§ 4. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И НЕКОТОРЫЕ ГЛОБАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ГРУПП ЛИ

Все понятия и результаты абстрактной теории групп, за исключением тех, для которых существенна конечность порядка группы, продолжают выполняться для топологических групп, и в частности для групп Ли. Подгруппы, смежные классы, инвариантные подгруппы, факторгруппы и т. д. определяются так же, как и раньше. Подгруппа соответствует подпространству группового многообразия. Если она инвариантна, то групповое пространство факторгруппы будет факторпространством от полного группового пространства по

его инвариантному подпространству. Теория групп обеспечивает нас алгебраическими операциями на топологических пространствах. Простая группа Ли — это группа, не имеющая инвариантных подгрупп, а полупростая группа Ли не имеет абелевых инвариантных подгрупп.

Линейным представлением группы Ли О является -мерная матричная группа D, на которую группа О гомоморфно отображена, причем матрица D (а) соответствует элементу а . Если это отображение — изоморфизм, то представление группы является точным. Матрицы будут действовать на векторы «-мерного пространства представления.

Если пространство представления есть гильбертово пространство, то представление является бесконечномерным и унитарным. Элемент группы представляется линейным унитарным оператором U (а), который, действуя на векторы состояния гильбертова пространства, оставляет инвариантным скалярное произведение любых двух векторов. Такие представления используются в квантовой механике, где элемент группы может быть представлен оператором, действующим на функции, а скалярное произведение двух функций определяется интегрированием. Если использовать базис из взаимно ортогональных функций, то линейные операторы принимают вид бесконечных матриц.

Чтобы найти представление группы Ли, можно в качестве промежуточного шага найти представление генераторов бесконечно малых преобразований, определяющих кольцо а именно

Теперь покажем, что всегда существуют по крайней мере два представления. Одно из них есть тривиальное представление, в котором каждый генератор представляется нулем. Очевидно, что это представление не является точным. Другое представление реализуется в случае -параметрической группы -матрицами. Это — присоединенное представление, играющее в теории групп Ли роль, аналогичную той, которую играло регулярное представление для конечных групп.

Присоединенное представление кольца Ли

Пусть

есть фиксированный элемент в кольце Ли. Любому элементу

принадлежащему кольцу Ли, можно поставить в соответствие линейный оператор А (а), такой, что

где является другим элементом кольца

Имеем

так что оператор А (а) индуцирует на компонентах элемента преобразование

где

есть матрица, соответствующая элементу а кольца, т. е.

Если теперь в качестве а выбрать элемент то уравнение (4.4) дает

так что структурные константы сами по себе образуют матричные представления генераторов, если один из нижних индексов структурных констант используется для нумерации различных генераторов.

Матрицы, определяемые уравнением (4.4), действительно образуют представление, поскольку можно показать, что закон композиции двух операторов (являющийся операцией их коммутирования) сохраняется при отображении а , не являющемся с необходимостью одно-однозначным, так как некоторые генераторы могут коммутировать. Действительно,

так что

Это соотношение показывает, что

т. е. представление коммутаторов двух элементов кольца Ли есть коммутатор представлений этих элементов.

Скалярное произведение двух элементов кольца Ли

Поставим теперь в соответствие двум элементам, кольца Ли число , которое будем называть их скалярным произведением. Пусть — матрицы, соответствующие в присоединенном представлении элементам Определим

где мы ввели симметричный декартов тензор

Он обладает тензорными свойствами по отношению к заключенным в скобках индексам и линейно преобразуется при изменении базиса кольца Ли. Чтобы поднять эти индексы, необходим тензор, обратный тензору Он будет существовать, если

Тогда можно определить тензор

Картан показал, что условие (4.7) необходимо и достаточно для того, чтобы группа была полупроста. Если группа не полупроста, то она будет иметь инвариантную абелеву подгруппу, которая обратит в нуль такое подмножество структурных констант, что будет следовать Теперь удается установить, что заключенные в скобки индексы могут быть подняты только в случае полупростой группы.

