1 ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ГРУПП

Ф. Гюрши

(Лекции, прочитанные в 1963 г. в Летней школе теоретической физики при Гренобльском университете, Лезуш,

Франция)

ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Хорошо известно соотношение между законами сохранения и принципами инвариантности, связанными с определенными группами. Например, сохранение энергии связано с инвариантностью относительно группы трансляций вдоль оси времени, что в свою очередь описывает некоторое свойство однородности пространственно-временного континуума. В общем римановом пространстве-времени все еще могут существовать симметрии и сзойства однородности, такие, как изотропность, что значительно упрощает проблему адекватного описания геометрии Вселенной. Это будет иметь место в случае пространств, допускающих непрерывную группу движений. Дискретные группы симметрии возникнут при изучении таких преобразований, как четность, обращение времени или зарядовое сопряжение, когда в искривленном пространстве-времени будут описываться комплексные поля. Конечные группы появятся также под видом фундаментальных групп при рассмотрении топологии многосвязных пространственно-временных многообразий. Различные типы гравитационного излучения, или типы пространств с исчезающим тензором Риччи, лучше всего классифицировать, согласно их свойствам симметрии.

Существует также проблема другого типа, объединяющая общую теорию относительности с остальной физикой. В настоящее время мы привыкли связывать частицы с неприводимыми представлениями группы Пуанкаре (неоднородной группы Лоренца). Что произойдет с понятием „частица" в римановом пространстве-времени, в котором группа Пуанкаре всегда имеет только локальный смысл, если это пространство допускает глобальную группу движений, отличающуюся по своей структуре от группы Лоренца? Как мы будем описывать взаимодействующие поля в этом случае?

Подобных примеров, вероятно, достаточно для иллюстрации того факта, что теория групп имеет отношение к общей теории относительности в той же мере, как и к теории элементарных частиц. Поэтому мы начнем с обзора некоторых общих свойств абстрактных групп и групп Ли, а затем изучим некоторые специальные группы,

такие, как группа вращений, группа Лоренца и группа де Ситтера. Наконец, мы немного поговорим о римановых пространствах, допускающих группы движений.

Затруднения в теории групп имеют главным образом семантическую природу. Формализм теории сравнительно прост, но некоторую трудность вызывает нагромождение специальных терминов, не всегда в достаточной степени очевидных и легко приводящих к путанице. Единственное, что можно посоветовать читателю, это пользоваться своим собственным словарем до тех пор, пока многие, теоремы, звучащие таинственно, не станут казаться тривиальными.