§ 3. ГРУППЫ ЛИ. ОБЩИЕ СВОЙСТВА

Топологические группы. Группы Ли

Рассмотрим теперь случай бесконечных групп, для элементов которых заданы геометрические свойства, такие, как близость, сепарабельность и т. д. Короче говоря, мы наделяем множество элементов группы О топологией. Это значит, что мы определяем такую систему подмножеств О, что каждый элемент О содержится по крайней мере в одном из этих подмножеств; в этой системе имеется также пустое множество и само множество О; пересечение (множество общих элементов) двух подмножеств и их объединение также содержится в этой системе подмножеств. Тогда мы говорим, что О есть топологическое пространство, а элементы О называются точками этого пространства.

Однако множество О обладает также свойствами группы; это означает, что любым двум его элементам поставлен в соответствие третий элемент, являющийся их произведением. Таким образом, с любыми двумя точками а и b множества G мы связываем некоторую другую точку b). Если фиксировать точку а, то каждой точке b будет соответствовать точка . Каждой точке b соответствует

также другая точка, являющаяся ее обращением. Если эти отображения множества G на себя, индуцируемые групповыми операциями, являются непрерывными, то говорят, что множество G образует топологическую группу. Таким образом, множество G обладает структурой двух родов: геометрической структурой, превращающей его в топологическое пространство, и групповой структурой, индуцирующей непрерывные отображения множества G на самое себя.

Топологические группы будут обладать топологическими свойствами как в малом (свойства в окрестности точки), так и в большом (компактность, связность, свойства, которыми обладают римановы поверхности, и т. д.). Все это геометрические свойства группового пространства.

К простейшему виду топологических групп относятся те, которые локально обладают свойствами -мерного евклидова пространства , так что окрестность точки может быть непрерывно и одно-однозначно отображена (гомеоморфное отображение) в окрестность точки пространства . Такое топологическое пространство носит название -мерного многообразия. Например, риманово пространство есть многообразие. Топологическая группа, являющаяся многообразием, называется группой Ли.

Можно показать (это сделали фон Нейман, Понтрягин, Монтгомери и др.), что отображения, индуцированные групповыми операциями, являются дифференцируемыми и аналитическими. Таким образом, также установлено, что группа Ли есть топологическая группа, пространство элементов которой является аналитическим Многообразием.

Группа Ли как группа преобразований

Рассмотрим группу непрерывных дифференцируемых преобразований координат -мерного пространства, зависящих от параметров Тогда каждое преобразование Т определяется множеством которое может быть изображено точкой пространства . Пространство локально обладает евклидовыми свойствами-, так что это есть многообразие. Отсюда вытекает, что многообразие, образуемое всеми возможными преобразованиями Т, есть группа Ли, а соответствующее пространство носит название группового, или параметрического пространства. Мы можем также ввести на многообразии метрику, так что будут определены такие метрические свойства, как расстояние между соседними точками и элемент объема вокруг точки. Тогда для группы Ли групповое пространство становится по существу римановым пространством в котором заданы определен аналитические отображения.

Пример. Рассмотрим следующие группы преобразований одномерного пространства:

Имеем Таким образом, групповые свойства операторов Та установлены. С другой стороны, мы можем изобразить каждое преобразование Та как геометрическую точку на прямой, являющейся одномерным евклидовым многообразием. При этом преобразование Та будет изображаться точкой, имеющей координату а по отношению к началу координат, которое будет изображать единичный элемент (или нулевой элемент, так как группа абелева), обозначаемый нами через Если то функция, осуществляющая отображение, будет аналитической функцией от а и b Следующий пример представляет собой масштабное преобразование:

Групповое пространство есть полупрямая, из которой исключена начальная точка.

Теперь возьмем группу одномерных вращений в двумерном пространстве

так что

В этом случае точки (I — целое число) должны быть отождествлены, так как

Таким образом, групповое пространство есть окружность. Это - одномерное риманово пространство, имеющее евклидовы свойства в малом, но не в большом. Длина кривой конечна. Это пример компактной группы.

В качестве другого примера возьмем группу вращений в трех измерениях.

