1.4. Функции случайных аргументов

         Задачи анализа эффективности методов обработки сигналов часто приводят к необходимости нахождения законов распределения или числовых характеристик функций от случайных величин (СВ). Характерными примерами таких функций могут служить логарифм  случайной величины , сумма    двух СВ , произведение или частное этих величин.

         В общем случае задача нахождения законов распределения функций  от случайных аргументов  может быть сформулирована следующим образом. По известной ПРВ  системы СB  и виду функционального преобразования  найти ПРВ  системы CB .

         Поставленная задача решается относительно просто, если преобразование  взаимно однозначно и дифференцируемо. В этом случае одной точке  соответствует одна точка  и наоборот:. Кроме того, существует якобиан преобразования . Заметим, что векторная запись  означает задание  скалярных функций от  аргументов каждая:.

При этом якобиан преобразования вычисляется как определитель матрицы производных:

                        .                                 

Предположим теперь, что в пространстве CB  задана некоторая –мерная область . Ее отображение в пространстве CB  обозначим через . Очевидно, два события  и  эквивалентны, поскольку все точки  являются взаимно однозначным отображением точек области . Тогда равны и вероятности этих событий, то есть . Но это означает равенство

                              .                                             

Устремим к нулю объем  области  и на основании теоремы о среднем значении интеграла [26] получим:

                         .                                 

                                  .                                  (1.36)

Поскольку предел отношения объемов областей  и  равен модулю якобиана преобразования , то:

         В качестве первого примера найдем ПРВ случайной величины , каждое значение которой получено экспоненциальным преобразованием , значения  нормальной СВ  с ПРВ . Поскольку однозначна функция , обратная по отношению к , то можно воспользоваться формулой (1.36), записанной в виде

                                .                                         

После дифференцирования  и подстановки ПPB   получим следующий результат:

                .                         

Таким образом, экспоненциальное преобразование нормальной СB приводит к логарифмически-нормальному распределению.

         Многие задачи анализа алгоритмов обработки сигналов связаны с нахождением ПРВ скалярной функции  нескольких случайных аргументов, например,  или . Для решения подобных задач на основе формулы (1.36) необходимо обеспечить взаимную однозначность преобразования . С этой целью вначале выбирается вспомогательная система СВ, например, , удовлетворяющая требованию однозначности обратного преобразования . Затем по формуле (1.36) вычисляется ПРВ  этой системы. Окончательный результат находится с помощью интегрирования

                     .                     (1.37)

Заметим, что с помощью рассмотренного подхода можно доказать основную теорему о математическом ожидании [3,11] скалярной функции  произвольного числа СВ:

        .                 

Отсюда следует, в частности, что  .

         Во многих случаях требуется найти законы распределения произведения , частного  или суммы  независимых СВ. Для решения этих задач необходимо перейти от системы СВ  к системе  или  и выполнить интегрирование по формуле (1.37). Например, ПРВ произведения  СВ запишется в виде

или

                        .                                 

Действительно, переход от системы СВ  к системе СВ  описывается следующими соотношениями:  и . Якобиан преобразования

              .                       

         Несмотря на внешнюю простоту приведенных формул, их практическое применение требует определенного внимания и аккуратности при вычислениях. Найдем, например, ПРВ произведения двух независимых СВ,  равномерно  распределенных на отрезках , т.е. . Для этого перейдем к системе СВ . Совместная ПРВ этой системы запишется в виде . Область   (рис.1.1),  в  которой  , является отображением , квадрата   .

         Для нахождения ПРВ произведения  теперь уже нетрудно проинтегрировать  по переменной . Если   то

             .                      

Если же , то . Таким образом, ПРВ произведения двух независимых СВ с равномерными распределениями запишется в виде .

         При нахождении закона распределения суммы  СВ можно вначале перейти к системе . Обратное преобразование  однозначно, причем якобиан этого преобразования

.

Pиc.1.1. Области значений переменных с отличными от нуля ПРВ  и

Поэтому  и ПРВ суммы находится по формуле . Если слагаемые  и  независимы, то  ПРВ их суммы представляет собой свертку ПРВ  и  слагаемых:

                          .                           (1.38)

Анализ этого выражения наводит на мысль, что для вычисления интеграла свертки было бы удобно использовать преобразование Фурье. Тогда преобразование Фурье ПРВ суммы случайных величин может быть найдено как произведение преобразований Фурье ПРВ слагаемых.

         Преобразование Фурье ПРВ  называется характеристической функцией случайной величины :

                                    ,                                   (1.39)

где  . Обратное преобразование запишется в виде 

                                 .                                                                     

         Следующие два свойства обусловливают широкое применение характеристических функций для вероятностных расчетов. Во-первых, характеристическая функция суммы независимых СВ равна произведению характеристических функций слагаемых. Во-вторых, как следует из дифференцирования (1.39) по переменной    в точке , начальные моменты СВ связаны с характеристической функцией следующим соотношением [3]:

                             .                             (1.40)

Найдем с помощью характеристических функций закон распределения суммы n независимых нормальных СВ с . Вначале по формуле (1.39) определим характеристическую функцию  нормальной СВ с ПРВ .  После этого найдем характеристи-ческую функцию   суммы  . Для нахождения ПРВ   достаточно вычислить интеграл обратного преобразования Фypьe. Но сравнивая  с , убеждаемся, что  – характеристическая функция нормальной СВ с математическим ожиданием  и дисперсией . Таким образом, сумма нормальных СВ также является нормальной СВ. Заметим, что установленное свойство выделяет нормальные СВ среди остальных. Более того, используя рассмотренный аппарат характеристических функций, можно доказать, что сумма негауссовских, одинаково распределенных независимых СВ сходится по мере роста числа слагаемых к нормальной СВ. Этот результат существенным образом развивается в известных доказательствах центральной предельной теopемы теории веpоятностей [2, 3], устанавливающей сходимость сумм СВ к нормальной СB.