Теорема Стокса. Если известны форма внешней поверхности тела $S$, его масса $M$ и угловая скорость вращения $\omega$, можно определить значение потенциала $V$ в любой внешней точке.

Существует бесконечное множество законов распределения материи внутри ядра, которые могут дать одну и ту же внешнюю поверхность тела. Однако каким бы ни было это распределение, потенциал $V$ снаружи тела полностью определяется через величины $S, M$ и $\omega$.

Действительно, вне притягивающей массы функция $V$ удовлетворяет уравнению $\Delta V=0$. На бесконечном удалении от тела $V=0$, на поверхности же
\[
V+\frac{\omega^{2}}{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)=U=K,
\]

и, наконец, имеет место равенство
\[
\int \frac{d V}{d n} d \sigma=-4 \pi M
\]

Задача определения $V$, таким образом, полностью решена. В самом деле, допустим, что существует какое-то другое решение, и обозначим его $V^{\prime}$. Тогда
\[
V-V^{\prime}=U-U^{\prime}=K-K^{\prime}=C^{\text {te }} .
\]

Известно, что $\Delta\left(V-V^{\prime}\right)=0$.
Поскольку функция $V-V^{\prime}$ постоянна на поверхности тела, она представляет собой потенциал электрического заряда, распределенного по поверхности.
Этот заряд определяется выражением
\[
\int \frac{\partial\left(V-V^{\prime}\right)}{\partial n} d \sigma,
\]

где интеграл берется по внешней поверхности. Однако в данном случае заряд равен нулю, так как
\[
\int \frac{d V}{d n} d \sigma=-4 \pi M, \quad \int \frac{d V^{\prime}}{d n} d \sigma=-4 \pi M .
\]

Потенциал $V-V^{\prime}$ нулевого заряда также равен нулю, что и требовалось доказать.

Таким образом, из опыта с маятником, позволяющего определить значенин $g$ на различной высоте, мы не узнаем относительно распределения внутренних масс ничего такого, что не было бы нам уже известно из величин, упоминаемых в теореме Стокса. Не больше мы узнаем и изучая пертурбации, вызываемые движением других небесных тел.
Рис. 14
Разложение функции $\frac{1}{M M^{\prime}}$ в ряд полиномов. Пусть точка $O$ – начало координат, $M^{\prime}$ – притягивающая точка плотности $\rho^{\prime}$ с координатами $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$, а $M(x, y, z)$ притягиваеман точка (рис. 14).
В полярных координатах:
\[
\begin{array}{l}
x=r \sqrt{1-\mu^{2}} \cos \varphi, \quad y=r \sqrt{1-\mu^{2}} \sin \varphi, \quad z=r \mu, \\
x^{\prime}=r^{\prime} \sqrt{1-\mu^{\prime 2}} \cos \varphi^{\prime}, \quad y^{\prime}=r^{\prime} \sqrt{1-\mu^{\prime 2}} \sin \varphi^{\prime}, \quad z^{\prime}=r^{\prime} \mu^{\prime} . \\
\end{array}
\]

Отсюда
\[
\begin{array}{c}
M M^{\prime 2}=r^{2}-2 r r^{\prime} \cos \gamma+r^{\prime 2}= \\
=x^{2}+y^{2}+z^{2}-2\left(x x^{\prime}+y y^{\prime}+z z^{\prime}\right)+x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2} ; \\
\frac{1}{M M^{\prime}}=\frac{1}{r \sqrt{1-\frac{2 r^{\prime} \cos \gamma}{r}+\frac{r^{\prime 2}}{r^{2}}}}, \\
r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2} \\
r^{\prime 2}=x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2} \\
\cos \gamma=\frac{x}{r} \frac{x^{\prime}}{r^{\prime}}+\frac{y}{r} \frac{y^{\prime}}{r^{\prime}}+\frac{z}{r} \frac{z^{\prime}}{r^{\prime}} .
\end{array}
\]

