=\sqrt{{(2l+x^{\prime }+x)}^2+{(y-y^{\prime })}^2}.\end{array}$$

Допустим, что толщина кольца незначительна, а точка $P$ расположена рядом с $G$, так что величины $x,y,x^{\prime },y^{\prime }$ пренебрежимо малы по сравнению с $l$. Тогда $a$ — величина того же порядка, а $b$ приблизительно равно
$$2l+x+x^{\prime },$$

поскольку величина ${(y-y^{\prime })}^2$ пренебрежимо мала.
Вычислим теперь $\phi (a,b)$. Имеем
$$\phi (a,b)=\frac{1}{b}\phi \left(\frac{a}{b}\right)=\frac{1}{2l+x+x^{\prime }}\ln \frac{4b}{a}.$$

Тогда потенциал в точке $P$ имеет вид
$$V=\frac{4{\rho }^{\prime }d{\sigma }^{\prime }(l+x^{\prime })}{b}\ln \frac{4b}{a}.$$

Имеем
$$\frac{l+x^{\prime }}{b}=\frac{l+x^{\prime }}{2l+x+x^{\prime }};$$

так как, согласно предположению: $x$ и $x^{\prime }$ малы, можно приближенно записать
$$\frac{l+x^{\prime }}{b}=\frac{1}{2}[1+\frac{x^{\prime }-x}{2l}].$$

Отсюда
$$\ln \frac{4b}{a}=\ln \frac{8l}{a}+\ln \frac{b}{2l},\ln \frac{b}{2l}=\ln [1+\frac{x^{\prime }+x}{2l}];$$

в принятом приближении последнее равенство можно записать как
$$\ln \frac{b}{2l}=\frac{x^{\prime }+x}{2l}.$$

Тогда
$$V=d{\sigma }^{\prime }\cdot 2{\rho }^{\prime }[1+\frac{x^{\prime }-x}{2l}][\ln \frac{8l}{a}+\frac{x^{\prime }+x}{2l}].$$

Таким образом, потенциал кольца равен
$$\int 2{\rho }^{\prime }\ln \frac{8l}{a}d{\sigma }^{\prime }+\int \frac{x^{\prime }-x}{l}{\rho }^{\prime }\ln \frac{8l}{a}d{\sigma }^{\prime }+\int \frac{x^{\prime }+x}{l}{\rho }^{\prime }d{\sigma }^{\prime };$$

остальные слагаемые пренебрежимо малы, интегралы берутся по поверхности сечения. Предположим, что кольцо однородно, и положим ${\rho }^{\prime }=1$.

Два первых члена представляют собой логарифмические потенциалы, которые играют в притяжении плоских масс ту же роль, что ньютоновские потенциалы играют в притяжении объемных тел. Свойства логарифмического потенциала на плоскости аналогичны свойствам ньютоновского потенциала в пространстве. Докажем, например, что логарифмический потенциал однородного круга останется неизменным даже в том случае, если вся его масса будет сосредоточена в центре.

Если точка $P$ расположена на поверхности тора на расстоянии $a_0$ от центра образующей окружности, достаточно рассмотреть логарифмический потенциал в точке $P$, создаваемый кругом радиуса $a_0$. Площадь его поверхности равна $\pi a_0^2$, а потенциал —
$$\pi a_0^2\ln \frac{8l}{a_0}.$$

Следовательно, первый интеграл равен
$$2\pi a_0^2\ln \frac{8l}{a_0};$$

второй представляет собой сумму двух интегралов
$$\int \frac{x^{\prime }}{l}\ln \frac{8l}{a}d{\sigma }^{\prime }-\int \frac{x}{l}\ln \frac{8l}{a}d\sigma ,$$

последний из которых может быть вычислен непосредственно. Он равен
$$\frac{x}{l}\pi a_0^2\ln \frac{8l}{a_0}.$$

Первый интеграл мы вычислим позже.
В то же время, поскольку центр тяжести находится в начале координат, имеем
$$\begin{array}{l}\int \frac{x}{l}d{\sigma }^{\prime }=\frac{x}{l}\int d{\sigma }^{\prime }=\frac{x}{l}\pi a_0^2,\\ \int \frac{x^{\prime }}{l}d{\sigma }^{\prime }=\frac{1}{l}\int x^{\prime }d{\sigma }^{\prime }=0.\end{array}$$

Остается вычислить интеграл
$$\int \frac{x^{\prime }}{l}\ln \frac{8l}{a}d\sigma .$$

Воспользуемся способом, который мы уже применяли в другом случае. Предположим, что плотность круга равна
$$\frac{a_0^2}{2}-\frac{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}}{2}$$

тогда потенциал
$$U=\int {\rho }^{\prime }d{\sigma }^{\prime }\ln \frac{8l}{a}.$$

Плотность зависит только от расстояния до центра, потенциал же круга останется неизменным, если вся его масса будет сосредоточена в центре. Массу круга легко вычислить, она равна
$$\int \frac{a_0^2-r^2}{2}d{\sigma }^{\prime }={\int }_0^{2\pi }d\phi {\int }_0^{a_0}\frac{a_0^2-r^2}{2}rdr=2\pi {[\frac{a_0^2{r}^2}{4}-\frac{r^4}{8}]}_0^{a_0}=\frac{\pi a_0^4}{4}.$$

