§ 5. НЕКОТОРЫЕ ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ, СВЯЗАННЫЕ С ОБЩЕЙ ТЕОРИЕЙ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

В этом параграфе мы будем иметь дело главным образом с представлениями четырехмерной группы вращений которая является группой движений трехмерного пространства постоянной положительной кривизны (статического пространства Эйнштейна), а также с однородной группой Лоренца, являющейся группой лоренц-инвариантных космологий (подобно вселенной Милна), и с группой де Ситтера, -параметрической группой движений пространства-времени постоянной кривизны — максимальной непрерывной группой симметрии, которую может допускать риманово пространство-время. По вопро сам, связанным с неоднородной группой Лоренца (группой Пуанкаре) с отражениями или без них, читателю могут быть рекомендованы лекции профессора Вигнера в трудах Стамбульской летней школы 1962 г. Мы не имеем возможности рассматривать здесь эту группу, но мы сможем упомянуть о ней как о пределе группы де Ситтера при стремлении кривизны к нулю.

Группа интересна с двух точек зрения. Во-первых, она описывает симметрию статического пространства Эйнштейна в общей теории относительности. Во-вторых, есть группа движений группового пространства группы Отсюда следует, что изучение группы позволит понять свойства симметрии некоторого специального группового многообразия, именно топологического пространства, образуемого группой

Мы начнем с установления коммутационных соотношений для кольца Ли -мерной действительной ортогональной группы.

Группа On

Мы будем иметь дело лишь с группой той частью -мерной ортогональной группы, которая может быть непрерывно деформирована в единицу. Рассматриваемая как группа преобразований действительного -мерного векторного пространства группа состоит из всех ортогональных -матриц с детерминантом, равным единице. Выполняется равенство

и матрицу Q можно следующим образом выразить через антисимметричную матрицу:

Отсюда следует, что группа имеет параметров. Для инфи-нитезимальных преобразований матрица мала, и мы имеем

где — вектор-строка в -мерном пространстве представления. Последнее соотношение можно переписать как

и инфинитезимальные генераторы имеют вид

Достаточно использовать это специальное представление для получения следующих коммутационных соотношений, которые можно было бы получить непосредственно из корневой диаграммы для кольца Ли:

где индексы изменяются от 1 до n и операторы антисимметричны.

Группа четырехмерных вращений O4

Введем обозначения

для шести генераторов кольца Ли группы Коммутационные соотношения (5.4) при принимают вид

где теперь все индексы изменяются от 1 до 3.

Пространство постоянной положительной кривизны, в котором действует группа, может быть погружено в плоское четырехмерное пространство, где оно принимает вид трехмерной поверхности гиперсферы радиуса R, уравнение которой

Таким же образом, как и для группы это пространство может быть параметризовано при помощи трех координат стереографической проекции. Это соответствует отображению пространства Эйнштейна на трехмерное евклидово пространство. Имеют место соотношения

Линейный элемент в этом пространстве есть

На основании корневой диаграммы группы мы уже знаем, что она должна быть прямым произведением двух трехмерных групп вращений. Это можно обнаружить немедленно, если ввести шесть новых генераторов К и L с помощью соотношений

В этом базисе алгебра Ли принимает вид

откуда видно, что группа распадается на прямую сумму двух групп вращений.

Интегральную форму этого преобразования можно легко найти, заметив, что унитарная 2 X -матрица, определяемая выражением (5.8), остается унитарной, если ее умножить справа или слева на унитарную матрицу. Эти два рода преобразований коммутируют друг с другом, и каждый из них связан с отдельной группой Таким образом, мы имеем

где — набор шести действительных параметров.

Это линейное преобразование, действующее на индуцирует проективное преобразование трех координат задаваемое равенством

Преобразования называются соответственно левой и правой трансляциями Клиффорда.

Преобразование есть вращение, так как

С другой стороны, преобразование дает в пределе больших

так что преобразования могут рассматриваться как смещения, заменяющие трансляции евклидова пространства. Однако в отличие от евклидовых трансляций эти преобразования не образуют группы и два таких преобразования не коммутируют.

В общем случае всегда можно написать

и характеризовать элементы группы вращениями-смещениями вместо клиффордовых трансляций . Отметим, что левая (правая) клиффордова трансляция состоит из вращения с последующим смещением, т. е. имеем левое (правое) винтовое движение, что следует из разложения

Генераторами бесконечно малых преобразований являются операторы М, представляющие собой операторы момента количества движения, в то время как те из преобразований которые не коммутируют, являются операторами смещения

поскольку

    (5.19)

В пределе операторы II коммутируют и представляют собой операторы импульса в трехмерном евклидовом пространстве. Отсюда следует, что в пространстве Эйнштейна должны использоваться некоммутируюшие операторы импульса, если хотят определить импульсы глобально, а не только в плоском касательном пространстве в данной точке искривленного пространства.