Разложим функцию по возрастающим степеням $\frac{1}{r}$, коэффициентом при $\frac{1}{r^{n}}$ будет полином $H_{n}\left(x, y, z ; x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\right)$.
Должны выполняться равенства
\[
\begin{aligned}
\Delta\left(\frac{1}{M M^{\prime}}\right) & =0, \\
\Delta^{\prime}\left(\frac{1}{M M^{\prime}}\right) & =0 .
\end{aligned}
\]

В первом из них $x, y, z$ рассматриваются как переменные, а $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}-$ как фиксированные значения; во втором – наоборот.
Получим
\[
\begin{array}{c}
\Delta\left(\frac{1}{M M^{\prime}}\right)=\frac{\partial^{2} \frac{1}{M M^{\prime}}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} \frac{1}{M M^{\prime}}}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} \frac{1}{M M^{\prime}}}{\partial z^{2}}=0, \\
\Delta^{\prime}\left(\frac{1}{M M^{\prime}}\right)=\frac{\partial^{2} \frac{1}{M M^{\prime}}}{\partial x^{\prime 2}}+\frac{\partial^{2} \frac{1}{M M^{\prime}}}{\partial y^{\prime 2}}+\frac{\partial^{2} \frac{1}{M M^{\prime}}}{\partial z^{\prime 2}}=0 .
\end{array}
\]

Известно, что
\[
\frac{1}{\sqrt{1-2 \frac{r^{\prime}}{r} \cos \gamma+\frac{r^{\prime 2}}{r^{2}}}}=1+P_{1} \frac{r^{\prime}}{r}+\ldots+P_{n}\left(\frac{r^{\prime}}{r}\right)^{n}+\ldots,
\]

где $P_{n}$ – полином по $\cos \gamma$ следующего вида:
\[
A_{0} \cos ^{n} \gamma+A_{2} \cos ^{n-2} \gamma+\ldots .
\]

Заменив $\cos \gamma$ его значением, получим
\[
P_{n}=\frac{Q\left(x, y, z ; x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime} ; r, r^{\prime}\right)}{r^{n} r^{\prime n}} .
\]

Полином $Q$ представляет собой однородный полином степени $n$ по отношению к каждой из систем переменных $(x, y, z, r)$ и $\left(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}, r^{\prime}\right)$. Впрочем, он содержит переменные $r$ и $r^{\prime}$ только в четной степени, так что можно заменить $r^{2}$ и $r^{\prime 2}$ их значениями
\[
x^{2}+y^{2}+z^{2} \quad \text { и } x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2} .
\]

Получим
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{\sqrt{1-2 \frac{r^{\prime}}{r} \cos \gamma+\frac{r^{\prime 2}}{r^{2}}}} & =\sum \frac{Q_{n}^{\prime}\left(x, y, z ; x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\right)}{r^{2 n}}, \\
\frac{1}{M M^{\prime}} & =\sum \frac{Q_{n}^{\prime}}{r^{2 n+1}},
\end{aligned}
\]

где $Q_{n}^{\prime}$ – однородный полином степени $n$ по отношению к каждому из наборов переменных, $(x, y, z)$ и $\left(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\right)$, которые входят в состав полинома симметричным образом.
Как уже отмечалось,
\[
\Delta^{\prime} \frac{1}{M M^{\prime}}=0
\]

Отсюда
\[
\Delta^{\prime} \frac{Q_{n}^{\prime}}{r^{2 n+1}}=0
\]

и, поскольку $r$ не зависит от $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$, можно записать
\[
\Delta^{\prime}\left(Q^{\prime}\right)=0 .
\]

Таким образом, $Q^{\prime}$ есть сферический полином степени $n$ по отношению к переменным $(x, y, z)$ и, следовательно, к переменным $\left(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\right)$. Известно, что существует $2 p+1$ сферических полиномов порядка $p$ вида
\[
P_{p, q}=r^{p} e^{i q \varphi}\left(1-\mu^{2}\right)^{q / 2} \frac{d^{p+q}\left(1-\mu^{2}\right)^{p}}{d \mu^{p+q}},
\]