Параметрами, характеризующими вращение, выберем компоненты вектора, направление которого является осью вращения, а длина равна где — угол вращения. Таким образом, если

компоненты этого вектора, а 0 и Ф — полярные углы оси вращения, то

так что

Так как то . Таким образом, соотношение

представляет все вращения в виде точек внутри сферы единичного радиуса. Далее, диаметрально противоположные точки этой сферы изображают одно и то же вращение, так что эти точки должны быть отождествлены. Группа является компактной, ее групповое пространство обладает определенными топологическими свойствами, отличающимися в большом от соответствующих свойств евклидового -пространства. Однако небольшая ячейка группы вращений имеет евклидовы свойства, так что мы имеем дело с многообразием.. Центр сферы соответствует тождественному вращению.

Групповые свойства

Пусть — две точки группового пространства группы, G, соответствующие преобразованиям

в -мерном пространстве представления (Отметим, что Т для удобства действует справа налево.) Далее, с точками а и b мы связываем точку с, такую, что

где

Таким образом, мы имеем

или

в качестве группового закона композиции, причем есть непрерывная, произвольное число раз дифференцируемая функция. [Отметим здесь, что если принять обозначение как в большинстве

книг по теории групп, то функция соответствует преобразованию Для элементов абстрактной группы мы просто напишем

Чтобы Т образовывали группу, для функции определяемой законом композиции (3.5), должны выполняться следующие условия:

1. Ассоциативность

2. Существование единицы. Существует единичный элемент, такой, что

Выбирая в качестве начала координат группового пространства, имеем так что

3. Существование обратного элемента. Существует связанный с элементами Та элемент такой, что и таким образом

Чтобы это было возможно, якобиан преобразования должен подчиняться условию

Инфинитезимальная группа

Вместо того чтобы пытаться непосредственно определять функции, удовлетворяющие условиям (3.6) — (3.8), Ли изучал часть группового многообразия в окрестности начала координат, которое мы выбрали в качестве единичного элемента. Поэтому он смог получить дифференциальные уравнения для функций

Прежде всего определим инфинитезималъные генераторы группы. Рассмотрим F (а), функцию элемента а группы. Умножим а справа на элемент , близкий к единичному элементу группы Таким образом, — малая величина. В результате умножения получим элемент

Но поскольку непрерывная функция, элемент а должен лежать окрестности элемента в, так что можно записать и,

выписывая компонент, имеем

Если бы мы имели дело с соответствующими преобразованиями в координатном пространстве то мы записали бы

Теперь, пренебрегая высшими степенями б а, получаем на основании (3.9)

Полагая

и замечая, что

находим

Вернемся теперь к изменению функции F (а), обусловленному этим преобразованием. Имеем

так что

где мы ввели операторы

Операторы носят название анфинитезимальных генераторов группы Ли. Рассматривая в (3.12) особый случай получаем

что опять дает (3.11).

Чтобы определить мы должны определить а следовательно, функцию . Затем изучим эту функцию в окрестности начала координат Пренебрегая членами рыще четвертого

порядка малости, имеем разложение в степенной ряд

    (3.14)

Далее, вследствие свойств единичного элемента

и

находим

так что разложение приобретает вид

Удовлетворим теперь условию ассоциативности (3.6) с точностью до членов третьего порядка. После несколько утомительных алгебраических преобразований мы получаем только условие для антисимметричной части коэффициентов Таким образом, определяя

получаем условие ассоциативности

Константы играют фундаментальную роль в теории групп Ли и носят название структурных констант. Они характеризуются двумя свойствами (3.16) и (3.17).

Теперь покажем, что структурные константы связаны с коммутаторами группы. Коммутатору группы преобразований

соответствует элемент группы

где а, b — элементы, обратные элементам а, b. Вычислим и для случая, когда а и b малы (в окрестности единичного элемента). Сначала вычислим а, используя разложение (3.15) для и определим операцию

таким образом, чтобы выполнялось условие (3.8). Находим

и

Наконец, используя (3.16), получаем

Теперь покажем, что структурные константы со свойствами (3.16) и (3.17) полностью определяют структуру группы, т. е. функции , и поэтому можно найти разложение вплоть до любого порядка по а и b. Далее покажем, что условия на структурные константы являются условиями интегрируемости системы дифференциальных уравнений, которым удовлетворяет функция

Дифференциальные уравнения для ф (а, b).