Операторы Казимира для группы O4

Используя данное ранее определение оператора Казимира, находим с точностью до постоянного множителя

Так как К и L — операторы группы вращений, то их собственные значения равны соответственно

где k и I — положительные полуцелые числа. Собственные значения оператора Казимира даются формулой

Существует другой оператор, коммутирующий со всеми элементами кольца Ли группы именно

с собственными значениями

Вследствие леммы Шура оба оператора характеризуют неприводимые представления. Отсюда следует, что неприводимое представление может быть задано парой чисел , где

Унитарные представления будут иметь вид

где матрицы — определенные выше матрицы унитарных представлений группы вращений.

Из предыдущего анализа также следует, что универсальная накрывающая группы есть группа

Однородная группа Лоренца

Рассмотрим теперь непрерывные линейные преобразования с единичным детерминантом и гомотопные тождественному преобразованию, которые оставляют инвариантной форму

Вели мы положим

то группа Л превратится в Но если произвести соответствующие преобразования в матрицах то обнаружится, что эти матрицы уже больше не унитарны. Причина этого заключается в том, что группа не компактна и поэтому больше не существует конечномерной матрицы, которая преобразовывала бы данную конечномерную матрицу в унитарную. Следовательно, мы должны строить унитарные представления в надлежащем гильбертовом пространстве. Для решения этой задачи будет использоваться бесконечномерное приводимое представление группы

Изучим прежде всего структуру группы на конечном -мерном представлении. Определим эрмитовы -матрицы

Линейное преобразование

где L — комплексная -матрица, подчиняющаяся ограничению

которая оставляет форму (5.26) инвариантной и не изменяет эрмитового характера матрицы (5.27). Вычисляя детерминант от обеих частей равенства (5.28), находим

В случае преобразования, гомотопного тождественному преобразованию, каноническая форма матрицы L имеет вид

    (5.30)

Тот факт, что L всегда можно записать как произведение эрмитовой матрицы на унитарную, может быть доказан следующим образом. Пусть по определению так как

то отсюда следует, что матрица внутри фигурных скобок унитарна и имеет детерминант 1, так что можно положить

Таким образом, равенство (5.30) доказано. Физический смысл этого разложения хорошо Лоренцево преобразование L записано в виде произведения собственно лоренцева преобразования и и пространственного вращения

Из (5.28) видно, что две матрицы:

соответствуют одному и тому же преобразованию Лоренца. Можно установить следующее.

Группа унимодулярных комплексных матриц, соответствующая специальной двумерной комплексной линейной группе гомоморфно отображается на однородную группу Лоренца. Это соответствие дву-однозначно, так что матрица L в (5.30) осуществляет двузначное представление. Центр группы состоит из матриц Отсюда

Так как просто связна, то это есть универсальная накрывающая группы .

Специальное представление (5.30), конечное и неунитарное, получается из представления

группы подстановкой

С каждым неприводимым унитарным представлением группы можно при помощи того же соответствия связать неунитарное конечное представление группы , так что

будет неприводимым представлением группы .

Коммутационные соотношения для группы находятся введением генераторов А бесконечно малых преобразований, соответствующих параметрам а. Тогда связь с группой задается равенством

и алгебра Ли получается немедленно из (5.6). Коммутационные соотношения имеют вид

так что при переходе к группе лишь изменяется знак последнего соотношения.

Представление Майораны однородной группы Лоренца

Бесконечные унитарные представления группы Лоренца полностью рассмотрены в книге Наймарка [47], посвященной исключительно

группе Лоренца. Здесь мы ограничимся только одним примером, представляющим собой первое унитарное представление группы А, данное Майораной.

Мы будем использовать гильбертово пространство с векторами , отделяемыми для группы вращений выражением (4.58). Рассмотрим теперь представление Дирака для у-матриц

где - два набора коммутирующих -матриц группы вращений, причем матрицы диагональны, а - чисто мнимы.

