§ 2. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП

Матрицы

Мы используем следующие обозначения для -матриц над полем комплексных чисел:

Напомним также определения:

матрица S симметрична, если

матрица А антисимметрична, если

матрица Н эрмитова, если

матрица F антиэрмитова, если

матрица Q ортогональна, если

матрица U унитарна, если

Матричная группа

Группа с матрицами в качестве элементов и матричным умножением в качестве группового закона композиции называется матричной группой.

Группа линейных преобразований

Матрица представляет собой линейное преобразование в векторном пространстве L, которое имеет размерность в случае -матриц. Матричной группе соответствует группа линейных преобразований в пространстве L. С элементом М матричной группы мы связываем линейное преобразование

Представления групп

Представление Г группы О есть матричная группа, на которую гомоморфно отображена группа

Матрица D(А) поставлена в соответствие каждому элементу А группы О таким образом, что

Говорят, что Г есть -мерное представление группы О в векторном пространстве L, если размерность пространства L есть . Пространство L называется пространством представления.

Существование обратного элемента показывает, что матрица должна быть несингулярной, так как

Кроме того,

где — единичная -матрица.

Точные и неточные представления

Представление Г называется точным, если Оно будет неточным представлением, если более чем один элемент группы представляется одной и той же матрицей.

Пусть в гомоморфизме Тогда Г будет точным представлением факторгруппы

Примеры. Одномерное представление группы есть

где Пусть Тогда . Следующее двумерное представление группы является точным:

или, вводя матрицы Паули

и используя некоторые символы для представлений как для элементов группы, получаем

Одномерное представление группы Q имеет вид

Ядро гомоморфизма есть факторгруппа есть точное представление группы Существует точное двумерное представление группы Q, а именно

Эквивалентные представления

Преобразуем базис -мерного пространства представления L. Тогда

так что преобразование

дает

и

есть новое представление группового элемента А. Оно называется эквивалентным представлением.

Характер представления

В предыдущем примере мы получили так что след представления одинаков для эквивалентных представлений. Определим

как характер элемента А в представлении D. Если рассматриваемое представление отмечено индексом то мы будем обозначать характер элемента А в представлении D через

В этом случае где — размерность представления. Характер представления есть множество g величин

где - элементы группы

Элементы одного и того же класса имеют одинаковые характеры, так что характер есть функция класса сопряженных элементов.

Если полная группа имеет k отдельных классов то множество k характеров

определяет представление.

Например, группа А имеет три класса

где

Отсюда следует, что для двумерного представления должны существовать только три характера

Для одномерного представления

Приводимые и неприводимые представления

Рассмотрим два представления группы О. Представление Г: размерности с элементами

и представление размерности с элементами

Мы можем построить новое представление группы О размерности , рассматривая матрицы

Преобразование подобия, примененное к матрице D, дает эквивалентное -мерное представление, которое уже не будет иметь ящично-диагональный вид. Например, перенумеровка строк и столбцов является преобразованием подобия.

Определение. Представление, которое преобразованием подобия может быть приведено к ящично-диагональной форме, называется вполне приводимым. Если такого преобразования не существует, то представление называется неприводимым.

Матрица D называется прямой суммой матриц и обозначается

Если матричная группа может быть преобразованием подобия приведена к виду

то она называется приводимой. Для конечных матриц справедлива теорема, что если любая конечная матричная группа приводима, то она вполне приводима. Это утверждение не справедливо для бесконечных матриц.

Унитарные представления

В квантовой механике пространством представления является гильбертово пространство, и группа симметрии должна оставлять инвариантными скалярные произведения хауа, поскольку они интерпретируются как амплитуды вероятности. Отсюда следует, что матрицы преобразования, соответствующие группе симметрии, должны обладать свойством вытекающим из равенства

Поэтому группа О должна быть представлена унитарной матричной группой, называемой унитарным представлением группы О. Имеет место важная теорема.

Теорема. Любое представление конечной группы О несингулярными унитарными матрицами может быть преобразовано в унитарное представление преобразованием подобия.

Теорема доказывается явным построением матрицы преобразования 5.

Основным методом в этой и других теоремах теории представлений является построение инвариантов посредством суммирования по всем элементам группы. В случае бесконечных групп этот метод следует применять с большой осторожностью.

Пусть имеется группа матриц

где некоторые элементы могут совпадать, если представление не является точным. Образуем следующую сумму по элементам группы:

Матрица Н эрмитова Диагонализуем Н преобразованием подобия

где

Матрица Д положительно определена. Построим теперь матрицы

эквивалентные матрицам . Покажем, что эти матрицы унитарны.