Возвратимся к уравнению (3.11)

Можно ввести матрицу обратную Это всегда может быть сделано, так как якобиан функции не равен нулю. Имеем

Далее,

Теперь положим

Имеем

Но

так что вследствие ассоциативности

Отсюда

Это дает

Применяя (3.22) к b, получаем

Таким образом, мы должны иметь

или

Мы получили дифференциальные уравнения для определения Условия интегрируемости можно найти, заметив, что выражение

должно быть симметрично по , так что

или, замечая, что

получаем

Меняя немые индексы в левой стороне равенства и собирая с помощью соотношений ортогональности (3.21) все функции от с на одной стороне равенства, а все функции от b на другой, находим

Так как левая часть этого равенства зависит только от с, а правая — только от b, они обе должны быть равны одним и тем же константам. Эти константы можно определить, полагая, например, и мы имеем

На основании определения в (3.10) и разложения (3.15) для находим

а на основании определения (3.21) матрицы имеем

Подставляя эти значения в (3.26) и используя определения структурных констант при помощи (3.16), находим

или

Аналогично, выражая правую часть равенства (3.25) через структурные константы, находим уравнение для матрицы которое имеет вид

Эти уравнения можно теперь рассматривать как уравнения для определения матрицы которая, будучи найдена, позволит проинтегри» ровать уравнения (3.23), так что функция может быть определена. Затем мы должны показать, что система уравнений (3.30) интегрируема. Левая часть этих уравнений имеет вид ротора и поэтому должна иметь нулевую дивергенцию, так что условие интегрируемости системы (3.30) есть

Легко может быть проверено, что это дает опять условие (3.17), так что уравнения (3.30) могут быть удовлетворены, что позволяет найти функцию решая уравнения (3.23).

Соотношения коммутации для инфинитезимальных генераторов

Мы определили инфинитезимальные генераторы как операторы

Имеем

и, используя уравнение (3.29), получаем

так что имеет место фундаментальное уравнение

Тождество Якоби

автоматически удовлетворяется вследствие уравнения (3.17).

Координатные преобразования и преобразования параметров

Мы изучили группу, не обращаясь к координатному пространству в котором действует оператор Т, где Т — координатное преобразование, связываемое с групповым элементом а. Отсюда вытекает, что при замене координат новыми координатами у мы получили бы ту же самую группу. Действительно, пусть

Символически запишем это в виде

Тогда если

То

и

так что преобразование

действующее в у-пространстве, представляет группу, изоморфную группе О с элементами а.

Теперь, взяв

определим

и найдем

где мы использовали (3.22) и ввели

Рассмотрим, как произвольная функция изменяется при бесконечно малых преобразованиях, соответствующих элементу Имеем

где операторы

являются генераторами бесконечно малого преобразования в х-пространстве.

Из (3.33) видно, что если мы произведем замену параметров

оставляя фиксированным, то функции ведут себя как компоненты ковариантных векторов в групповом пространстве с законом преобразования

в то время как функции ведут себя как контравариантные векторы с законом преобразования

если координаты преобразуются в опять оставляя элемент фиксированным.

С другой стороны, мы можем изменять бесконечно малый элемент в окрестности начала координат, применяя к нему постоянное линейное преобразование

Так как (3.33) не изменяется под действием этого постоянного однородного преобразования, то мы имеем законы преобразования

где коэффициенты К определяются из равенства

Из уравнения (3.30) видно, что структурные константы преобразуются под действием (3.36), согласно закону преобразования

Чтобы отличать различные трансформационные свойства, индексы, относящиеся к постоянному линейному преобразованию, можно заключить в скобки

и писать для генераторов

Таким образом, матрицу можно рассматривать как набор ковариантных векторов в групповом пространстве, нумеруемых индексом (а). Постоянное линейное преобразование этих векторов индуцирует преобразование (3.39) структурных констант.

Если есть контравариантный вектор в групповом пространстве (преобразующийся аналогично элементу , то можно определить инвариантные компоненты вектора V через базисные векторы а именно

Эти величины будут инвариантны при изменении параметров. В групповом пространстве может быть подобным образом определен дальний параллелизм, поскольку удовлетворяются соответствующие условия интегрируемости для К.