Таким образом, потенциал в точке $A$, расположенной на расстоянии $a_1>a_0$ от центра круга, равен
$$\frac{\pi a_0^4}{4}\ln \frac{8l}{a_1}.$$

Предположим, что круг $C$ смещается на величину $\epsilon$ параллельно оси $x$ и занимает новое положение $C_1$ (рис. 36). Потенциал в точке $A$ будет равен
$$U+\epsilon \frac{\partial U}{\partial x},$$

а разность потенциалов —
Рис. 36
$$\epsilon \frac{\partial U}{\partial x}.$$

Выясним, откуда берется эта разница. Плотность ${\rho }^{\prime }$ в некоторой точке внутри круга равна теперь
$${\rho }^{\prime }-\epsilon \frac{\partial {\rho }^{\prime }}{\partial x^{\prime }}.$$

В области круга $C^{\prime }$, находящейся снаружи круга $C$, плотность была нулевой, теперь же она равна ${\rho }^{\prime }$; эта величина мала, поскольку плотность ${\rho }^{\prime }$ на окружности круга $C$ равна нулю, а площадь рассматриваемой области есть величина порядка $\epsilon$. Следует еще рассмотреть область, равную вышеописанной по площади, которая находится внутри круга $C$ и снаружи круга $C^{\prime }$. Плотность здесь изменилась противоположным образом на величину, порядок которой также не превышает $\epsilon$, так как плотность ${\rho }^{\prime }$, малая на границе круга, становится в какой-либо точке этой области нулевой.

Значит, изменение потенциала, связанное с этими двумя областями, пренебрежимо мало, и верно равенство
$$\epsilon \frac{\partial U}{\partial x}=-\int \epsilon \frac{\partial {\rho }^{\prime }}{\partial x^{\prime }}\ln \frac{8l}{a}d{\sigma }^{\prime }.$$

Но
$$\frac{\partial {\rho }^{\prime }}{\partial x^{\prime }}=-2x^{\prime }$$

отсюда, сокращая множитель $\epsilon$, получим
$$\int x^{\prime }\ln \frac{8l}{a}d{\sigma }^{\prime }=\frac{\partial U}{\partial x}.$$

Таким образом, искомый интеграл равен $\frac{\partial U}{\partial x}$ с точностью до множителя $l$, но $\frac{\partial U}{\partial x}$ — составляющая силы притяжения, параллельная оси $Ox$. Эта сила равна $\frac{1}{a_1}$, а ее составляющая по $Ox$ равна $\frac{x}{a_1^2}$.
Отсюда
$$\int \frac{x^{\prime }}{l}\ln \frac{8l}{a}d\sigma =\frac{\pi a_0^{4}x}{4l}\frac{1}{a_1^2}.$$

Предположив, что точка расположена на поверхности тора, т.е. что $a_1=$ $=a_0$, получим значение интеграла
$$\pi a_0^2\frac{x}{4l}.$$

Следовательно, потенциал в некоторой точке на поверхности тора имеет вид
$$V=2\pi a_0^2\ln \frac{8l}{a_0}-\frac{x}{l}\pi a_0^2\ln \frac{8l}{a_0}+\frac{5x}{4l}\pi a_0^2,$$

пренебрегая величинами порядка $\frac{a_0^2}{l^2}$.
Меридиональное сечение кольца. Обозначим массу Сатурна через $M$, скорость вращения кольца через $\omega$. Необходимое условие равновесия на поверхности тора заключается в том, чтобы функция $U+\frac{{\omega }^2{R}^2}{2}$ была постоянной, под $U$ здесь подразумевается сумма собственного потенциала кольца и потенциала, создаваемого Сатурном; последний может быть выражен в принятом приближении как $\frac{M}{l}$. Значит, на поверхности кольца должно выполняться условие
$$V+\frac{M}{l}+\frac{{\omega }^2{R}^2}{2}=C^{\mathrm{te}}.$$

Положим
$$R=l+x,R^2=l^2+2lx;$$

тогда расстояние от точки на поверхности тора до его центра
$${\rho }^2=(l+x{)}^2+y^2.$$

В принятом приближении это можно записать как
$${\rho }^2=(l+x{)}^2,$$

откуда
$$\rho =l+x,$$

и, наконец,
$$\frac{1}{\rho }=\frac{1}{l+x}=\frac{1}{l}-\frac{x}{l^2}.$$

Условие равновесия запишется следующим образом:
$$2\pi a_0^2\ln \frac{8l}{a_0}-\frac{x}{l}\pi a_0^2\ln \frac{8l}{a_0}+\frac{5x}{4l}\pi a_0^2+\frac{M}{l}-\frac{Mx}{l^2}+\frac{{\omega }^2{l}^2}{2}+{\omega }^{2}lx=C^{\mathrm{te}};$$

а значит, коэффициент при $x$ должен быть равен нулю, т.е.
$$\frac{5\pi a_0^2}{4l}-\frac{\pi a_0^2}{l}\ln \frac{8l}{a}-\frac{M}{l^2}+{\omega }^{2}l=0.$$

Из этого уравнения можно определить ${\omega }^2$ с точностью до величин второго порядка.
Так как величина $\frac{a_0^2}{l}$ также мала, имеем
$${\omega }^2=\frac{M}{l^3}$$

Таким образом, скорость вращения тора, сечением которого является круг достаточно малого радиуса по сравнению с расстоянием до Сатурна, равна скорости движения спутника, помещенного на таком же расстоянии от планеты.

