§ 1. АБСТРАКТНЫЕ ГРУППЫ. ОБЩИЕ СВОЙСТВА

Определение. Абстрактная группа О есть множество элементов

для которых определен закон композиции (или умножение). Упорядоченное произведение АВ любых двух элементов группы должно удовлетворять следующим условиям:

1. Замыкание: если то

2. Ассоциативность: если то

для любой тройки элементов, так что любую часть этого равенства можно обозначить через

3. Единичный элемент: существует такой элемент называемый единицей, или единичным элементом, что идя каждого имеет место

4. Обратные элементы: для каждого элемента существует такой элемент что

Замечание. В действительности аксиомы 3 и 4 слишком сильны и могут быть заменены более слабыми требованиями, утверждающими существование левой (правой) единицы и левого (правого) обратного элемента. Тогда аксиомы 3 и 4 будут следовать из более слабых требований.

Полугруппы. Полугруппа есть множество элементов, удовлетворяющих первой и второй аксиомам, но не обязательно удовлетворяющих аксиомам 3 и 4.

Элементы абстрактной группы не были специализированы для выделения определяющей структуры множества. Реализацию абстрактной

группы можно осуществить, если выбрать в качестве ее элементов числа, гиперкомплексные числа, матрицы, операторы симметрии геометрических фигур, перестановки предметов, отображения, преобразования координат и т. д. при условии, что в каждом случае определен соответствующий закон композиции.

Коммутативность. Два элемента группы А и В коммутируют друг с другом, если .

Например, коммутирует со всеми элементами О.

Абелева группа. Группа называется абелевой, если все ее элементы коммутируют друг с другом.

Например, множество целых чисел образует группу со сложением в качестве группового закона композиции.

Аддитивная запись. Для абелевых групп удобно принять аддитивную запись:

Порядок группы. Порядок группы О есть число g элементов в группе О. В случае конечных групп число g — положительное целое. Если g бесконечно, но счетно, как и в случае аддитивной группы целых чисел, то группу называют бесконечной дискретной группой.

Элементы некоторых групп образуют непрерывное множество. В этом случае уже неприменимо указанное выше определение порядка группы. Если непрерывное множество элементов наделено определенными топологическими свойствами, определяющими многообразие, то мы имеем топологическую группу. Группы Ли — пример этого типа бесконечных непрерывных групп. Они будут рассмотрены позднее.

Порядок элемента конечной группы. Пусть причем группа О конечна. Тогда порядок элемента А есть такое наименьшее положительное целое число, что

Циклические группы. Циклическая группа состоит из степеней только одного элемента А. Если группа имеет порядок , то она обозначается через Множество всех целых чисел образует бесконечную циклическую группу по отношению к сложению.

Группа может быть реализована вращениями в плоскости вокруг точки О на угол где принимает значение . Любой элемент группы есть степень элемента А, где А — поворот на угол

Циклические группы обязательно абелевы, так как

Поэтому может быть использована аддитивная запись, и если порядок группы есть , то

Таблица умножения

В случае конечных групп групповая структура может быть описана таблицей умножения. Так, для группы порядка , мы получим

Группа порядка 2 циклична. Это группа Группа порядка 3 есть С так как таблица умножения может иметь только следующий вид

так что

Существуют две группы порядка 4, обе абелевы. Одна из них другая — -группа, или группа призмы

Группа может быть реализована последовательными вращениями в плоскости на угол Группа соответствует симметриям по отношению к осям, образующим друг с другом угол подобно осям

Если имеет компоненты то группу получаем, полагая

Вообще группа есть группа симметрии геометрического объекта относительно оси вращения порядка. Эта группа имеет порядок .

есть группа симметрии объекта, имеющего ось вращения порядка и систему осей второго порядка, перпендикулярных оси вращения. Эта группа имеет порядок

Существует одна группа порядка 5, а именно и две группы порядка Группа имеет таблицу умножения вида

и не является абелевой.

Группа порядка 7 есть

Существуют пять групп порядка 8, причем две из них неабелевы. Мы приведем таблицу умножения для кватернионной группы порядка 8. Вместо А, В, С, ... будем использовать символы и т. д.

Изоморфизм

Две группы изоморфны (обозначаются ), если их элементы могут быть поставлены в одно-однозначное соответствие, такое, что из следует и наоборот. Поэтому изоморфные группы имеют по существу одинаковую структуру и одинаковую таблицу умножения.

Примеры.

1. Рассмотрим следующие группы порядка 4: группу с элементами причем закон композиции есть обычное умножение, и группу с элементами где представляют собой -матрицы

а закон композиции есть матричное умножение. Мы видим, что изоморфны друг другу и группе

2. Рассмотрим группу 53 перестановок трех объектов (1 2 3). Определим

Эти символы имеют ту же таблицу умножения, что и группа порядка 6. Поэтому можно записать

Комплексы, подгруппы

Рассмотрим подмножество К группы О, состоящее из элементов запишем

и назовем К комплексом группы О.