Каноническая форма

Линейные преобразования структурных констант используются для преобразования коммутационных соотношений в стандартную форму. Возьмем произвольный фиксированный инфинйтезимальный оператор А (линейную комбинацию операторов и решим уравнение на собственные значения:

где собственное значение оператора А, соответствующее „собственному вектору" Будут ли существовать собственных значений по одному для каждого генератора или некоторые собственные значения будут вырождены? Картан показал, что для полупростых групп (не имеющих абелевых инвариантных подгрупп) только собственное значение вырождено. Пусть имеет -мерное вырождение, причем оператор А выбран таким образом, что число максимально. Тогда число называется рангом полупростой группы. Остальным собственным значениям соответствует по одному собственному вектору. Отсюда следует, что стандартная форма коммутаторов имеет вид

Далее,

так что если есть собственный вектор, соответствующий собственному значению а, то существует еще собственных векторов принадлежащих тому же собственному значению. Так как собственное значение а не вырождено, то все они должны быть пропорциональны Таким образом, мы имеем

где величина которая может рассматриваться как -компонентный вектор, называется корневым вектором, соответствующим собственному значению а. Напомним, что существует различных собственных значений а.

Теперь изучим коммутатор На основании тождества

Якоби, примененного к операторам , находим

Следовательно, коммутатор в том случае, когда он не равен нулю, является собственным вектором оператора А. Отсюда вытекает следующее:

если есть корень, то

если то коммутатор есть линейная комбинация операторов

если не корень, то коммутатор равен нулю,

Далее, можно показать, что

где — метрический тензор, связанный с каноническими структурными константами. Определение метрического тензора, связанного с данным выбором структурных констант, мы дадим в следующей главе [уравнения (4.6) и (4.8)]. Таким образом, можно написать

Замечая, что оператор А, согласно (3.43), является собственным вектором, принадлежащим собственному значению получаем так что

Отсюда следует, что стандартная форма коммутационных соотношений инфинитезимальной группы есть

Величины также могут быть выражены через корневые векторы, так что мы знаем группу, если известны ее корни. Эти корни обладают свойством

где а может принимать только значений:

Далее, выражения

являются целыми числами, и поэтому

также является корнем. Геометрически это означает, что новый корень может быть получен отражением корня относительно гиперплоскости, перпендикулярной корню Кроме того,

где угол между корневыми векторами. Это ограничивает угол значениями Из (3.48) получаем отношение длин двух корневых векторов:

Для

Например, если то единственная диаграмма имеет вид

Мы увидим, что эта диаграмма соответствует группе трехмерных вращений или унимодулярной унитарной двумерной группе

Если то существуют 4 диаграммы для простых групп, две из которых эквивалентны в том смысле, что одна диаграмма получается из другой путем поворота. Только три из этих диаграмм различны. Если две диаграммы по существу совпадают, то соответствующие группы локально изоморфны, так как имеют одну и ту же систему корней.

При мы получаем также пятую диаграмму которая разлагается на две системы взаимно ортогональных корней. Такая диаграмма изображает группу, являющуюся прямым произведением тех групп, которым соответствует каждая из этих систем корней. Отсюда следует, что эта группа не проста. Корневые диаграммы подупростых групп Ли ранга 2 изображены на фиг. 1. Число параметров (порядок) каждой группы получается добавлением к рангу (1 — 2) числа корневых векторов.

Диаграмма изображает специальную унитарную группу в трех измерениях которая является группой унитарных матриц с единичным детерминантом. Эта группа оставляет инвариантной форму

в трехмерном комплексном пространстве представления.

Диаграммы изображают ортогональные группы являющиеся соответственно группами действительных вращений в пятимерных и четырехмерных пространствах.

Диаграмма изоморфная в этом случае изображает симплектическую группу ранга 2. Если и действительные кватернионы, соответствующие компонентам кватернионного вектора в двумерном кватернионном пространстве, то преобразования группы оставдяют инвариантной форму

Фиг. 1.

Здесь черта означает кватернионное сопряжение, так что если

есть кватернион с действительными компонентами то сопряженный кватернион есть

Группа называется исключительной группой, так как сущест вует всего пять групп с диаграммами, принадлежащими к той же самой категории.

Картан показал, что единственными типами диаграмм, которые встречаются по мере увеличения ранга группы, являются диаграммы типа А, В, С и D.

К категории А относятся группы унитарные унимодулярные группы в комплексном, пространстве измерений, оставляющие

инвариантной форму

К категории В относятся действительные ортогональные группы в измерениях оставляющие инвариантной форму

в то время как к категории D относятся группы ортогональные группы в измерениях.

К категории С относятся симплексические группы оставляющие инвариантной форму

Ван дер Варден показал, что единственными другими простыми группами являются пять исключительных групп (группа является первой в этой категории).

Все перечисленные выше группы носят название классических групп. Из них можно образовать новые группы, не являющиеся полупростыми, взяв прямое произведение с абелевыми группами.