§ 5. Производящие функции

Пусть последовательность. Этой последовательности поставим в соответствие ряд по целым степеням

Предположим, что всегда существует неотрицательное а, для которого и в этом случае всякой последовательности однозначно соответствует ряд по целым степеням который является голоморфной функцией в области

Соответствие между в этом случае взаимно однозначно. Функция называется производящей функцией последовательности Последовательность представляет собой функцию от Обозначим ее через и будем говорить, что между совокупностями существует взаимно однозначное соответствие.

Вводятся также производящие функции другого типа, называемые экспоненциальными производящими функциями:

которыми в некоторых случаях пользоваться более удобно. Между в области также существует взаимно однозначное соответствие.

Производящие функции (5.1) и (5.2) допускают следующее обобщение:

Нужно, чтобы соответствие было взаимно однозначно, что приводит к условию линейной независимости всех

ФУНКЦИЙ

Важен следующий частный случай:

Дальше будут рассматриваться также производящие функции других типов.

Понятие производящей функции можно распространить на случай функций многих переменных. Последовательности т. е. функции можно поставить в соответствие такую производящую функцию:

или более общую:

Используется также симметрическая форма, получаемая из (5.6):