Определим сложение комплексов таким же образом, как в теории множеств определяется объединение множеств:

так что если , то

и

Произведение комплексов К и L определяется как комплекс, получаемый формальным раскрытием произведения

где

Умножение комплексов ассоциативно и дистрибутивно по отношению к сложению.

Если каждый элемент комплекса К есть также элемент комплекса L, то говорят, что К содержится в L, или что L содержит К, и записывают

так же, как и в теории множеств. Если , то

Подгруппа Н группы О есть комплекс, удовлетворяющий групповым постулатам. Сама группа G и единичный элемент являются тривиальными подгруппами. Другие подгруппы G носят название собственных подгрупп.

Теперь мы докажем фундаментальную теорему о порядке подгруппы.

Теорема Лагранжа

Если Н есть подгруппа группы О, то существует множество элементов группы О, такое, что

и множество такое, что

где причем любая пара комплексов не имеет общих элементов, и каждый комплекс содержит одинаковое число элементов h (порядок подгруппы Н). Отсюда следует, что где g — порядок группы положительное целое число.

Для, доказательства теоремы рассмотрим случай . Возьмем элемент не принадлежащий Н. Все элементы комплекса отличны друг от друга, и не один из них не содержится в Н. Если то, предполагая, что мы имели бы . С другой стороны, если то мы имели бы что противоречит допущению. Если не исчерпывают группы О, добавим комплекс для которого не принадлежит ни Н, ни и так далее до тех пор, пока не будет исчерпана вся группа О. Теорема доказывается аналогично и для элементов В.

Смежные классы подгруппы. В разложении Лагранжа группы G комплексы носят название правых смежных классов подгруппы Н, а — ее левые смежные классы.

Индексом подгруппы Я группы О называется число

В качестве непосредственного следствия теоремы Лагранжа мы видим, что порядок любого элемента группы G есть множитель порядка группы группа, порядок которой есть простое число, обязательно циклично (как мы уже видели это в случае групп порядка 2, 3, 5 и 7); все подгруппы циклической группы обязательно цикличны.

Независимые элементы. Генераторы. Ранг

Элементы группы О являются независимыми, если ни один из них не может быть выражен через другие. Если существует множество независимых элементов, так что любой элемент может быть выражен через элементы этого множества, то последнее называют множеством независимых генераторов группы. Рангом группы называется число этих генераторов.

Примеры. Циклическая группа имеет ранг 1, так как любой элемент может быть выражен как степень одного генератора. -группа и группа имеют ранг 2. Для группы мы имеем , причем В случае группы в качестве генераторов могут быть выбраны элементы и О, так как обладают следующими свойствами:

так что можно также написать Если группа есть абелева группа ранга k с генераторами то любой элемент X группы О может быть записан в виде

где — целые числа. Здесь мы используем аддитивную запись. Группа всех целых чисел порождается одним генератором, так как любой из ее элементов может быть выражен в виде

Сопряженные элементы. Классы. Нормализатор

Два элемента А и В сопряжены в группе О, если существует такой элемент , что

Комплекс, состоящий из всех элементов, сопряженных элементу А, носит название) класса элемента А в группе О и обозначается (А):

Если то говорят, что элемент А самосопряжен. Каждый элемент является самосопряженным в абелевой группе.

Определим число элементов в классе (А) для группы О. Для этого прежде всего определим нормализатор элемента А, обозначив его через как комплекс всех элементов группы О, коммутирующих с А. Легко видеть, что нормализатор обладает свойствами групп

и, являясь подгруппой группы О, имеет порядок где А — его индекс в разложении Лагранжа

Теперь мы докажем теорему, утверждающую, что число элементов в классе, (А) равно индексу h нормализатора Фиксируем элемент А и рассмотрим элемент где X пробегает g элементов группы О: сначала нормализатор , затем и т. д. Когда X пробегает , выражение дает раз элемент А; оно дает раз элемент когда X пробегает , так как коммутирует с А, так что в конечном итоге мы получим класс (А) раз. Таким образом, (А) содержит элементов, где h — индекс нормализатора

Для абелевых групп так что для любого элемента А.

Теорема. Различные классы в группе О не перекрываются, так что О есть сумма отдельных классов:

где

Доказательство. Допустим, что классы имеют общий элемент F. Тогда существуют такие элементы Т и S, что

но поскольку

это приводит к тому, что элемент сопряжен элементу чего не может быть, так как мы предположили, что не принадлежит Отсюда следует

где есть индекс

Инвариантные подгруппы

Подгруппа Н группы О называется инвариантной), если она коммутирует с любым элементом X группы О. Другими словами, все элементы, сопряженные элементам подгруппы Н, содержатся в Н. Таким образом,

С подгруппой F, не являющейся инвариантной, мы можем связать другие подгруппы группы О, а именно

которые носят название подгрупп, сопряженных подгруппе F. Они совпадают с F, если F — инвариантная подгруппа.

