§ 6. Сведения о конечноразностных операторах

В исчислении конечных разностей вводится ряд основных операторов. Оператор можно рассматривать как символ, который ставится перед функцией для указания некоторого способа получения новой функции. Основными операторами, используемыми в теории конечных разностей, являются

В данной книге операторы будут рассматриваться только при хотя в начале этого параграфа величина положительного числа не фиксируется.

Если один оператор действует на некоторую функцию, а второй оператор — на результат действия первого, то можно образовать композицию этих операторов, записывая последующий оператор слева от предыдущего. Легко доказать, что порядок применения операторов и к не играет роли.

Например,

Следовательно, можно записать

Если оператор действует раз, то это обозначают Таким образом,

Оператор с показателем 0 означает тождественный оператор 1, который будет отождествляться с числом ; например,

Операторы и к удовлетворяют следующим двум основным экспоненциальным законам:

Сумма (разность) двух операторов, действующих на некоторую функцию, определяется как сумма (разность) функций, получающихся при применении каждого оператора к этой функции; например.

Опишем алгебру операторов Мы будем говорить, что два оператора равны, если в применении к одной и той же функции они дают один и тот же результат, например

Рассмотрим множество конечноразностных операторов Если к С принадлежат О, то

Таким образом, над операторами можно производить действия по законам алгебры действительных чисел с тем исключением, что отсутствуют операторы, обратные к по умножению.

Например,

Операторы удовлетворяют следующим основным условиям:

Отсюда следует, что можно принять

Имеем также

или

Иногда используется оператор определяемый следующим образом:

Отсюда

Не следует смешивать

при

Оператор примененный к произведению двух функций дает знаменитую формулу Лейбница:

При выводе формулы Лейбница часто используется символическое разложение, очевидное при рассмотрении второго члена (6.29):

Достаточно затем заменить на на Этот метод символического разложения получит дальнейшее развитие в последующем изложении.

С точки зрения дальнейших приложений интересно уточнить некоторые результаты. Пусть

Имеем

Можно положить

Используя оператор имеем

Условимся вместо писать в биномиальном разложении, что символически обозначим

тогда

Выпишем теперь

и полагаем

Без труда можно получить рекуррентную формулу:

Таблица 6.1 дает числа для

Укажем еще один важный результат, касающийся Имеем

Это — общая формула для чисел

В следующем параграфе мы изучим вопрос о том, как использовать некоторые определенные выше операторы при вычислении различных производящих функций.

Таблица 6.1 (см. скан) Таблица чисел

УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)