Действительно, из имеем

Но вследствие группового свойства , так что и матрица

унитарна, причем матрица диагонализует эрмитову сумму Мы видели, что, задавая представление Г, можно получить из него другие эквивалентные представления преобразованием подобия. В частности, мы всегда можем перевести его в унитарное представление. Можно ли из представления Г получить еще какие-либо другие представления?

Комплексно сопряженное представление Г*

Это — представление, получаемое заменой каждой матрицы на ее комплексно сопряженную.

Тогда если

то

так что дает нам другое представление.

Присоединенное представление Г*

Это — представление, получаемое заменой каждой матрицы на матрицу Имеем Вследствие получаем

Эквивалентны ли новые представления представлению Г? Существуют три типа представлений:

1. С Помощью преобразования подобия можно получить Тогда это представление эквивалентно действительному представлению.

2. Представление Г эквивалентно представлению Г, но не существует такого преобразования подобия что

Тогда (матрица U аналогична оператору зарядового сопряжения). В этом случае присоединенное представление также может быть записано как

3. Представления Г и Г не эквивалентны (матрицы U не существует). В этом случае комплексно сопряженное представление является новым представлением.

Тривиальное представление и регулярное представление

Всегда существует одно тривиальное представление группы О, являющееся одномерным, именно

Для этого представления k характеров имеют вид

Тривиальные представления неприводимы. Точное представление группы О всегда может быть построено следующим образом.

Рассмотрим таблицу умножения. Каждая строка может быть получена из первой строки путем умножения первой строки слева на элемент группы С другой стороны, каждая строка есть перестановка первой строки. Отсюда следует, что каждому элементу соответствует элемент симметрической группы перестановок g предметов. Группа О всегда изоморфна подгруппе группы Это утверждение известно под названием теоремы Кэли. Теперь каждая перестановка

может быть представлена -матрицей, так как она действует в линейном векторном пространстве g измерений. Таким образом, мы получаем g матриц для представления g элементов группы G. Это представление носит название регулярного представления и является точным. Но оно приводимо. Мы увидим, что оно содержит все неприводимые представления. Матрицы находятся следующим образом.

Пусть — строка, образованная элементами группы G. Тогда есть перестановка группы G. Определим матрицу выражением

Отметим здесь, что есть специальная определенная выше матрица-строка и не может быть заменена произвольной матрицей-строкой. Теперь если

то имеет место соотношение

так что матричная группа изоморфна группе G. Мы также имеем для матрицы-столбца .

Пример. Г руппа

Мы имеем одномерное точное неприводимое представление

Регулярное представление есть

Мы не можем сразу сказать, является ли это представление приводимым или нет. Однако оно приводимо и существует преобразование подобия, приводящее его к виду

Отсюда следует, что преобразование приводимо, причем оно является прямой суммой трех одномерных неприводимых представлений, а именно тривиального представления, приведенного выше представления и представления Вообще говоря, для регулярного

представления произвольной группы порядка g мы имеем для

При рассмотрении приведенного выше примера возникают следующие вопросы:

1. Что является критерием неприводимости представления?

2. Каково число неэквивалентных неприводимых представлений?

3. Каковы их размерности?

4. Определяются ли представления своими характерами?

5. Как получить характеры каждого представления?

6. Как построить представление после того, как найдена таблица характеров?

На эти вопросы отвечает теория, развитая Фробениусом, Шуром и Бернсайдом. Мы ограничимся формулировкой результатов. Краеугольным камнем этой замечательной теории является лемма Шура.

Лемма Шура

Матрица, коммутирующая со всеми матрицами неприводимого представления, кратна единичной матрице.

Доказательство. Возьмем унитарное представление и пусть матрица М коммутирует с Тогда тоже коммутирует с Отсюда следует, что также коммутируют с Поэтому мы можем ограничиться эрмитовыми матрицами М. Тогда М может быть диагонализована матрицей V, так что

где матрица А диагональна и положительно определена. Рассмотрим преобразование

Полученное представление также унитарно и эквивалентно первому. Матрица А коммутирует с матрицей Так как не имеет ящично-диагонального вида, то А кратна единичной матрице. Отсюда следует, что М также кратна матрице

Пример. Для -матриц преобразование

дает

и мы получаем либо (лемма Шура), либо и матрица

приводима.

Вторая лемма Шура

Если — два различных неприводимых представления группы О размерности от и и если удовлетворяет условию

то матрица F является нулевой. Доказательство мы опускаем.