Каждому элементу группы Лоренца мы ставим в соответствие матрицу в гильбертовом пространстве, определяемую как

где А и М — эрмитовы операторы, подчиняющиеся соотношениям (5.35). Чтобы найти явные выражения для операторов А и М, введем оператор-столбец

и сопряженную ему величину

Тогда М к А будут бесконечными эрмитовыми матрицами, определяемыми как

Это делает матрицу в (5.37) унитарной. В представлении (5.36)

Матрицы M имеют те же самые матричные элементы, что и операторы J для группы вращений. Определим теперь матричные

элементы оператора А. Используя (4.60), находим

так что единственными неисчезающими матричными элементами оператора А будут

Необходимо отметить, что вектор остающийся инвариантным относительно вращений, будет изменяться под действием собственно лорендевых преобразований, соответствующих .

Операторы Казимира для группы Лоренца

Операторы Казимира теперь имеют вид

По вопросу о том, какие возможны собственные значения у операторов мы отсылаем читателя к лекциям Паули [48] и к работе Наймарка [47]. Здесь мы просто приведем результаты, а) Если , то имеет место

где минимальное значение J. Здесь есть собственное значение оператора Значение определяется из

где

а А есть оператор, для которого . В этом случае

б) Если то мы опять имеем

в) Если то . В этом случае либо

где или и - действительное число, либо где

Группа де Ситтера

Группа де Ситтера есть группа движений, которую допускает космологическое пространство с линейным элементом

где

Здесь мы будем рассматривать только случай положительной пространственной кривизны.

Это пространство может быть погружено в пятимерное пространство-время, где оно приобретает вид четырехмерной поверхности сферы радиуса R. Координаты являются стереографическими проекциями координат сферы, подчиняющихся уравнению

Координаты связаны с соотношением

где латинские индексы изменяются от 1 до 5, а греческие индексы — от 1 до 4. Матрицы пять антикоммутирующих эрмитовых матриц алгебры Дирака

Тогда для линейного элемента получаем

    (5.49)

Ясно, что интервал (5.49) инвариантен относительно линейных преобразований координат по пятимерной -параметрической группе вращений. Если надлежащим образом приняты во внимание условия вещественности, то это будет группа де Ситтера.

Сразу же можно найти -матричное представление, записав

это дает

так что матрица

    (5.51)

осуществляет двузначное представление группы де Ситтера. Это есть однозначное представление подгруппы унимодулярной комплексной четырехмерной линейной группы. Матрицы 5 подчиняются ограничениям

снижающим число свободных параметров до 10. Представление (5.51) не унитарно, так как параметры, мнимы.

При условии

преобразование с этими параметрами дает

и при больших R получаем

так что преобразование (5.54) есть смещение, являющееся эквивалентом преобразования пространства де Ситтера. При больших R группа становится похожей на неоднородную группу Лоренца. Это

можно ясно увидеть из коммутационных соотношений. Пятимерная группа вращений, будучи разделена на генераторы, соответствующие параметрам и генераторы, соответствующие параметрам подчиняется соотношениям

и

где

При

где — оператор -импульса, соответствующий пространственно-временным трансляциям, и мы получаем алгебру Ли неоднородной группы Лоренца.

Определим Р как

Представлению кольца Ли группы де Ситтера принадлежат пятимерные операторы момента количества движения

Теперь можно выразить только через стереографические координаты Находим

где

а функция задается равенством (5.45).

Закон преобразования общего момента количества движения можно записать в компактной форме, вводя матрицы

Тогда закон преобразования под действием (5.50) будет иметь вид

где S — трансформационная матрица (5.51). Таким образом, при преобразовании де Ситтера операторы П (являющиеся аналогом импульса в пространстве Минковского) перемешиваются с операторами момента. Это перемешивание вызывается только преобразованиями смещения, являющимися аналогами трансляций.

Операторы Казимира

Мы имеем два оператора Казимира, именно

и

где

    (5.66)

Если определить и выражениями

    (5.67)

то получим

По отношению к группе Лоренца есть -вектор, — псевдоскаляр. Они перемешиваются операторами смещения группы де Ситтера.

В пределе операторы Казимира приобретают вид

где и s — соответственно масса покоя и спин, характеризующие представление, так что переходят в операторы Казимира неоднородной группы Лоренца.

Представления группы де Ситтера могут характеризоваться собственными значениями операторов являющимися обобщениями массы и спина. Поэтому частица во вселенной де Ситтера будет обладать не определенной массой и определенным спином, а определенными собственными значениями операторов Например, является комбинацией обычной массы и момента количества движения.