При отсутствии центрального тела $M=0$. В этом случае также возможна кольцевая фигура равновесия: величина $a^2$ пренебрежимо мала, отношение $\frac{\omega }{\frac{a_0}{l}}$, разумеется, стремится к бесконечности при $a_0$, стремящемся к нулю, а величина $\ln \frac{l}{a_0}$ при этом возрастает до бесконечности.

Если требуется лучшее приближение, необходимо вычислить значение суммы слагаемых вида
$$x^m{y}^n\int x^{\prime m^{\prime }}{y}^{\prime n^{\prime }}\ln \frac{8l}{a}d\sigma$$

и
$$x^m{y}^n\int x^{\prime m^{\prime }}{y}^{\prime n^{\prime }}d\sigma .$$

Предположим теперь, что сечением тора является эллипс. В этом случае нам необходимо вычислить логарифмический потенциал эллипса. Известно, что ньютоновский потенциал, создаваемый бесконечной прямой в некоторой точке, равен логарифмическому потенциалу, создаваемому в этой точке проекцией точки на прямую. Отсюда следует, что логарифмический потенциал, создаваемый эллипсом в точке, лежащей в его плоскости, равен ньютоновскому потенциалу цилиндра, длинного по сравнению с его поперечным сечением, в точке, расположенной на малом расстоянии от его поверхности. Таким образом, задача сводится к вычислению потенциала очень вытянутого эллипсоида, для которого величина $c^2$ предполагается бесконечной.
Внутренний потенциал выражается функцией второго порядка
$$V=A{x}^2+B{y}^2,$$

коэффициенты которой легко вычисляются (стр. 136).
Потенциал же снаружи имеет вид
$$V=A_0+A_{1}x+A_2{x}^2+A_3{y}^2+\dots$$

Можно вычислить $A_0,A_1,A_2$, как мы делали это ранее, только интегралы следует брать по площади эллипса, уравнение которого
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$$

Величинами третьего порядка можно пренебречь. Силовую функцию можно также разложить в ряд вида
$$C_0+C_{1}x+C_2{x}^2+C_3{y}^2.$$

Условие равновесия для поверхности эллипса выглядит следующим образом:
$$(A_1+C_1)x+(A_2+C_2)x^2+(A_3+C_3)y^2=C^{\mathrm{te}},$$

а значит, должны выполняться равенства
$$A_1+C_1=0,(A_2+C_2)a^2=(A_3+C_3)b^2.$$

Лаплас исследовал это уравнение и произвел вычисления без учета членов $A_2$ и $A_3$.

Ковалевская сделала больше и показала, что меридиональное сечение тора не симметрично относительно оси $y$.

Вопрос об устойчивости мы изучим позже, а сейчас рассмотрим гипотезу Кассини.
ГИПОТЕЗА КАССИНИ
Правдоподобность гипотезы Кассини. Из трех гипотез лишь гипотеза Кассини согласуется с трудами Максвелла о кольце Сатурна. Наблюдения также подтверждают эту гипотезу — кольцо прозрачно для света и не вызывает преломления. Следует, очевидно, предположить, что кольцо состоит из твердых (либо жидких) частиц, отделенных друг от друга. К тому же, спектроскопические наблюдения показывают, что скорость отдельной частицы кольца не постоянна ни на внешнем, ни на внутреннем его крае.

Уравнения движения. Начнем с изучения самого простого случая. Рассмотрим $p$ спутников одинаковой массы $\mu$, расположенных по кругу на равных расстояниях друг от друга; расстояние между двумя спутниками $\frac{2\pi }{p}=2\theta$, отношснис $\frac{\mu }{\theta }$ нс являстся бссконсчно большим.

Один из возможных вариантов движения такой системы состоит в том, что каждый спутник равномерно движется по окружности со скоростью $\omega$, определяемой притяжением планеты и других спутников. ${}^1$ Выясним, возможно ли движение, близкое к вышеописанному.

Пусть $M_k$ — спутник, занимающий положение $k$, его радиус-вектор равен $1+{\rho }_k$, а полярный угол составляет $\omega t+2k\theta +{\sigma }_k$. При невозмущенном движении
$${\rho }_k=0,{\sigma }_k=0;$$

при устойчивом движении величина ${\rho }_k$ должна оставаться малой.
Живая сила $T$ и силовая функция $U$ суть функции от ${\rho }_k$ и ${\sigma }_k$; уравнения Лагранжа дают следующие равенства:
$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial {\sigma }_k^{\prime }}\right)-\frac{\partial T}{\partial {\sigma }_k}+\frac{\partial U}{\partial {\sigma }_k}=0,\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial {\rho }_k^{\prime }}\right)-\frac{\partial T}{\partial {\rho }_k}+\frac{\partial U}{\partial {\rho }_k}=0.$$

Положив
$$T-U=H,$$
${}^1$ Такие симметричные конфигурации называются центральными.

