А3. Кольцо классов вычетов по модулю n

Рассмотрим множество на котором заданы два закона композиции и удовлетворяющих следующим свойствам.

1) Для всех

Итак, множество относительно закона композиции образует коммутативную группу.

2) Для всех

закон композиции ассоциативен.

3) Для всех

Множество с законами композиции , для которых выполняются вышеуказанные условия, называется кольцом.

Законы композиции и о обозначают также через первый называют законом сложения, а второй — законом умно жения. Кольцо часто обозначают через

Пример кольца приведен на рис. 518.

Для кольца выполняются следующие свойства.

1) Можно определить вычитание как закон композиции, обратный сложению но, относительно вычитания кольцо не является группой. Имеем также

Разность обозначается

2) Умножение дистрибутивно относительно вычитания:

3) Имеем

Рис. 518

4) Можно использовать запись:

5) Кольцо называют коммутативным, если

Характеристика кольца. Обозначим через

сумму элементов кольца, каждый из которых равен при

Пусть нейтральный элемент относительно закона о. Наименьшее целое положительное для которого

называется характеристикой кольца. Если такого не существует, то говорят, что кольцо имеет характеристику нуль.

Для коммутативных колец характеристики про имеем

и, если существует единица

Отсюда получаем

Кольцо классов вычетов по модулю n. Рассмотрим отношение эквивалентности, или сравнимости, на множестве определяемое следующим образом.

Пусть Два числа а и называют сравнимыми по модулю если их разность делится на е. они дают один и тот же остаток при делении на

Отсюда

Записывают

Например,

Все числа вида где образуют класс, называемый классом вычетов.

Следовательно, имеем классов вычетов. Фактор-множество где рассматриваемое отношение эквивалентности по модулю обозначаетсячерез Его элементы:

Например, при имеем

Классы можно обозначать произвольно. Например,

Обычно их обозначают по наименьшему положительному их представителю: Вводя сложение и умножение по модулю можно проверить, что для любого множество классов вычетов по модулю образует коммутативное кольцо.

Примеры. Рассмотрим множество классов вычетов по модулю 5; имеем

Приведем кольца (рис. 519-523).

Основные свойства кольца Z/n. 1) Характеристика кольца равна Например, для имеем (см. рис. 521)

(кликните для просмотра скана)

2) Нейтральный элемент относительно умножения для кольца где простое, равен Это следует из теоремы Ферма: для всех простое число, имеем

3) Обратимым элементом кольца называют элемент а, для которого

Например (см. рис. 518—522),

УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)