В качестве непосредственного следствия этого определения можно установить, что:

1. Все подгруппы абелевой группы G являются инвариантными подгруппами.

2. Все подгруппы индекса 2 с необходимостью являются инвариантными подгруппами.

3. Инвариантная подгруппа составлена из замкнутых классов группы О. Таким образом,

Факторгруппа G/H

Теорема. Пусть Н — инвариантная подгруппа группы О. Рассмотрим разложение

где

Те смежных классов подгруппы Н, на которые разлагается группа G, носят название) факторгруппы группы О по подгруппе Н. Факторгруппа обозначается и имеет порядок

Доказательство. Так как Н есть подгруппа, то, как мы уже видели, смежных классов имеют каждый по h элементов и любые два смежных класса не имеют общих элементов. Поскольку Н есть инвариантная подгруппа, получим

Отсюда по правилу умножения комплексов

где Заметим, что не обязательно совпадает с одним из встречающимся в разложении группы G. Однако комплекс должен совпадать с одним из смежных классов подгруппы Н, поскольку обязательно содержится в одном из смежных классов. Тогда, если он содержится в смежном классе, получаем Этим устанавливается аксиома замыкания. Ассоциативность

следует из равенства

Единичный элемент есть Н, а элемент, обратный есть .

Понятие факторгруппы играет первостепенную роль в теории групп и имеет широкое применение.

Центр группы

Множество самосопряженных элементов группы G образует абелеву инвариантную подгруппу Z, называемую центром группы

По определению, центр Z состоит из всех элементов группы С, коммутирующих с каждым элементом G. В частности, Z содержит единичный элемент. Пусть

а - произвольный элемент группы G. Тогда из

вытекает

так что

I есть единица. Остальные групповые свойства очевидны. Кроме того, Z есть инвариантная подгруппа, так как если , то

по определению Z.

Взаимные отображения групп

Рассмотрим теперь другое фундаментальное понятие, широко используемое в многочисленных разделах современной математики. Это — понятие взаимного отображения групп. Различаются две категории отображений в зависимости от того, является ли отображение одно-однозначным или много-однозначным.

Изоморфное отображение. Если группы О и О изоморфны, так что мы имеем одно-однозначное соответствие между элементами групп G и G, обладающее свойствами

то это соответствие носит название изоморфного отображения (или изоморфизма) между двумя группами.

Гомоморфное отображение. Это много-однозначное отображение элементов большей группы О на элементы меньшей группы О причем такое, что оно сохраняет произведение.

Пусть

где изображает комплекс

и пусть

где есть элемент группы О. Рассмотрим соответствие

отображающее комплекс группы О в элемент группы О таким образом, что из

вытекает

Тогда мы будем говорить, что О гомоморфно отображается на О, а само много-однозначное отображение будем называть гомоморфизмом Группа О называется образом отображения или гомоморфом группы О. Гомоморфизм будем обозначать

Отображения внутри группы. Автоморфизм и эндоморфизм

Если отображение одно-однозначно, то в качестве группы О можно выбрать саму группу О. Так, говорят, что группа О допускает автоморфизм, если она может быть изоморфно отображена сама на себя.

Пример. Пусть А — фиксированный элемент группы О. Рассмотрим отображение

Это — одно-однозначное, сохраняющее умножение отображение элементов группы О на элементы группы О. Следовательно, имеем автоморфизм. Автоморфизм этого рода носит название внутреннего автоморфизма-, все другие виды относятся к внешнему автоморфизму.

Эндоморфизм. В качестве О выберем теперь Н, подгруппу О. Если группа О может быть гомоморфно отображена на одну из ее собственных подгрупп, то говорят, что она допускает эндоморфизм.

Установим теперь некоторые теоремы относительно отображений.

Теорема. Все автоморфизмы группы О образуют группу, называемую группой автоморфизмов группы О (и обозначаемую .

Для доказательства этого утверждения будем нумеровать автоморфизмы индексом , так что

есть одно-однозначное соответствие внутри группы О. Рассмотрим отображение Поскольку

и

имеем

Таким образом, соответствие

также является автоморфизмом. Тождественный автоморфизм задается как

так что единица в есть отображение каждого элемента группы О на себя, а обращение автоморфизма определяется посредством равенства

Теорема. Внутренние автоморфизмы группы О образуют подгруппу группы .

Это справедливо потому, что множество внутренних автоморфизмов также обладает свойствами группы.