где $q$ принимает значения
\[
-p,-p+1, \ldots,-1,0,1,2, \ldots, p-1, p .
\]

Значит, можно записать
\[
Q^{\prime}=\sum P_{p, q} Q_{p, q},
\]

где $P$ есть фундаментальный полином в переменных $x, y, z$, а $Q$ полином в переменных $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$. Впрочем, $Q$ является функцией от
\[
\cos \gamma=\mu \mu^{\prime}+\sqrt{1-\mu^{2}} \sqrt{1-\mu^{\prime 2}} \cos \left(\varphi-\varphi^{\prime}\right) .
\]

Таким образом, $Q^{\prime}$ зависит только от значения разности $\varphi-\varphi^{\prime}$. Отсюда вытекает, что коэффициент при $P_{p, q}$ может быть только вида
\[
Q_{p, q}=r^{\prime p} e^{-i q \varphi}\left(1-\mu^{\prime 2}\right)^{q / 2} \frac{d^{p+q}\left(1-\mu^{\prime 2}\right)^{p}}{d \mu^{p+q}},
\]

и, следовательно, можно записать
\[
\frac{1}{M M^{\prime}}=\sum \frac{A_{p, q} P_{p, q} P_{p,-q}^{\prime}}{r^{2 p+1}}
\]

где $A_{p, q}$ — численный коэффициент, который можно легко определить.
Применение. Предположим, что величина $r$ достаточно велика по отношению к радиусу планеты. Разложим потенциал по возрастающим степеням $\frac{1}{r}$ и получим
\[
V=\sum \frac{B_{p, q} P_{p, q}}{r^{2 p+1}} .
\]

Согласно приведенному выше доказательству, чтобы определить $V$, достаточно знать значения $S, M$ и $\omega$. Эти же значения позволяют определить и $B_{p, q}$. Известно, что
\[
V=\int \frac{\rho^{\prime} d \tau}{M M^{\prime}}=\sum \frac{A_{p, q} P_{p, q}}{r^{2 p+1}} \int \rho^{\prime} P_{p,-q}^{\prime} d \tau .
\]

Отсюда
\[
B_{p, q}=A_{p, q} \int \rho^{\prime} P_{p,-q}^{\prime} d \tau^{\prime},
\]

где $P_{p, q}^{\prime}$ – один из фундаментальных сферических полиномов степени $p$. Интеграл
\[
\int \rho^{\prime} P_{p, q}^{\prime} d \tau^{\prime}
\]

вполне можно вычислить.
Рассмотрим сначала полином нулевого порядка $P_{0,0}=1$. Получим
\[
\int \rho^{\prime} d \tau^{\prime}=M
\]

Полиномы первого порядка равны $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$. Отсюда получим следующие интегралы:
\[
\int \rho^{\prime} x^{\prime} d \tau^{\prime}, \quad \int \rho^{\prime} y^{\prime} d \tau^{\prime}, \quad \int \rho^{\prime} z^{\prime} d \tau^{\prime} .
\]

Значения этих интегралов представляют собой координаты центра тяжести тела с точностью до некоторого коэффициента. Допустим, что внешняя поверхность имеет центр симметрии, и разместим начало координат в этом центре. Данные интегралы в этом случае будут равны нулю, так как равны нулю коэффициенты $\frac{x}{r^{3}}, \frac{y}{r^{3}}, \frac{z}{r^{3}}$ при членах разложения потенциала и поскольку для эквипотенциальных поверхностей начало координат выступает как центр симметрии. Центр тяжести планеты совпадает с ее центром симметрии.
Полиномы второго порядка равны
\[
x^{\prime} y^{\prime}, \quad y^{\prime} z^{\prime}, \quad z^{\prime} x^{\prime}, \quad z^{2}-x^{2}, \quad z^{2}-y^{\prime 2} .
\]

Если $\int x^{\prime} y^{\prime} \rho^{\prime} d \tau^{\prime}=0$ – так же, как и два других аналогичных интеграла, – то координатные оси являются главными осями инерции системы. Если известен интеграл $\int\left(x^{\prime 2}-y^{\prime 2}\right) \rho^{\prime} d \tau^{\prime}$, то известна и разность главных моментов инерции.