Обобщение уравнения Дирака на пространство де Ситтера

Вернемся теперь к теории поля спина 1/2. -матричное представление кольца Ли группы де Ситтера осуществляется при помощи

10 матриц

так что мы имеем представление

В стереографической проекции

где — полный момент количества движения, соответствующий смещениям в группе де Ситтера. Так как это представление совпадает с представлением спина неоднородной группы Лоренца в пределе то мы назовем его представлением спина группы де Ситтера. Отметим, что во вселенной де Ситтера импульс содержит также спиновую часть.

Обобщенное уравнение Дирака должно быть линейным по импульсам, которые здесь заменяются операторами момента Отсюда следует, что уравнение должно иметь вид -

Это уравнение было предложено Дираком в 1935 г. Оператор L не является эрмитовым, так что нельзя ожидать, чтобы константа представляла массу. Чтобы отделить ее мнимую часть, используем некоторые тождественные преобразования. Мы можем написать

где

Выражение (5.75) также можно представить в виде

Если теперь ввести матрицу-столбец определяемую как

то уравнение (5.74) примет вид

Теперь, поскольку оператор эрмитов, мы должны получить

С другой стороны, введя новые матрицы Дирака

можно переписать (5.72) в виде

При из (5.78) видно, что

так что уравнение (5.81) в этом пределе переходит в обычное уравнение Дирака. Отметим, что (5.81) есть как раз та форма, которую уравнение Дирака принимает в конформно плоской вселенной, задаваемой метрикой (5.44). Таким образом, уравнение (5.81) есть общерелятивистская форма уравнения Дирака. Мы показали, что оно эквивалентно теоретико-групповой форме уравнения Дирака (5.74), которая теперь может быть переписана в виде

Инвариантность уравнения относительно -параметрической группы де Ситтера в этой форме очевидна, в то время как в релятивистской форме (5.81) она замаскирована. Причина заключается в том, что имеет простые трансформационные свойства:

в то время как вследствие преобразования (5.78) величины не обладают подобными простыми трансформационными свойствами относительно группы де Ситтера.

Нейтринный случай

Рассмотрим случай при этом уравнение (5.82) принимает вид

В форме (5.81) это соответствует уравнению

которое инвариантно относительно преобразования

Отсюда вытекает, что уравнение (5.83) инвариантно относительно преобразования

где мы использовали для V выражение (5.76). Таким образом, оператор ведет себя при действии на подобно оператору

Отсюда вытекает, что мы можем разложить на правовинтовое поле, определяемое как

и на левовинтовое поле

Каждое из них в отдельности удовлетворяет уравнению (5.83), так что в пространстве де Ситтера мы имеем эквивалент обычным двухкомпонентным нейтрино.

Однако если пространство де Ситтера задано глобально уравнением псевдосферы

то это пространство инвариантно относительно дискретной группы

Это эквивалентно преобразованию

Под действием этой группы

Отметим, что этот принцип инвариантности специфичен для пространства де Ситтера, так как преобразование (5.89) не имеет аналога в пространстве-времени Минковского, когда

Если пространство де Ситтера допускает симметрию (5.89), то должны существовать -компонентные нейтрино, так как условие

не инвариантно относительно группы (5.89).

Известно, что электронное нейтрино и мюонное нейтрино

можно рассматривать как одно -компонентное нейтрино, если положить

так что оба нейтрино являются левовинтовыми. Тогда дискретная группа (5.89) в пространстве де Ситтера индуцирует преобразования

Однако пространство де Ситтера с метрикой (5.37) могло бы иметь топологию дважды связной гиперсферы, т. е. быть похожим скорее на групповое пространство группы чем группы Тогда группа (5.89) в подобной вселенной не существовала бы и также не существовало бы левовинтового нейтрино. Этот пример показывает, как топология вселенной в большом может проявить себя в физике элементарных частиц.

Другой момент, который мы хотели бы подчеркнуть, это то, что вся концепция элементарных частиц зависит от существования и структуры группы движений. Мы характеризуем частицы их массами и спинами, которые являются собственными значениями операторов Казимира неоднородной группы Лоренца, справедливой только в плоском пространстве-времени. Однако в данных космологических обстоятельствах группой движений, имеющей более чем локальное значение, уже больше не является группа Лоренца. В расширяющейся вселенной группа де Ситтера представляет собой лучшее приближение к группе движений, которую допускает вселенная в целом, чем неоднородная группа Лоренца. Отсюда следует, что если мы хотим отождествить частицу в какой-либо далекой галактике с частицей в нашей солнечной системе, то представляется более естественным использовать для описания таких частиц представления группы де Ситтера таким образом, чтобы собственные значения операторов Казимира для этих частиц заметно не изменялись при применении к ним операторов очень больших конечных смещений де Ситтера.