3.2. Тензорный фильтр Калмана

Рассмотренные процедуры винеровской фильтрации могут использоваться в прикладных задачах лишь при ограниченном числе k кадров и малых размерах сеток G и . Вместе с тем существует значительный круг задач, в которых наблюдения осуществляются непрерывно и число элементов в области  может быть сколь угодно большим. При этом построение прогноза с помощью весового суммирования всех предшествующих очередному кадру наблюдений  может потребовать неоправданных вычислительных затрат. В подобных ситуациях целесообразно наложить дополнительные ограничения на рассматриваемые модели изображений и применить эффективные рекуррентные процедуры построения оптимального прогноза.

         Одним из наименее обременительных ограничений, позволяющих найти рекуррентное решение поставленной задачи, является описание последовательности кадров мешающих изображений с помощью нелинейного тензорного стохастического разностного уравнения  (7). На основе наблюдения последовательности кадров

 ,                                            (3.8)

представляющих собой аддитивную смесь информационного СП  и белого СП помех  необходимо найти наилучшую оценку  очередного кадра информационного СП. Для поиска такой оценки воспользуемся критерием максимума среднего выигрыша [11, 20, 21] и методом инвариантного погружения [11, 20, 33]. В результате можно получить следующее правило рекуррентного оценивания СП :

                                      (3.9)

где  - оптимальный прогноз СП;  - ковариационная матрица ошибок прогноза; .

         Алгоритм (3.9) позволяет находить экстраполированные оценки СП  и ковариационные матрицы ошибок экстраполяции  рекуррентно по мере поступления наблюдений , очередных кадров СП. Для случая гауссовских СП, определяемых линейными стохастическими уравнениями при  и , процедура фильтрации - экстраполяции (3.9) вместе с алгоритмом (26) дает строго оптимальное решение задачи обнаружения многомерных сигналов на последовательности изображений. При этом область G совпадает с  (рис.1), формулы (3.9) определяют последовательность межкадровой обработки наблюдений, а при формировании логарифма отношения правдоподобия применяется весовое суммирование наблюдений  и прогноза  , очередного кадра многомерного изображения.

         Рассмотрим в качестве примера поле X с множительной корреляцией , где  – коэффициент корреляции по времени;  - коэффициент по k-ой пространственной оси;  – дисперсия поля. Тогда при t = s получаем внутрикадровые ковариации , а при t = s – 1 – межкадровые ковариации , где ;  – корреляционный тензор k-ой строки.

         В этом случае  и уравнения (3.9) принимают вид

                           (3.10)

где  – отношение сигнал/шум, а тензоры  и  нормированы дисперсией шума и представляют относительные ковариации ошибок экстраполированных и текущих оценок, выраженных в дисперсиях шума.

         Рассмотрим для иллюстрации поле с 3х2 сеткой , т.е. случай, когда кадры  состоят из шести точек:

.

При этом матрицы корреляции первой строки и второй строки имеют вид

.

Следовательно

Заметим, что матрицы ковариации ошибок  и  имеют такую же форму.

         Элементами тензоров  являются ковариации ошибок фильтрации , зависящие в данном случае только от четырех параметров, коэффициентов корреляции  и , а также отношения сигнал/шум . При ,  величины  довольно быстро сходятся к предельным . Поэтому часто можно сразу же применять предельные значения, что ухудшит результаты фильтрации только на первых шагах, но значительно сократит объем необходимых вычислений (или объем запоминающего устройства, если коэффициенты  вычисляются до эксперимента). Для иллюстрации сходимости к предельным значениям на рис. 9 приведены зависимости относительной дисперсии ошибки  оценивания центрального момента сетки  размера  от номера t шага фильтрации.

         Анализ данных зависимостей показывает, что для рассматриваемых значений параметров можно при незначительной потере в точности использовать сетки небольшого размера. При этом изображение разбивается на небольшие перекрывающиеся участки и оценка формируется для средней части каждого участка независимо от остальных.

         Весьма важно , что полученные уравнения тензорной фильтрации (3.9) могут быть легко обобщены на случай почти произвольного взаимодействия

,

информационного СП и помех [11, 20]. Кроме того, на основе модифицированного метода инвариантного погружения и рассмотренных моделей можно синтезировать рекуррентные процедуры для проверки многоальтернативных гипотез вида

,

где , - различные, вообще говоря, нелинейные тензорные функции, описывающие взаимодействие различных негауссовских СП  и помех [20].