Существует соотношение между $e_{1}, r_{1}, D_{1}$ и $\omega$ : две первые величины определяются из $S, D_{1}$ – из $S$ и $M, \varphi$ – из $\omega$, значение разности $C-A$ также известно. Можно заключить, что соотношение, выведенное из уравнения Клеро, истинно, и все же внутреннее распределение материи, по-видимому, не согласуется с теоретическими заключениями ${ }^{1}$.

Соотношение между сжатием, силой притяжения и центробежной силой на экваторе. Определим первые члены разложения функции $\frac{1}{M M^{\prime}}$.
Согласно формуле бинома
\[
\frac{1}{M M^{\prime}}=\frac{1}{r}\left[1-\frac{1}{2}\left(-\frac{2 r^{\prime}}{r} \cos \gamma+\frac{r^{\prime 2}}{r^{2}}\right)+\frac{3}{8}\left(\frac{2 r^{\prime}}{r} \cos \gamma-\frac{r^{\prime 2}}{r^{2}}\right)^{2}+\ldots\right] ;
\]
${ }^{1}$ См. главу 4.

пренебрегая членами порядка $\frac{1}{r^{4}}$, получим
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{M M^{\prime}} & =\frac{1}{r}+\frac{r^{\prime} \cos \gamma}{r^{2}}+\frac{1}{r^{3}}\left[-\frac{r^{2}}{2}+\frac{3}{2} r^{\prime 2} \cos ^{2} \gamma\right] \\
\frac{1}{M M^{\prime}} & =\frac{1}{r}+\frac{1}{r^{3}}\left[x x^{\prime}+y y^{\prime}+z z^{\prime}-\frac{\left(x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}\right)}{2}\right]+ \\
& +\frac{3}{2 r^{5}}\left(x x^{\prime}+y y^{\prime}+z z^{\prime}\right)^{2}=\frac{1}{r}+\frac{1}{r^{3}}\left(x x^{\prime}+y y^{\prime}+z z^{\prime}\right)- \\
& -\frac{1}{2 r^{5}}\left[\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\left(x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}\right)-3\left(x x^{\prime}+y y^{\prime}+z z^{\prime}\right)^{2}\right] .
\end{aligned}
\]

Коэффициент при члене $-\frac{1}{2 r^{5}}$ можно записать
\[
\begin{array}{c}
-\frac{3}{2}\left(x^{2}-y^{2}\right)\left(x^{\prime 2}-y^{\prime 2}\right)-\frac{1}{2}\left(x^{2}+y^{2}-2 z^{2}\right)\left(x^{\prime 2}+y^{\prime 2}-2 z^{\prime 2}\right)- \\
-6\left(x x^{\prime} y y^{\prime}+x x^{\prime} z z^{\prime}+y y^{\prime} z z^{\prime}\right) .
\end{array}
\]

Тогда
\[
\begin{aligned}
V & =\int \frac{\rho^{\prime} d \tau^{\prime}}{M M^{\prime}}= \\
& =\int \frac{\rho^{\prime} d \tau}{r}+\sum \frac{x}{r^{3}} \int \rho^{\prime} x^{\prime} d \tau^{\prime}+\frac{3\left(x^{2}-y^{2}\right)}{4 r^{5}} \int\left(x^{\prime 2}-y^{\prime 2}\right) \rho^{\prime} d \tau^{\prime}+ \\
& +\frac{1}{4} \frac{\left(x^{2}+y^{2}-2 z^{2}\right)}{r^{5}} \int\left(x^{\prime 2}+y^{\prime 2}-2 z^{\prime 2}\right) \rho^{\prime} d \tau^{\prime}-6 \sum \frac{x y}{r^{5}} \int x^{\prime} y^{\prime} \rho^{\prime} d \tau^{\prime} .{ }^{1}
\end{aligned}
\]