получим
$$\frac{d}{dt}\frac{\partial H}{\partial {\rho }_k^{\prime }}-\frac{\partial H}{\partial {\rho }_k}=0$$

Можно предположить, что Сатурн неподвижен; иными словами, мы не будем рассматривать возмущения в движении спутников, вызванные движением Сатурна. Таким образом, постановка уравнения задачи не зависит от движения Сатурна.
Живая сила системы имеет вид
$$T=\sum \frac{\mu }{2}[{\rho }_k^{\prime 2}+{(1+{\rho }_k)}^2{(\omega +{\sigma }_k^{\prime })}^2],$$

или, пренебрегая бесконечно малыми величинами третьего порядка,
$$T=\sum \frac{\mu }{2}[{\rho }_k^{\prime 2}+{\omega }^2+2{\omega }^2{\rho }_k+{\omega }^2{\rho }_k^2+2\omega {\sigma }_k^{\prime 2}+{\sigma }_k^{\prime 2}+4{\rho }_k^{\prime }{\sigma }_k^{\prime }].$$

Силовая функция имеет вид
$$U=\sum \frac{\mu }{(1+{\rho }_k)}+{\mu }^{2}R,$$

где $R$ — дополнительный потенциал, связанный с притяжением спутников друг к другу. Положим
$$\psi =(k-h)\theta$$

тогда
$$\begin{array}{c}R=\sum \frac{1}{2\sin \psi }\{1-\frac{{\rho }_h+{\rho }_k}{2}+\frac{{({\rho }_h+{\rho }_k)}^2}{4}-\frac{{({\rho }_h-{\rho }_k)}^2}{8}{\mathrm{ctg}}^2\psi +\\ +({\rho }_h+{\rho }_k)\frac{{\sigma }_h-{\sigma }_k}{4}\mathrm{ctg}\psi +\frac{({\sigma }_k-{\sigma }_h)}{2}\mathrm{ctg}\psi +\\ +\frac{{({\sigma }_k-{\sigma }_h)}^2}{8}(1+2{\mathrm{ctg}}^2\psi )+\dots \},\end{array}$$

опущенные слагаемые пренебрежимо малы. Также можно записать
$$\frac{\mu }{1+{\rho }_k}=\mu (1-{\rho }_k+{\rho }_k^2).$$

Наиболее важными членами в потенциале $R$ являются, разумеется, те, для которых угол $\psi$ мал. При этом $\sin \psi$ есть бесконечно малая величина первого порядка, $\frac{\mathrm{ctg}\psi }{\sin \psi }$ — бесконечно большая величина второго порядка, а $\frac{{\mathrm{ctg}}^2\psi }{\sin \psi }$ — бесконечно большая величина третьего порядка.

Как мы знаем, функции $U$ и $T$ не зависят от $t$ и являются функциями второго порядка относительно переменных $\rho ,{\rho }^{\prime },\sigma$ и ${\sigma }^{\prime }$; производные $\frac{\partial T}{\partial \sigma },\frac{\partial T}{\partial {\sigma }^{\prime }}$ являются функциями первого порядка относительно этих переменных; наконец, производная $\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial {\sigma }^{\prime }}\right)$ является функцией первого порядка со вторыми производными. Таким образом, уравнения Лагранжа суть уравнения с постоянными коэффициентами вида
$$A+B(\rho ,{\rho }^{\prime },{\rho }^{\prime \prime };\sigma ,{\sigma }^{\prime },{\sigma }^{\prime \prime })=0,$$

где $A$ — константа, а $B$ — линейная функция от указанных аргументов. Однако эти уравнения должны иметь решение $\rho =\sigma =0$, а значит, коэффициент $A$ должен сокращаться. Тогда уравнения становятся линейными и однородными и их решения выражаются через экспоненты; имеет место равенство
$$\rho =\sum \alpha e^{\lambda t},$$

где $\lambda$ — корни алгебраических уравнений, а $\alpha$ — постоянные.
Движение будет устойчивым, если $\rho$ не возрастает дальше некоторого предела. Запишем $\lambda$ в виде
$$\lambda ={\lambda }_0+i{\lambda }_1.$$

Движение будет устойчивым, если число ${\lambda }_0$ отрицательно или равно нулю; и если доказать, что корни уравнения для $\lambda$ попарно равны по модулю, но имеют противоположные знаки, то мы увидим, что ${\lambda }_0$ может иметь только нулевое значение. С другой стороны, если заменить $t$ на $-t$, то уравнения не изменятся, так как в уравнения Лагранжа входят только члены второго порядка. Отсюда следует, что если уравнение для $\lambda$ имеет один корень, то оно также имеет и другой корень противоположного знака, а значит, необходимое условие устойчивости равновесия заключается в том, чтобы корни уравнения для $\lambda$ были исключительно мнимыми числами. Разумеется, это условие также и достаточно, так как в данном случае $\rho$ выражается через тригонометрические функции от вещественной переменной $t$.