Соотношения ортогональности

1. Пусть — элементы неприводимого унитарного «-мерного представления группы О. Построим матрицу

где X — произвольная матрица.

Можно легко показать, что матрица М коммутирует с и отсюда по первой лемме Шура она должна быть кратна

Выберем матрицу X такой, чтобы ее элементы были нулевыми, за исключением и возьмем Имеем

Для , суммируя по всем k, получаем

так что

Таким образом, мы доказали, что

где g — порядок группы размерность представления

2. Аналогичным образом, отправляясь от матрицы

можно показать, что

так что, согласно второй лемме Шура, Это дает

где — размерность представления Таким образом, каждое неприводимое представление определяет векторов которые ортогональны друг другу и векторам связанным с другим неэквивалентным представлением. Векторы имеют размерность g. Поскольку число ортогональных векторов в пространстве g измерений не превышает g, то для полного числа взаимно ортогональных векторов, принадлежащих неприводимым представлениям, справедливо соотношение

Используя разложение регулярного представления на прямую сумму неприводимых представлений, мы покажем позже, что

Это очень полезное соотношение показывает, что число неприводимых представлений не превышает

Суммируя (2.2) по k и j, получаем

Далее, мы знаем, что характеры, соответствующие элементам одного класса, равны между собой, так что если группа О имеет k классов содержащих каждый соответственно элементов, то, обозначая характеры класса через получаем

Для данного характеров образуют вектор. Все векторы такого типа ортогональны. Отсюда следует, что число неэквивалентных представлений группы G меньше или равно к. Методами групповой алгебры (алгебры матриц представления Г) можно показать, что имеет место равенство, и мы получаем фундаментальную теорему:

Число неприводимых представлений группы G равно числу ее классов. Таким образом, характеры образуют называемую таблицей характеров группы

Характеры подчиняются также следующему условию ортогональности:

Критерий неприводимости представления

Произвольное представление может быть разложено в прямую сумму неприводимых представлений

где -положительные целые числа, указывающие, сколько раз представление содержится в представлении D. Взяв след от обеих частей этого равенства, получаем

в то время как элементы берутся последовательно из классов Умножая на и суммируя по , получаем

Воспользовавшись теперь выражением (2.5), приходим к равенству

так что коэффициенты в выражении (2.7) задаются формулой

Эта формула, зависящая только от характеров, позволяет узнать, сколько раз представление содержится в представлении D. Отсюда вытекает, что если два представления имеют один и тот же набор характеров, то у них числа а совпадают и они эквивалентны. Это ответ на наш вопрос 4. Для регулярного представления мы имеем

так что выражение (2.9) дает

Таким образом, каждое регулярное представление содержит раз каждое неприводимое представление где — размерность представления.

Чтобы ответить на вопрос 1, умножим выражение (2.8) на и просуммируем. Мы получим

В частности, если представление неприводимо, все числа равны нулю, за исключением одного, которое равно единице, так что в этом случае

Это критерий неприводимости.

Для регулярного представления имеем поэтому

Этот результат был приведен ранее без доказательства.

Пример. Для регулярного представления группы мы имеем так что

Отсюда заключаем, что регулярное представление содержит три одномерных неприводимых представления, что нами было уже проверено. Полное число неприводимых представлений также равно 3.

Таблица характеров строится следующим образом:

Представление, для которого все k характеров отличны друг от друга, является истинным представлением. Для группы мы имеем

Для группы имеем три класса и три представления:

Представление в этом случае является точным.

Другие полезные результаты:

в зависимости от того, является ли представление D представлением первого, второго или третьего типа

2. Размерность неприводимого представления является делителем его порядка, а также делителем индекса каждой из максимальной инвариантной абелевой подгруппы О. (Для группы или 2.)

3. Каждая неприводимая абелева группа является циклической и одномерной.

4. Число одномерных представлений группы О равно индексу ее производной группы. (Для группы

Пример. Алгебра Дирака, порождаемая элементами которые удовлетворяют условию

имеет 32 элемента и 17 классов. Поэтому таблица характеров имеет вид 17X17. Размерность неприводимого представления является делителем числа 32, причем имеет место соотношение

откуда следует, что или 4. Поскольку в этой сумме должно быть 17 членов, то выпадает, и мы имеем

так что существует 16 одномерных представлений, одно из которых тривиально, т. е. единица, и одно неприводимое точное представление являющееся представлением Дирака. Регулярное представление есть . Оно содержит представление Дирака 4 раза и каждое из одномерных представлений один раз.