Если $M$ – масса тела, $\alpha, \beta, \gamma$ координаты его центра тяжести, a $A, B, C$ – главные оси инерции, то
\[
\begin{aligned}
V=\frac{M}{r}+ & \frac{\alpha x+\beta y+\gamma z}{r^{3}}+\frac{1}{4 r^{5}}\left[3\left(x^{2}-y^{2}\right)(B-A)+\right. \\
& \left.+\left(x^{2}+y^{2}-2 z^{2}\right)(-A-B+2 C)-6 \sum \frac{x y}{r^{5}} \int x^{\prime} y^{\prime} \rho^{\prime} d \tau^{\prime}\right] .
\end{aligned}
\]
${ }^{1}$ Множитель при последнем члене в этой, а также в следующей формуле должен быть не « -6 , но « +3 »

Предположим, что поверхность является поверхностью вращения, что начало координат расположено в центре тела, ограниченного этой поверхностью, и что координатные оси совпадают с главными осями инерции. Тогда
\[
B=A
\]

и
\[
V=\frac{M}{r}+\frac{1}{2 r^{5}}\left(x^{2}+y^{2}-2 z^{2}\right)(C-A) .
\]

Вычислим значение потенциала $V$ для внешней поверхности тела, являющегося, как мы полагаем, эллипсоидом со сжатием $e_{1}$. Формула для вычисления потенциала имеет вид
\[
V=\frac{M}{r}+H Y+\sum Q Z,
\]

где $Y$ – функция
\[
\frac{x^{2}+y^{2}-2 z^{2}}{r^{2}},
\]

а $Z$ – некоторая сферическая функция, отличная от $Y$.
Коэффициенты $H$ и $Q$ должны иметь определенную форму, так как потенциал на бесконечном удалении от поверхности должен быть равен нулю. Как мы уже видели, выполннются равенства
\[
H=\frac{H_{0}}{r^{3}}, \quad Q=\frac{q_{0}}{r^{2 n+1}},
\]

где $H_{0}$ и $q_{0}$ – некоторые константы. Отсюда
\[
V=\frac{M}{r}+\frac{H_{0} Y}{r^{3}}+\sum \frac{q_{0} Z}{r^{n+1}} .
\]

На свободной поверхности
\[
\begin{array}{l}
U=V+\frac{\omega^{2}}{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)=C^{\mathrm{te}}, \\
U=V+\frac{\omega^{2}}{3} r^{2}+\frac{\omega^{2} r^{2} Y}{6}=C^{\mathrm{te}} .
\end{array}
\]

Таким образом,
\[
\frac{M}{r}+\frac{\omega^{2} r^{2}}{3}+\frac{\omega^{2} r^{2} Y}{6}+\frac{H_{0} Y}{r^{3}}+\sum \frac{q_{0} Z}{r^{n+1}}=C^{\mathrm{te}} .
\]

Положим
\[
r=r_{1}+\zeta .
\]

Как мы уже знаем (стр. 68),
\[
e_{1}=\frac{3 \zeta}{r_{1} Y}
\]

значит,
\[
r=r_{1}\left[1+\frac{e_{1} Y}{3}\right] .
\]

Так как все слагаемые, кроме первого, малы, можно пренебречь величиной $e_{1}^{2}$ и записать
\[
\frac{M}{r}=\frac{M}{r_{1}\left(1+\frac{e_{1} Y}{3}\right)}=\frac{M}{r_{1}}\left(1-\frac{e_{1} Y}{3}\right) .
\]

Таким образом, уравнение $U=C^{\text {te }}$ сводится к виду
\[
\frac{M}{r_{1}}-\frac{M e_{1} Y}{3 r_{1}}+\frac{\omega^{2} r_{1}^{2}}{3}+\frac{\omega^{2} r_{1}^{2} Y}{6}+\frac{H_{0} Y}{r_{1}^{3}}+\frac{\sum q_{0} Z}{r_{1}^{n+1}}=C^{\mathrm{te}} .
\]