Имеем $2p$ уравнений второго порядка, следовательно, $\lambda$ удовлетворяет одному алгебраическому уравнению порядка $4p$, т.е. уравнению для ${\lambda }^2$ порядка $2p$, все корни которого вещественны и отрицательны.
Первые из уравнений Лагранжа имеют вид
$${\rho }_k^{\prime \prime }-{\omega }^2(1+{\rho }_k)-2\omega {\sigma }_k^{\prime }+1-2{\rho }_k=\mu \left(\frac{\partial R}{\partial {\rho }_k}\right).$$

Внутренний потенциал $R$ представим в виде суммы членов нулевого, первого и второго порядка —
$$R=R_0+R_1+R_2$$

или
$$\mu \frac{\partial R}{\partial {\rho }_k}=\mu \frac{\partial R_1}{\partial {\rho }_k}+\mu \frac{\partial R_2}{\partial {\rho }_k},$$

где $\frac{\partial R_1}{\partial {\rho }_k}$ — постоянная, а $\frac{\partial R_2}{\partial {\rho }_k}$ — линейная функция.
Вторые уравнения Лагранжа имеют вид
$${\sigma }_k^{\prime \prime }+2\omega {\rho }_k^{\prime }=\mu \frac{\partial R_1}{\partial {\sigma }_k}+\mu \frac{\partial R_2}{\partial {\sigma }_k}.$$

Постоянные члены в первом уравнении должны сократиться; исходя из этого, имеем
$${\omega }^2-1=-\mu \frac{\partial R_1}{\partial {\rho }_k}=-\frac{\mu }{4}\sum \frac{1}{\sin \psi },$$

где $\psi$ принимает значения $\theta ,2\theta ,3\theta ,\dots ,(\overline{p-1})\theta$. В случае $\mu =0$ получим ${\omega }^2=1$.
Таким образом, уравнения имеют вид
$${\rho }_k^{\prime \prime }-2\omega {\sigma }_k^{\prime }-({\omega }^2+2){\rho }_k=\mu \frac{\partial R_2}{\partial {\rho }_k},{\sigma }_k^{\prime \prime }-2\omega {\rho }_k^{\prime }=\mu \frac{\partial R}{\partial {\sigma }_k}.$$

Замена переменных. Произведем замену переменных
$${\rho }_k=\sum {\xi }_{\gamma }{e}^{2ik\gamma \theta },\gamma =1,2,\dots ,p.$$

Запишем, например,
$$\begin{array}{l}{\rho }_1={\xi }_1{e}^{2i\theta }+{\xi }_2{e}^{4i\theta }+{\xi }_3{e}^{6i\theta }+\dots ,\\ {\rho }_2={\xi }_1{e}^{4i\theta }+{\xi }_2{e}^{3i\theta }+{\xi }_3{e}^{12i\theta }+\dots \end{array}$$

Аналогично положим
$${\sigma }_k=\sum {\eta }_{\gamma }{e}^{2ik\gamma \theta }$$

Коэффициенты ${\xi }_{\gamma }$, с одной стороны, и ${\eta }_{\gamma }$, с другой, суть попарно сопряженные мнимые числа. Выражаясь более точно, скажем, что сопряженными мнимыми являются числа ${\xi }_{\gamma }$ и ${\xi }_{p-\gamma }$. В самом деле, можно записать
$${\rho }_k=\sum {\xi }_{p-\gamma }{e}^{2ik(p-\gamma )\theta }=\sum {\xi }_{p-\gamma }{e}^{-2ik\gamma \theta }.$$

Второе выражение для ${\rho }_k$ выводится из первого путем замены $i$ на $-i$ и ${\xi }_{\gamma }$ на ${\xi }_{p-\gamma }$. Следовательно, ${\xi }_{p-\gamma }$ должно выводиться из ${\xi }_{\gamma }$ с помощью замены $i$ на $-i$; значит, ${\xi }_{\gamma }$ и ${\xi }_{p-\gamma }$ являются сопряженными мнимыми числами. Аналогично можно доказать, что коэффициенты ${\eta }_{\gamma }$ и ${\eta }_{p-\gamma }$ также являются сопряженными мнимыми числами. При четном $p$ число ${\xi }_{\frac{p}{2}}$ вещественно, так как оно является сопряженным к самому себе. Функция ${\left(\frac{d{\rho }_k}{dt}\right)}^2$ представляет собой полином второго порядка по ${\xi }_{\gamma }^{\prime }$, который содержит только члены вида ${\xi }_{\gamma }^{\prime },{\xi }_{p-\gamma }^{\prime }$. В самом деле, функции $T$ и $R$ симметричны относительно ${\rho }_k$ и ${\sigma }_k$. Если поменять местами ${\rho }_k$ и ${\sigma }_k$, т.е. заменить ${\xi }_{\gamma }$ на ${\xi }_{\gamma }{e}^{2i\gamma \theta }$, то число, на которое умножится ${\xi }_{\gamma }^{\prime }$, не изменится.

То же верно и для коэффициентов ${\eta }_{\gamma }$ и ${\eta }_{\gamma }^{\prime }$. При такой замене ни $T$, ни $R$ не должны измениться. Значит, член ${\xi }_{\gamma }^{\prime }{\xi }_{{\gamma }^{\prime }}^{\prime }$ должен преобразоваться сам в себя. Следовательно, при замене переменных следует умножить этот коэффициент на $e^{2ihp\theta }$, т.е. должно быть выполнено равенство
$$2i(\gamma +{\gamma }^{\prime })\theta =2ihp.$$

