1.1. Вероятности случайных событий

Напомним, что вероятность  произведения  случайных событий  равна произведению условных вероятностей этих событий:

.  (1.1)

         Для  независимых событий условные вероятности  появления события  равны безусловным  . Поэтому вероятность произведения  независимых событий определяется по формуле .

         Сумма  двух совместных событий может быть представлена как сумма  трех несовместных. С учетом очевидных соотношений ,  и   можно найти формулу для вероятности суммы двух совместных событий в виде

                            .                              (1.2)

Однако уже для суммы трех совместных событий  и  подобная формула будет содержать семь слагаемых. Поэтому для вычисления вероятности  суммы,  большого числа слагаемых обычно переходят к противоположному событию :

                               .                                 (1.3)

Эта формула упрощается, если события  совместны, но независимы. Тогда

                               .                                 (1.4)

         Приведенное выражение (1.4) часто встречается в расчетах надежности системы параллельно соединенных устройств. Действительно, система с параллельным соединением элементов работает безотказно, когда работает хотя бы один из ее элементов (устройств). При независимом функционировании каждого из элементов   с вероятностями безотказной работы  соответственно по формуле (1.4) находим вероятность безотказной работы всей  системы.

         Предположим теперь, что событие  может произойти одновременно с одним из несовместных событий (гипотез) , образующих полную группу. Событиями  часто являются взаимоисключающие предположения об условиях проведения эксперимента, результатом которого может быть случайное событие . Например, две гипотезы  и  можно связать с передачей сообщений «0» или «1» по каналу связи с помехами, а случайное событие  с превышением выходным напряжением приемника порогового уровня.

         В подобных схемах заданы вероятности гипотез  и условные вероятности появления события , когда справедливы предположения . Безусловную вероятность события  можно найти с помощью формулы полной вероятности:

.                    (1.5)

         Если стало известно, что в результате испытания событие  произошло, то условная вероятность гипотезы  (апостериорная вероятность гипотезы ) определяется по формуле Бaйeca:

.              (1.6)

         Возможность переоценки вероятностей гипотез после проведения эксперимента может быть показана на примере приема двоичных сигналов. Допустим, что вероятности передачи сигналов «0» и «1» одинаковы: , а вероятности превышения порогового уровня при передаче сигналов «0» и «1» значительно отличаются, скажем, . В результате наблюдения установлено превышение порогового уровня (т.е.  произошло событие ). Очевидно, предпочтение после получения такой информации следует отдать гипотезе  (передача сигнала «1»). Количественно охарактеризовать это "предпочтение" позволяет формула Байеса. Действительно, расчет по формуле (1.6) с учетом (1.5) дает следующий результат:  .

         Большую роль при анализе цифровых систем обработки сигналов играет следующая схема. Пусть  раз при постоянных условиях повторяется один и тот же опыт, с которым связано случайное событие , имеющее вероятность . При этом предполагается, что исход каждого опыта не зависит от результатов других опытов. Тогда вероятность  того, что в этой последовательности    опытов событие  появится ровно  раз (безразлично в каком порядке) находится по формуле Бернулли:

                              ,                                (1.7)

где . Правая часть формулы имеет вид общего члена разложения бинома Ньютона: . Поэтому совокупность чисел , называют биноминальным распределением вероятностей.

         Так как числа  являются вероятностями попарно несовместных событий, то вероятность  того, что число появления события  в  опытах будет заключено в пределах от  до , определяется с помощью суммирования:

                    .                       (1.8)

         На практике часто встречаются задачи, когда число испытаний  велико и вычисления по формуле Бернулли затруднены. Для этих случаев применяются приближенные методы расчета. При малых  и ограниченных значениях  используется формула Пуассона:

                          .                            (1.9)

По этой формуле для любых   легко выполняются расчеты с помощью таблиц распределения Пуассона [2, 29] или на ЭВМ.

         Если  фиксировано, а  и  стремятся к бесконечности при ограниченном отношении , то может быть использована асимптотическая формула Лапласа:

                           .                           (1.10)

Когда  не слишком близко к нулю или единице, формула (1.10) может быть достаточно точна уже при  порядка нескольких десятков. Сумма вероятностей (1.8) при этом хорошо аппроксимируется следующим выражением:

                   ,                   (1.11)

где  – функция Лапласа [1-4].

         Следует подчеркнуть, что применение приближенных асимптотических соотношений всегда должно сопровождаться контролем величины погрешности. Для этого могут использоваться точные формулы, специальные аналитические методы [2-4] или результаты экспериментов.