Наша следующая задача — показать, что величины g могут рассматриваться как инвариантные компоненты метрического тензора, определенного везде в групповом пространстве, где уже введены векторы

Длина и объем в групповом пространстве

Так как бесконечно малый элемент ведет себя в групповом пространстве как ковариантный вектор, то мы можем определить его инвариантные компоненты по отношению к локальному базису ,

следуя определению (3.42) для любого ковариантного вектора. Находим

так что бесконечно малый элемент группы в начале координат имеет компоненты являющиеся инвариантными компонентами вектора по отношению к

Длина вектора теперь может быть определена как длина вектора , которому он параллелен. Находим

где

есть ковариантные компоненты метрического тензора в групповом пространстве.

Элемент объема есть детерминант, образованный независимыми бесконечно малыми смещениями в некоторой точке группового пространства, так что

или

Для полупростых групп можно использовать также матрицу являющуюся обратной матрицей для и написать

Группа компактна, если полный групповой объем ее группового пространства конечен. Мы дадим более общее определение компактности в связи с глобальными свойствами групп Ли.

Картан показал, что для компактных полупростых групп метрический тензор положительно определен, так что в соответствующим образом выбранном базисе кольца Ли он принимает вид

Этот результат оправдывает выбор g в качестве метрического тензора группы. Мы примем без доказательства теорему 6 том, что каждое приводимое представление полупростой группы Ли также вполне приводимо. Чтобы дать пример противного, рассмотрим группу

одномерных трансляций

которая является абелевой и поэтому не полупростой. Элементы группы Т допускают -представление

которое приводимо, но не вполне приводимо, так как оно не может быть диагонализовано.

Групповое пространство как риманово пространство с дальним параллелизмом

Итак, мы показали, что поскольку групповое пространство полупростой группы Ли порядка обладает метрикой то оно может рассматриваться как -мерное риманово пространство. Далее, в этом пространстве всегда может быть введен абсолютный параллелизм с помощью поля векторов (а). Это поле связано с группой преобразований группового пространства, определяемых как

при фиксированном а. Эта группа носит название первой параметрической группы группы G. Определим новую группу преобразований (изоморфную группе G), фиксируя b в композиционной формуле и интерпретируя ее как преобразование, переводящее а в с. Тогда мы получим вторую параметрическую группу, с которой связано новое поле векторов позволяющее определить дальний параллелизм второго рода. Таким образом, в групповом пространстве существуют метрика и два определения дальнего параллелизма.

Оператор Казимира

Поскольку метрический тензор всегда существует для полу простых групп, то мы можем определить в кольце Ли новый оператор, именно оператор Казимира

Оператор Казимира имеет то важное свойство, что он коммутирует со всеми инфинитезимальными операторами, так что

Доказательство проводится непосредственно. Так как оператор С коммутирует со всеми матрицами представления, то, согласно лемме Шура, он должен быть кратен единичной матрице. Таким образом, численное значение, которое оператор С принимает для данного представления,

может быть использовано для характеристики этого представления.

Могут существовать другие однородные формы от операторов коммутирующие со всеми элементами кольца Ли. Они также называются операторами Казимира и используются для характеристики представлений.

Если группа компактна, то, согласно теореме Картана, существует базис, в котором оператор Казимира приобретает вид

Отметим, что мы рассматриваем базис, в котором операторы эрмитовы. В противном случае тензор отрицательно определен и оператор С имеет противоположный знак по сравнению с выражением (4.17).

Пример. Группа трехмерных вращений

Следующая корневая диаграмма группы Ли порядка 3 и ранга 1 изображает ортогональную группу

Нормируя на 1, для кольца Ли получаем соотношения

Эти соотношения связаны с обычными коммутационными соотношениями для эрмитовых операторов группы вращений выражениями

Уравнения (4.18) эквивалентны соотношениям

где — совершенно антисимметричный тензор.

Найдем присоединенное представление группы Возьмем в качестве фиксированного элемента кольца Ли

Присоединенное представление операторов находится вычислением соответствующих матриц с помощью соотношений типа

Затем находим

и элемент А кольца, имеющий вид

будет представлен матрицей

Квадрат элемента А равен

т. е. мы находим, что метрическим тензором группы вращений в базисе будет тензор

Оператор Казимира есть

так что с помощью обычных операторов мы находим для квадрата оператора

Этот пример иллюстрирует тот факт, что тензор на самом деле ведет себя как метрический тензор кольца Ли и что он положительно определен для группы которая является компактной. Следовательно, для характеристики неприводимых представлений могут быть использованы собственные значения оператора

Линейные и нелинейные представления. Пример

Проиллюстрируем на примере, как группа преобразований, по своей форме не являющаяся линейной, может быть представлена матрицами, соответствующими линейным преобразованиям в другом пространстве. Рассмотрим проективную группу