Отсюда
$$\gamma +{\gamma }^{\prime }=p.$$

Рассуждая подобным образом, мы в итоге придем к тому, что функции $T$ и $R$ должны содержать только члены вида
$$\begin{array}{ll}{\xi }_{\gamma }^{\prime }{\xi }_{p-\gamma }^{\prime }& {\eta }_{\gamma }^{\prime }{\eta }_{p-\gamma }^{\prime }\\ {\xi }_{\gamma }{\xi }_{p-\gamma }^{\prime }& {\xi }_{\gamma }{\eta }_{p-\gamma }^{\prime }\\ {\xi }_{\gamma }{\xi }_{p-\gamma }& {\xi }_{\gamma }{\eta }_{p-\gamma }\\ {\xi }_{\gamma }^{\prime }{\eta }_{p-\gamma }& {\eta }_{\gamma }{\eta }_{p-\gamma }\end{array}$$

Если теперь внимательнее взг.яннть на способ образования функции $H$, то мы увидим, что можно положить
$$H=H_1+H_2+\dots +H_{\gamma }+\dots +H_p,$$

где вместо $H_{\gamma }$ следует записать
$$\begin{array}{l}{\xi }_{\gamma }^{\prime }{\xi }_{p-\gamma }^{\prime }+2\omega ({\xi }_{\gamma }{\eta }_{p-\gamma }^{\prime }+{\xi }_{p-\gamma }{\eta }_{\gamma }^{\prime })+{\omega }^2{\xi }_{\gamma }{\xi }_{p-\gamma }+{\eta }_{\gamma }^{\prime }{\eta }_{p-\gamma }^{\prime }+2{\xi }_{\gamma }^{\prime }{\xi }_{p-\gamma }+\\ +\mu [-L_{\gamma }{\xi }_{\gamma }{\xi }_{p-\gamma }+M_{\gamma }({\xi }_{\gamma }{\eta }_{p-\gamma }+{\eta }_{\gamma }{\xi }_{p-\gamma })+N_{\gamma }{\eta }_{\gamma }{\eta }_{p-\gamma }]\end{array}$$

коэффициенты $L_{\gamma },M_{\gamma },N_{\gamma }$ выражаются следующими формулами:
$$\begin{array}{rl}{L}_{\gamma }& =\sum (\frac{{\sin }^2\gamma \psi {\cos }^2\psi }{4{\sin }^3\psi }-\frac{{\cos }^2\gamma \psi }{2\sin \psi }),\\ M_{\gamma }& =\sum \frac{\sin 2\gamma \psi \cos \psi }{8{\sin }^2\psi },\\ N_{\gamma }& =\sum (\frac{{\sin }^2\gamma \psi {\cos }^2\psi }{2{\sin }^3\psi }+\frac{{\sin }^2\gamma \psi }{4\sin \psi }).\end{array}$$

Тогда уравнения Лагранжа примут вид
$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial H_{\gamma }}{\partial {\xi }_{\gamma }^{\prime }}\right)-\frac{\partial H_{\gamma }}{\partial {\xi }_{\gamma }}=0,$$

откуда получим, исключив значки $\gamma$,
$$\begin{array}{rl}{\xi }^{\prime \prime }-\xi ({\omega }^2+2)-2\omega {\eta }^{\prime }& =\mu [L\xi +M\eta ],\\ {\eta }^{\prime \prime }+2\omega {\xi }^{\prime }& =\mu [M\xi +N\eta ].\end{array}$$

Уравнение для ${\lambda }^2$ запишется как
$$({\lambda }^2-{\omega }^2-2-L\mu )({\lambda }^2+N\mu )-({\mu }^2{M}^2-4{\omega }^2{\lambda }^2)=0.$$

Обсуждение уравнений. При любом значении $\gamma$ корни данного уравнения для ${\lambda }^2$ должны быть вещественными и отрицательными. Очевидно, что это условие будет выполняться при достаточно малом значении $\mu$; как показал Максвелл, $\mu$ должно быть меньше $\frac{2,3}{p^3}$. При таких условиях $\mu p$ стремится к нулю, когда $p$ бесконечно возрастает. Здесь возникает определенная трудность, так как масса кольца, точно равная $\mu p$, становится пренебрежимо малой. Однако эта трудность исчезает сама собой, если мы предположим, что спутники распределены не на окружности, а в некотором объеме.
Если корни уравнения для ${\lambda }^2$ отрицательны, то можно положить
$${\xi }_{\gamma }=A{e}^{\lambda t}=A{e}^{int},$$

где $n$ — некоторое вещественное число, и, приняв затем
$$A=A_0{e}^{in\phi },B=B_0{e}^{in{\phi }_1},$$

запишем
$${\xi }_{\gamma }=A_0{e}^{int+i\phi },{\eta }_{\gamma }=B_0{e}^{int+i{\phi }_1}.$$

Одно частное решение мы получим, если к ${\xi }_{\gamma },{\eta }_{\gamma }$ добавить решения
$${\xi }_{\beta }=0,{\eta }_{\beta }=0,\beta eq\gamma .$$

Тогда можно найти частное решение для ${\rho }_k$, положив
$${\rho }_k=A_0{e}^{i(nt+\beta +2k\gamma \theta )};$$

добавив к этому решению сопряженное к нему мнимое число, получим два решения вида
$${\rho }_k=A_0\cos (nt+\phi +2k\gamma \theta ),{\sigma }_k=B_0\cos (nt+\phi +2k\gamma \theta ).$$

Вообразим систему координатных осей, которая всегда следует за спутником $M_k$ при его невозмущенном движении, причем одна из этих осей совпадает с радиусом $O{M}_k$; значения ${\rho }_k$ и ${\sigma }_k$ становятся в этом случае координатами спутника относительно данной системы. Кроме того, мы видим, что спутник описывает относительно этих осей малый эллипс.

