А4. Поля Галуа

Прежде чем перейти к свойствам полей Галуа, напомним понятие поля.

Полем называется кольцо, которое обладает нейтральным элементом относительно умножения и для любого не равного нулю элемента которого существует обратный элемент относительно умножения. Другое определение, кольцо есть поле, если все его элементы, отличные нуля, образуют мультипликативную группу. Исходя из одного из этих определений, можно определить поле непосредственно. Элементы поля удовлетворяют следующим аксиомам.

а) Существует аддитивная коммутативная группа а именно: для всех,

Существует мультипликативная группа где такая, что для всех

Умножение дистрибутивно слева и справа по отношению к сложению:

Если мультипликативная группа коммутативна, т. е.

то поле называется коммутативным и обозначается Например, множество с законами композиции как на рис. 524, образует поле.

Рис. 524

Множества (рациональных чисел), (действительных чисел), С (комплексных чисел) образуют (коммутативные) поля относительно обычного сложения и умножения.

Характеристика поля. Характеристика поля - это характеристика соответствующего ему кольца Характеристика поля может быть как нулевой (как в случае , так и

положительной, в последнем случае она необходимо будет простым числом. Действительно, если

то

т. е.

что невозможно, так как поле не имеет собственных делителей нуля. Очевидно, что кольцо простое) есть коммутативное поле характеристики

Рис. 525

Рис. 526

Поля Галуа характеристики p. Коммутативное поле простое) является полем Галуа характеристики е. оно является кольцом классов вычетов по простому модулю.

Рис. 527

На рис 525—527 представлены поля Галуа характеристик 2, 3, 5 соответственно.

В дальнейшем мы будем интересоваться исключительно полем Галуа с характеристикой 2, которое называют часто «алгеброй по модулю 2».

УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)