Слово „инвариантная" в термине “инвариантная подгруппа" оправдывается также тем, что инвариантная подгруппа группы О является инвариантной относительно группы внутренних автоморфизмов группы О.

Ядро гомоморфного отображения

Пусть дан гомоморфизм Рассмотрим комплекс С группы О, отображающийся на — единичный элемент группы О:

С носит название ядра гомоморфизма;

Теорема. Ядро гомоморфного отображения О на О есть инвариантная подгруппа О.

Доказательство. Пусть . С есть группа, так как

вследствие сохранения умножения, так что . Единичный элемент группы О также должен отобразиться на так что , и мы можем положить Действительно, если бы элемент отображался на то комплекс отображался бы на не был бы элементом С.

Комплекс С есть инвариантная подгруппа, поскольку

так что

Поскольку С есть инвариантная подгруппа группы О, имеет место разложение

и смежных классов С образуют группу . С другой стороны, в гомоморфизме

мы имеем

где

Следовательно, соответствие между элементами групп и О является одно-однозначным и сохраняет умножение. Отсюда вытекает, что эти две группы изоморфны. Таким образом, мы доказали следующую теорему:

Если в гомоморфизме , то или

В частности, рассмотрим гомоморфизм, отображающий центр Z группы О на единичный элемент группы О. Имеем

Это называется делением группы на ее центр,

Приведем несколько примеров.

Если есть группа то - есть инвариантная подгруппа, и мы имеем разложение

со следующими правилами умножения для двух смежных классов подгруппы Н:

Отсюда следует, что группа смежных классов подгруппы Я изоморфна циклической группе порядка 2 и

Соответствие в группе для которого

есть внутренний автоморфизм группы Он оставляет подгруппу Я инвариантной.

Если О есть кватернионная группа Q с элементами то

есть центр группы Q. Группа имеет 4 элемента, и мы получаем

Если О есть 4-группа с элементами , то имеет 6 элементов, определяемых следующим изоморфным отображением в группе

Легко проверить, что таблица умножения такая же, как и для группы так что

Прямое произведение

Говорят, что группа Г является прямым произведением групп , если ее элементами являются упорядоченные пары (X, X) с законом умножения

Если g и g — соответственно порядки групп О и G, то порядок группы Г равен Единица группы Г есть

Пример.

Полупрямое произведение

Прямое произведение двух произвольных групп всегда определено. Полупрямое произведение групп G и А определено только тогда, когда А есть группа автоморфизмов группы О.

Пусть А — подгруппа группы так что есть образ элемента X при автоморфизме Рассмотрим упорядоченные произведения (X, а) с законом умножения

Множество Г с элементами (X, а) образует группу, называемую полупрямым произведением групп G и А, которую мы будем обозначать

Групповые свойства легко устанавливаются. Порядок группы Г есть произведение порядков групп G и А

Если группа G абелева, то для элементов группы G может быть использована аддитивная запись, и тогда получим

Пример. Мы видели, что Возьмем в качестве подгруппы группы ее инвариантную подгруппу

Группа имеет порядок 12 и изоморфна группе тетраэдра Т, имеющей ранг 2 и генераторы со свойствами

Группа носит название голоморфа группы

Теорема. В прямом произведении содержатся инвариантная подгруппа, изоморфная группе О, и инвариантная подгруппа, изоморфная группе О. В полупрямой произведении содержится инвариантная подгруппа, изоморфная группе

Доказательство следует непосредственно. Таким образом, есть инвариантная подгруппа группы — инвариантная подгруппа группы

Простые и полупростые группы

Простые группы не имеют собственных инвариантных подгрупп. Полупростые группы могут иметь собственные инвариантные подгруппы, но не имеют абелевых инвариантных подгрупп.

Примеры. Группы просты. Группы не полупросты и, конечно, не просты. Неабелева простая группа наименьшего порядка есть — группа икосаэдра порядка 60.

Накрывающая группа

Пусть W — подгруппа центра Z группы О. Группа W обязательно абелева. Рассмотрим группу

В этом случае говорят, что группа О является накрывающей группой группы Г. В частности, группа О есть накрывающая группа своей факторгруппы по своему центру.

Пример. Группа Q есть накрывающая группа группы так как

Коммутатор. Производная группа

С элементами связывают элемент называемый коммутатором элементов . Если С — коммутатор. то и каждый элемент класса (С) также являются коммутаторами. Единица I также является коммутатором

Коммутант, или производная группа группы О, есть наименьшая подгруппа группы О, содержащая все коммутаторы группы О.

Если обозначить производную группу группы О через то можно показать, что есть инвариантная подгруппа группы О и факторгруппа абелева. Группа называется совершенной, если

Пример. Производная группа группы Q есть ее центр