Перейдем к траектории следующего спутника, заменив $k$ на $k+1$; второй спутник, таким образом, отстает от первого и так далее. Величина отставания, которую мы назовем запаздыванием, равна $\gamma \theta$. Если число $k\gamma \theta$ кратно $2\pi$, спутник $k+1$ занимает то же положение, что и первый, положение спутника $k+2$ совпадает с положением второго спутника и т.д.

Движение словно бы передается от одного спутника к другому с определенным запаздыванием. Можно сказать, что движение передается как волна, длина которой $\frac{2\pi }{\gamma }[23]$.

Наиболее опасными для устойчивости являются короткие волны, т. е. более всего угрожают устойчивости движения волны, соответствующие большим значениям $\gamma$. Возьмем достаточно большое $n$; при больших $\gamma$ волна станет очень короткой, тогда два соседних спутника смогут весьма ощутимо приблизиться друг к другу, и их взаимное притяжение перестанет быть пренебрежимо малым по сравнению с притяжением Сатурна.

Общая масса кольца $\mu p$, как уже отмечалось, должна быть меньше $\frac{2,3}{p^2}$, например, если $p=100$, то масса должна быть меньше $\frac{2,3}{10000}$; здесь теория Максвелла несколько неудобна. Однако эти неудобства искусственны, так как выдвинутая нами гипотеза чересчур проста, и следует все-таки предположить, что спутники занимают определенный объем пространства.

Возмущение, вносимое движением одного спутника в движение другого, есть величина порядка $\frac{\mu }{{\delta }^3}$, где $\delta$ — расстояние между спутниками.

Если спутники распределены по окружности длины $l$, то $\delta =\frac{l}{p}$. Движение будет устойчивым до тех пор, пока возмущение не превышает некоторого заданного значения $A$. Таким образом, в рамках гипотезы о спутниках, распределенных по окружности, необходимо, чтобы выполнялось неравенство
$$\frac{\mu p^3}{l^3}<A,$$

или
$$\mu <\frac{A{l}^3}{p^3}.$$

Если спутники распределены по кольцу, заключенному между двумя окружностями, находящимися на расстоянии, сравнимом с длиной одной из них, то число спутников сравнимо с $p^2$. Если все спутники находятся внутри кольца ограниченного объема, и их число сравнимо с $p^2$, то масса кольца равна $\mu p^3$, а условие равновесия имеет вид
$$\mu p^3<A{l}^3\text{. }$$

Следовательно, масса кольца не должна превышать некоторого предела, который не зависит от числа спутников.

Устойчивость жидкого кольца. Теперь, следуя Максвеллу, рассмотрим внимательнее устойчивость движения для случая либо жидкого, либо состоящего из отдельных частиц, кольца. Рассуждения, приведенные в этой части работы Максвелла, не вполне строги и даже не вполне ясны; выводы, однако, сделаны верные. Вероятно, строгие вычисления привели бы к результатам, несколько отличным от тех, к которым придем мы.

Пусть $x,y,z$ — координаты точки при невозмущенном движении, $u,v,w$ — составляющие ее скорости, а
$$x+\xi ,y+\eta ,z+\zeta$$

и
$$u+\frac{d\xi }{dt},v+\frac{d\eta }{dt},w+\frac{d\zeta }{dt}$$
— те же значения при возмущенном движении.
Живая сила системы имеет вид
$$T=\int [{(u+\frac{d\xi }{dt})}^2+{(v+\frac{d\eta }{dt})}^2+{(w+\frac{d\zeta }{dt})}^2]\frac{\rho d\tau }{2};$$

потенциальная энергия $U$ равна
$$\int \frac{(V+V^{\prime })(\rho +{\rho }^{\prime })}{2}d\tau$$

где $V$ и $\rho$ — потенциал и плотность при невозмущенном движении, а $V+V^{\prime }$ и $\rho +{\rho }^{\prime }$ — те же величины при движении возмущенном. Функция $U$ является суммой четырех интегралов
$$\int \frac{V\rho d\tau }{2}+\int \frac{V{\rho }^{\prime }d\tau }{2}+\int \frac{V^{\prime }\rho d\tau }{2}+\int \frac{V^{\prime }{\rho }^{\prime }d\tau }{2}.$$

Первый интеграл есть постоянная величина и не зависит от $\xi ,\eta ,\zeta$, второй и третий равны, как мы знаем с начала данного курса. Они представляют собой половину потенциальной энергии, связанную с притяжением возмущенной (невозмущенной) компоненты плотности кольца гравитационным полем невозмущенной (возмущенной) системы.