определяемую нелинейными преобразованиями. Она имеет по существу три параметра, так как мы всегда можем поделить числитель и знаменатель на ненулевую функцию параметров. Пусть

и поделим числитель и знаменатель на УД. Получим

где

Этой группе преобразований мы можем поставить в соответствие линейную группу с единичным детерминантом

Если мы положим

то вновь получим группу (4.28), причем группы (4.29) и (4.28) изоморфны и матрицы

действующие в двумерном векторном пространстве, осуществляют представление одномерной проективной группы. Матричная группа (4.31) есть унимодулярная линейная группа в двух измерениях и обозначается Абелева подгруппа получается, если положить Это есть как раз матрица группы трансляций, приведенная выше.

Компактность и связность. Накрывающая группа

Нами был уже определен элемент объема многообразия, представляющего собой группу Ли, и было отмечено, что группа компактна, если ее объем внутри всей области изменения параметров

конечен. Более общим определением, справедливым для всех топологических групп, является следующее: топологическая группа G компактна, если ее групповое пространство 5 компактно в топологическом смысле, т. е. если любое бесконечное подмножество пространства 5 содержит последовательность, сходящуюся к некоторому элементу пространства S. Например, группа компактна, в то время как нет.

Другим важным топологическим понятием является связность. Рассмотрим две -параметрические группы Ли: Они локально изоморфны, так как обладают одной и той же алгеброй Ли, но отличаются своими глобальными свойствами. Таким образом, одна и та же алгебра Ли может представлять топологически различные группы.

Для определения связности возьмем произвольную точку Р группового пространства 5 группы О. Рассмотрим две замкнутые кривые обе начинающиеся и кончающиеся в точке Р. Здесь t есть параметр, который параметризует замкнутые кривые таким образом, что одной точке кривой соответствует только одно значение параметра t. Далее, в начале кривых и в конце. Если существует функция непрерывная как по s, так и по t, причем такая, что

а значения соответствуют промежуточным кривым, лежащим между то говорят, что эти две кривые гомотопны. Это означает, что они могут быть непрерывно деформированы друг в друга изменением параметра 5 от 0 до 1. Если все замкнутые кривые, исходящие из произвольной точки Р пространства, могут быть деформированы в нуль (гомотопны нулю), то пространство является просто связным. Если существуют замкнутых кривых, которые не могут быть деформированы друг в друга, то пространство является -связным.

Рассмотрим теперь некоторые примеры групповых пространств.

аддитивная группа действительных чисел (или одномерных трансляций). Групповое пространство есть бесконечная прямая; группа некомпактна и просто связна.

ее групповым пространством является окружность. Замкнутая кривая, k раз оборачивающаяся вокруг окружности, не может быть деформирована в кривую, оборачивающуюся вокруг окружности раз. Таким образом, группа компактна и бесконечно связна.

группа трехмерных вращений была ранее параметризована при помощи векторов, направленных по оси вращения и равных по величине углу вращения. Диаметрально противоположные точки на поверхности сферы должны быть отождествлены.

Рассмотрим замкнутую кривую начинающуюся и кончающуюся в точке О и не имеющую с поверхностью сферы общих точек: такая кривая гомотопна нулю. Другая кривая пересекающая поверхность сферы в точке Q, вернется обратно в точку О из диаметрально противоположной точки Q. Очевидно, что не могут быть деформированы друг в друга.

Фиг. 2.

Кривая гомотопна оси, представляющей подгруппу группы Кривые, пересекающие поверхность сферы нечетное число раз, гомотопны оси, в то время как те кривые, которые пересекают поверхность четное число раз, гомотопны нулю. Таким образом, группа дважды связна.

Фиг. 3.

групповое пространство группы превращается в групповое пространство группы таким же образом, как двулистная риманов поверхность становится плоскостью с разрезом.

Изобразим групповое пространство группы в виде двух сфер и отождествим точку Р на первой сфере с диаметрально противоположной точкой Р на второй сфере (фиг. 3). Тогда кривая, начинающаяся в точке О и достигающая поверхности первой сферы в точке Р, перескочит в точку Р второй сферы. Из точки Р она может перейти в другую точку Q на второй сфере, от которой кривая снова может перескочить обратно на поверхность первой сферы в точку Q, чтобы прийти в конце концов в точку О, так что кривая будет замкнутой. Сдвигая точку Р к точке Q и Р к Q, стягивая PQ в нуль и затем стягивая замкнутую кривую ОРО в нуль, можно показать, что наша первоначальная кривая гомотопна нулю. Поэтому все замкнутые

кривые в групповом пространстве группы гомотопны нулю, так что группа компактна и просто связна.