Поскольку, согласно предположению, мы имеем дело с эллипсоидом, то $q_{0}=0 ;$ значит, потенциал $V$ равен
\[
\frac{M}{r}+\frac{H_{0} Y}{r^{3}} .
\]

Сравнив два значения потенциала, можно заключить, что
\[
H_{0}=\frac{C-A}{2} .
\]

Отсюда
\[
\frac{M}{r_{1}}-\left(\frac{M e_{1}}{3 r_{1}}-\frac{C-A}{2 r_{1}^{3}}\right) Y+\frac{\omega^{2} r_{1}^{2}}{3}+\frac{\omega^{2} r_{1}^{2} Y}{6}=C^{\mathrm{te}} ;
\]

можно заключить, что коэффициент при $Y$ равен нулю, и
\[
\frac{M e_{1}}{3 r_{1}}=\frac{C-A}{2 r_{1}^{3}}+\frac{\omega^{2} r_{1}^{2}}{6} .
\]

Впрочем, известно, что
\[
M=\frac{4}{3} \pi D_{1} r_{1}^{3}, \quad g_{0}=\frac{M}{r_{1}^{2}}, \quad \omega^{2} r_{1}=\varphi g_{0}=\varphi \frac{M}{r_{1}^{2}} .
\]

Отсюда
\[
\begin{array}{l}
\frac{C-A}{2 r_{1}^{3}}=g_{0} \frac{r_{1} e_{1}}{3}-\frac{\varphi g_{0} r_{1}}{6}, \\
\frac{C-A}{r_{1}^{3}}=\frac{2 r_{1} g_{0}}{3}\left(e_{1}-\frac{\varphi}{2}\right) ;
\end{array}
\]

приняв радиус Земли за единицу, можно записать
\[
C-A=\frac{2 g_{0}}{3}\left(e_{1}-\frac{\varphi}{2}\right) .
\]

Значение силы тяжести в некоторой точке поверхности. Составляющими силы тяжести являются $\frac{\partial U}{\partial x}, \frac{\partial U}{\partial y}, \frac{\partial U}{\partial z}$, и имеет место равенство
\[
g=\sqrt{\left(\frac{\partial U}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial U}{\partial y}\right)^{2}+\left(\frac{\partial U}{\partial z}\right)^{2}} .
\]

Обозначив угол между вертикалью и радиусом $O M$ через $\varepsilon$, получим выражение для составляющей силы тяжести, соответствующей этому радиусу:
\[
-\frac{\partial U}{\partial r}=g \cos \varepsilon
\]

поскольку угол $\varepsilon$ мал, произведение $g \cos \varepsilon$ почти равно единице, с точностью до некоторых величин второго порядка, и можно записать
\[
\begin{array}{c}
g=-\frac{\partial U}{\partial r} \\
g=\frac{M}{r^{2}}+3 \frac{C-A}{2} \frac{Y}{r^{4}}-\frac{2 \omega^{2} r}{3}-\frac{\omega^{2} r Y}{3} .
\end{array}
\]

Положим теперь $r=1+\zeta$. Тогда
\[
\frac{1}{r^{2}}=1-2 \zeta \text {. }
\]

Отсюда находим
\[
\begin{array}{l}
g=M-2 M \zeta+\frac{3}{2}(C-A) Y-\frac{2 \omega^{2}}{3}-\omega^{2} Y, \\
g=M(1-2 \zeta)+g_{0}\left(e_{1}-\frac{\varphi}{2}\right) Y-\frac{2 \omega^{2}}{3}-\frac{\omega^{2} Y}{3}, \\
g=g_{0}\left(1-\frac{2 e_{1} Y}{3}\right)+g_{0}\left(e_{1}-\frac{\varphi}{2}\right) Y-\frac{2 \varphi g_{0}}{3}-\frac{\varphi g_{0} Y}{3}, \\
\frac{g}{g_{0}}=1+\frac{e_{1} Y}{3}-\frac{5 \varphi}{6} Y-\frac{2 \varphi}{3}=1-\frac{2 \varphi}{3}+\frac{Y}{3}\left(e_{1}-\frac{5 \varphi}{2}\right) .
\end{array}
\]

Последнее выражение – это формула Клеро, представляющая силу тяжести в некоторой точке на поверхности планеты как функцию от широты этой точки [15].