Пренебрегая кубами $\xi ,\eta ,\zeta$, положим
$$V+V^{\prime }=V+\xi \frac{\partial V}{\partial x}+\eta \frac{\partial V}{\partial y}+\zeta \frac{\partial V}{\partial z}+\frac{1}{2}\sum {\xi }^2\frac{{\partial }^{2}V}{\partial x^2}+\sum \eta \zeta \frac{{\partial }^{2}V}{\partial y\partial z}.$$

Сумму второго и третьего интегралов можно записать в виде
$$\int (\sum \frac{\partial V}{\partial x}\xi +\frac{1}{2}\sum \frac{{\partial }^{2}V}{\partial x^2}{\xi }^2+\sum \zeta \eta \frac{{\partial }^{2}V}{\partial y\partial z})\rho d\tau .$$

Теперь следует вычислить последний интеграл. Можно предположить, что смещение $(\xi ,\eta ,\zeta )$ является суммой двух смещений: одно происходит в направлении движения, другое — перпендикулярно ему. Положим
$$\xi ={\xi }_1+{\xi }_2,\eta ={\eta }_1+{\eta }_2,\zeta ={\zeta }_1+{\zeta }_2.$$

Впрочем, из известных формул для продольных и поперечных колебаний известно, что уравнение
$$\rho {\xi }_{1}dx+\rho {\eta }_{1}dy+\rho {\zeta }_{1}dz=d\theta$$

представляет собой полный дифференциал и что имеет место равенство
$$\frac{d\left(\rho {\xi }_2\right)}{dx}+\frac{d\left(\rho {\eta }_2\right)}{dy}+\frac{d\left(\rho {\zeta }_2\right)}{dz}=0.$$

С другой стороны, имеем соотношение
$${\rho }^{\prime }+\frac{d(\rho \xi )}{dx}+\frac{d(\rho \eta )}{dy}+\frac{d(\rho \zeta )}{dz}=0.{}^1$$

Исходя из вышесказанного, можно записать
$$\int V^{\prime }{\rho }^{\prime }d\tau =\frac{1}{8\pi }\int {\rho }^{2}d\tau [{\xi }_1^2+{\eta }_1^2+{\zeta }_1^2].$$

Допустим теперь, что подвижная система координат вращается вокруг оси симметрии кольца со скоростью $\omega$. Выражение для $U$ не изменится, а функция $T$ при таких условиях примет вид
$$\int \{{[u+\frac{d\xi }{dt}-\omega (y+\eta )]}^2+{[v+\frac{d\eta }{dt}-\omega (x+\xi )]}^2+{(w+\frac{d\zeta }{dt})}^2\}d\tau .$$
${}^1$ Эта формула следует из закона сохранения массы.

Условие равновесия требует, чтобы значение
$$\int (T-U)dt$$

было максимальным. Учитывая известное нам соотношение
$$\rho {\xi }_{1}dx+\rho {\eta }_{1}dy+\rho {\zeta }_{1}dz=d\theta ,$$

получим уравнения для $\xi ,\eta$ и $\zeta$ :
$$\begin{array}{rl}{\xi }^{\prime \prime }-2\omega {\eta }^{\prime }& =\frac{\partial P}{\partial \xi }+\frac{\partial \theta }{\partial x},\\ {\eta }^{\prime \prime }-2\omega {\xi }^{\prime }& =\frac{\partial P}{\partial \eta }+\frac{\partial \theta }{\partial y},\\ {\zeta }^{\prime \prime }& =\frac{\partial P}{\partial \zeta }+\frac{\partial \theta }{\partial z},\end{array}$$

где $P$ — полином второго порядка по $(\xi ,\eta ,\zeta )$, а $\theta$ — вспомогательная переменная, связанная с тремя предыдущими соотношением
$$\mathrm{\Delta }\theta =\frac{\partial \xi }{\partial x}+\frac{\partial \eta }{\partial y}+\frac{\partial \zeta }{\partial z}$$

Заключение. Максвелл получил следующий результат: для того чтобы равновесие было устойчивым, $\rho$ должно быть меньше $\frac{1}{300}\cdot {}^1$

Этот результат верен как для скопления космической пыли, так и для жидкого кольца, однако в случае жидкого кольца имеется одно дополнительное условие — давление ${}^2$ на его поверхности должно быть направлено внутрь. Лаплас установил для случая жидкого кольца эллиптического сечения, что плотность вещества кольца на его наружном крае должна превышать $\frac{1}{2}$, а на внутреннем -2 .

Существуют ли для данного случая другие фигуры равновесия? Вспомним, что должно выполняться условие
$${\omega }^2<2\pi \rho .$$
${}^1$ Это — так называемый предел Максвелла.
${}^2\mathrm{Ha}$ самом деле, градиент давления.

Величину $\omega$ в этой формуле следует брать равной угловой скорости спутника, орбита которого совпадает с кольцом. Таким образом, обозначив массу Сатурна через $M$, а радиус кольца через $L$, получим
$${\omega }^2=\frac{M}{L^3}.$$

Если ${\rho }_0$ — плотность Сатурна, а $R$ — его радиус, то
$$M=\frac{4}{3}\pi R^3{\rho }_0.$$

Отсюда
$$\begin{array}{rl}2\pi \rho & >\frac{4}{3}\pi \frac{R^3}{L^3}{\rho }_0,\\ \frac{\rho }{{\rho }_0}& >\frac{2}{3}{\left(\frac{R}{L}\right)}^3.\end{array}$$

Значение правой части неравенства больше $\frac{1}{16}$. Сравнив этот результат с предыдущим, мы убеждаемся, что кольцо Сатурна не может быть жидким. Впрочем, как мы уже знаем, наблюдения показывают, что это кольцо, вероятно, состоит из множества мелких частиц.