Группа -мерных трансляций. Ее групповое пространство есть -мерное евклидово пространство, и поэтому она просто связна.

Для n-мерная сфера также просто связна.

Фундаментальная группа

Свойства связности топологического пространства лучше всего изучать, связав с ними некоторую конечную группу, называемую фундаментальной группой. Чтобы определить эту группу, рассмотрим два пути не обязательно замкнутые. Мы параметризуем их действительным числом и в пределах так что одно значение параметра и соответствует одной точке на каждой кривой. Если пути а и имеют одно и то же начало и один и тот же конец и могут быть непрерывным образом деформированы друг в друга, то они гомотопны друг другу, и мы будем писать Путь, обратный , определяется как т. е. это тот же самый путь, только проходимый в противоположном направлении. Если конец пути а совпадает с началом пути , т. е. то произведением путей а и будет путь состоящий из обоих путей вместе, так что при при 1- Пулевой путь состоит из одной точки.

Можно показать, что если то путь гомотопен нулевому пути.

Рассмотрим теперь множество всех замкнутых путей, начинающихся и заканчивающихся в определенной точке Р топологического пространства S. Класс всех путей, гомотопных а, обозначается Умножение гомотопных классов определяется как

Геометрически очевидно, что. произведение классов не зависит от конкретного выбора путей а и в каждом классе.

Проверим теперь, что эти классы образуют группу, называемую фундаментальной группой топологического пространства S. Действительно, удовлетворяются следующие аксиомы.

1. Замыкание: если то

2. Ассоциативность: Это следует из

3. Единичный элемент. Это класс нулевых путей [1], поскольку

4. Обратный элемент: так как

Из определения фундаментальной группы следует, что фундаментальная группа просто связного пространства состоит только из единичного элемента — класса нулевых путей. Фундаментальная группа

круга есть бесконечная циклическая группа, состоящая из единичного элемента и целых степеней класса пути, обходящего круг один раз. Фундаментальная группа группового пространства группы состоит из двух элементов. Следовательно, это циклическая группа Мы рассматриваем примеры абелевых фундаментальных групп, но в общем случае фундаментальная группа неабелева.

Теперь мы оценим важность теории конечных групп для теории групп Ли, групповым пространством которых является -мерное многообразие. С такими группами Ли связана фундаментальная группа порядка т.

Два топологических пространства, которые могут быть отображены, друг на друга с помощью одно-однозначного соответствия, имеют одну и ту же связность и одну и ту же фундаментальную группу. Например, -мерная сфера при просто связна, так как она может быть отображена при помощи стереографической проекции на евклидово пространство.

Универсальная накрывающая группа

Можно показать, что для любой многосвязной группы Ли О существует такая просто связная группа О, которая может быть гомоморфно отображена на О. Эта просто связная группа О носит название универсальной накрывающей группы О. Тогда О содержит такую дискретную инвариантную подгруппу А, что изоморфна О. Группы локально изоморфны и имеют одну и ту же алгебру Ли, хотя и различаются своими глобальными свойствами.

Для группы универсальная накрывающая группа имеет своим групповым пространством открытую спираль, гомотопную прямой. Отсюда следует, что для группы универсальной накрывающей является группа одномерных трансляций

Универсальная накрывающая группы есть группа которая просто связна. Элементы группы могут быть отображены на элементы группы при помощи два-однозначного гомоморфизма, так что матрицы U и —U, каждая из которых является точным представлением элемента группы соответствуют одной и той же матрице, связанной с одним элементом группы вращений.