Влияние высоты. Если наблюдатель поднимается на воздушном шаре, он легко может сделать поправку на высоту; нужно лишь заменить $r$ в формуле на $1+\zeta+h$ вместо $1+\zeta$. Однако в этом случае нет нужды делать такую поправку. Чаще необходимость в поправке на высоту возникает, когда точка находится на некоторой возвышенности и необходимо учесть силу притяжения, связанную с этой возвышенностью.
Это значит, что нужно учесть неровности поверхности, положительные либо отрицательные, но прежде следует выбрать поверхность, определяющую общий уровень данной возвышенности. Такой поверхностью является сфера диаметра $O M$ (рис. 15), где $O$ – центр сфероида, а $M$ – точка, в которой производится наблюдение. Можно вычислить силу притяжения, связанную с объемом, заключенным меж-
Рис. 15
ду двумя сферами; погрешность будет не так уж и велика, тем более, что притяжение гор очень мало. За плотность данного объема можно взять среднюю плотность горных пород у поверхности, т.е. $\frac{1}{2} D_{1}$, где $D_{1}-$ средняя плотность сфероида.

Поправка Буге. Рассмотрим однородный сферический слой толщины $h$ и плотности $\rho$. Объем этого слоя равен
\[
4 \pi r_{1}^{2} h,
\]

а его масса –
\[
4 \pi h r_{1}^{2} \rho .
\]

Поправка, вносимая в вычисление равна $4 \pi \rho h r_{1}^{2},{ }^{1}$ и имеет место равенство
\[
\frac{\delta g}{g}=\frac{4 \pi \rho h}{\frac{4}{3} \pi D_{1} r_{1}}=\frac{3 \rho h}{D_{1} r_{1}} .
\]

Построим конус, касательный к сфере, с вершиной в точке $M$, расположенной на некоторой высоте над слоем (рис. 16); линия касания разделит слой на две части, и нам
Рис. 16
известно, что силы притяжения каждой из этих частей, действующие на точку $M$, равны.

Применим эту теорему. Ранее мы рассматривали сферу диаметра $O M$ (рис. 15). Если теперь предположить, что сила притяжения объема $M R S$ состоит из сил притяжения некоторого числа однородных тонких слоев, то часть объема этих слоев, ограниченная сферой $(O M)$, будет оказывать на точку $M$ такое же действие, что и половина обьема всего слоя. Таким образом, чтобы вычислить силу притяжения, действующую на точку $M$, расположенную на высоте $h$, нужно вычислить силу притяжения окружающего сфероид слоя плотности $\rho$ и толщины $h$, а затем разделить ее пополам.
Толщина $h$ слоя может быть представлена в виде суммы
\[
h=\sum \frac{A Y}{r^{n}}
\]

потенциал такого слоя, согласно известной формуле, составит
\[
\sum \frac{4 \pi A Y}{(2 n+1) r^{n+1}} \text {. }
\]

Положим $r=1$. Тогда приращение функции $g$ имеет следующий вид:
\[
\delta g=-\frac{\partial \delta V}{\partial r}=\sum 4 A Y \pi \frac{n+1}{2 n+1}
\]
${ }^{1}$ Должно быть $4 \pi \rho h$.

и далее
\[
\frac{\delta g}{g_{0}}=\frac{3 \rho}{D_{1}}+\sum \frac{n+1}{2 n+1} A Y .
\]

Ограничившись членом $n=0$, получим
\[
\frac{\delta g}{g_{0}}=\frac{3 \rho}{D_{1}} ;
\]

половина этого значения будет являться поправкой Буге.
Таким образом, полная поправка представляет собой сумму двух слагаемых: первое связано с увеличением высоты без учета массы возвышенности, во втором эта масса учитывается. Окончательная формула имеет вид
\[
\frac{\delta g}{g_{0}}=-\frac{2 h}{r_{1}}+\frac{3}{2} \frac{\rho h}{D_{1} r_{1}} \cdot{ }^{1}
\]

Вычисляя поправку по этой формуле, находим, что она чрезвычайно мала. В общем случае значение поправки, полученное из наблюдений, для точек, расположенных над материками, меньше вычисленного по формуле. И напротив, в точках, расположенных над океанами и отдельными островами, опытное значение поправки больше вычисленного.

Кроме того, как показал Фай, не стоит учитывать ${ }^{2}$ поправку Буге для вычисления влияния масс, которые могут быть расположены под поверхностью океанов, или пустот, которые могут находиться под материками.

На поверхности океанов имеем $U=U_{0}$. Продолжая поверхность $U=U_{0}$ далее под материки, мы должны получить тело вращения, однако это не совсем так. Полученное таким образом тело называется геоидом.

Сила тяжести в точке, расположенной на поверхности геоида. Рассмотрим сферу радиуса, близкого радиусу Земли. Обозначив высоту материка, расположенного над поверхностью этой сферы, через $\zeta$, можно записать
\[
\zeta=\sum H Y
\]
${ }^{1}$ Величина, вычисляемая из последней формулы, учитывающей влияние и высоты, и внешних масс, в современной литературе называется не поправкой, а редукцией Буге.
${ }^{2}$ Поскольку поправка Буге при редуцировании на физическую поверхность Земли и так приводит к устранению промежуточного пласта вещества.

если $\zeta^{\prime}$ – высота над соответствующим эллипсоидом, то
\[
\zeta^{\prime}=\sum(H-q) Y .
\]

Расстояние между сферой и соответствующим эллипсоидом равно
\[
\zeta-\zeta^{\prime}=\sum q Y
\]

Пусть $h$ – высота точки над геоидом:
\[
h=\sum k Y \text {. }
\]

Расстояние, на которое геоид возвышается над соответствующим эллипсоидом, равно
\[
\zeta^{\prime}-h=\sum(H-q-k) Y .
\]

Значение $\zeta-\zeta^{\prime}$ сводится к сумме двух членов: того, что соответствует $Y=1$, и того, что соответствует $Y=\frac{x^{2}+y^{2}-2 z^{2}}{r^{2}}$.

На поверхности геоида имеем $U=g_{0}=$ const, а в точке, расположенной на высоте $h$,
\[
U=g_{0}+\frac{\partial U}{\partial r} h .
\]

Но
\[
-\frac{\partial U}{\partial r}=g_{0} .
\]

Отсюда
\[
\frac{U}{g_{0}}=1+\sum(H-k) Y, \quad \frac{V}{g_{0}}=1+\sum(H-k-\gamma) Y .
\]

Коэффициенты $\gamma$ известны: они соответствуют коэффициентам, входящим в разложение функции
\[
\frac{\omega^{2}}{2 g_{0}}\left(x^{2}+y^{2}\right) \text {. }
\]

Если допустить однородность тела, то
\[
\frac{V}{g_{0}}=\frac{1}{r}+\frac{\sum(H-k-\gamma) Y}{r^{n+1}},
\]

а поскольку
\[
g=-\frac{\partial V}{\partial r}
\]

в итоге получим
\[
\frac{g}{g_{0}}=\frac{1}{r^{2}}+\frac{\sum(n+1)(H-k-\gamma) Y}{r^{n+2}} .
\]

Величину $h$ получаем из геодезических измерений, операция нивелирования дает величину $\zeta$, а наблюдения маятника позволяют определить значение $g$. Теоретически, достаточно двух серий измерений для того, чтобы получить значения $\zeta, h$ и $g$. На деле же количество измерений каждой из этих величин никогда не бывает достаточным эти измерения не настолько точны, чтобы какую-либо из серий можно было счесть излишней.

До сих пор мы допускали, что поверхность геоида мало отличается от поверхности эллипсоида вращения.

В дальнейшем мы покажем, что могут существовать фигуры равновесия, отличные от эллипсоида вращения.