Можно доказать, что универсальная накрывающая О группы G единственна. Все группы Ли, имеющие ту же алгебру Ли, что и О, имеют вид где А — некоторая инвариантная дискретная подгруппа группы

Возвращаясь к примеру группы представим элемент группы при помощи -матрицы с единичным детерминантом определяемой как

Такие матрицы осуществляют линейные преобразования элементов оставляющие инвариантной форму

Два элемента группы, а именно

образуют в группе дискретную абелеву инвариантную подгруппу. Это центр группы Имеем Из общих теорем следует, что факторгруппа должна иметь такую же алгебру Ли, что и причем подобная группа единственна. Это группа так что имеем

Пусть теперь группа О -связна. Ее универсальная накрывающая группа О просто связна. Поэтому каждому элементу группы О соответствует различных элементов ее универсальной накрывающей О. Точное неприводимое представление группы О тогда даст нам -значное представление группы О.

Отсюда можно установить, что если группа О многосвязна, то существуют многозначные представления группы О, являющиеся точными неприводимыми представлениями ее универсальной накрывающей О. Так, неприводимое точное представление группы является двузначным точным представлением группы

Соотношения ортогональности для компактных групп. Характеры

Если группа компактна, то суммирование по элементам группы может быть заменено интегрированием по групповому пространству, причем инвариантным элементом объема является элемент определяемый формулой (3.12). Это так называемое интегрирование Гурвитца. Как и в случае конечных групп, можно построить унитарное представление компактной группы Ли из данного конечномерного представления при условии, что интеграл

сходится.

Для двух различных представлений, обозначаемых индексами и v, выполняются соотношения ортогональности

где — размерность представления

Характер (а) представления группы Ли определяется опять как след матрицы ) и поэтому является функцией координат

точки а группового многообразия. Характеры компактных групп удовлетворяют соотношению ортогональности

Как было сказано ранее, приводимые представления компактной группы Ли вполне приводимы и неприводимые представления эквивалентны унитарным представлениям. Эти два свойства не выполняются для некомпактных групп, которые допускают конечные представления, не эквивалентные унитарным представлениям, и их приводимые представления не являются с необходимостью вполне приводимыми. Унитарные представления некомпактных групп Ли бесконечномерны, и мы дадим соответствующий пример в следующем параграфе.

Группа вращений О3 и ее двузначные представления

Мы уже видели, что унимодулярная унитарная группа в двумерном комплексном пространстве, является универсальной накрывающей группы Следовательно, ее однозначные представления накрывают все однозначные и двузначные представления группы Рассматриваемая как группа преобразований в двумерном комплексном линейном пространстве группа соответствует преобразованию

где

являются комплексными векторами линейного пространства, -матрицы U обладают свойствами

Мы уже упоминали, что матрицы U можно представить в канонической форме

где в явном виде показана зависимость U от трех действительных параметров.

Другая форма для U есть

Легко проверить, что оба условия (4.38) удовлетворены. Можно также написать,

где действительные параметры удовлетворяют условию

откуда следует, что групповое пространство есть трехмерная поверхность гиперсферы в четырехмерном пространстве. Тогда параметры а, определяемые выражением (4.40), представляют собой как раз стереографическую проекцию координат гиперсферы в отображении, ставящем в соответствие точке а евклидова пространства точку на гиперсфере.

Найдем теперь бесконечномерное приводимое унитарное представление группы в гильбертовом пространстве; это позволит нам получить все конечные представления.

Пусть есть вектор в гильбертовом пространстве. Каждому элементу группы мы ставим в соответствие унитарный оператор в гильбертовом пространстве (оператор Q эрмитов), такой, что скалярное произведение двух произвольных векторов не изменяется при преобразовании. Таким образом, если

то

Для бесконечно малых преобразований имеем

где

есть бесконечно малый элемент кольца Ли с генераторами подчиняющимися коммутационным соотношениям (4.20).

Построение гильбертова пространства для

Мы будем строить гильбертово пространство, используя собственные векторы числовых операторов связанных с двумя коммутативными операторами рождения и Эрмитово сопряженные им операторы а и b являются операторами уничтожения. Свойства этих операторов определяются коммутационными соотношениями

Указанные числовые операторы имеют вид

    (4.45)

Собственными значениями операторов являются соответственно положительные целые числа Состояние, представляющее собой общий собственный вектор операторов и соответствующее

собственным значениям обозначается кет-вектором Дирака а эрмитово сопряженное состояние — бра-вектором Дирака Следовательно,

Векторы нормированы так, чтобы

Вакуумный вектор определяется как и обладает свойствами

Все ортонормированные векторы теперь можно получить из вакуумного вектора последовательным применением операторов

причем

Представления кольца Ли группы SU2

Введем теперь операторы

или, в явном виде,

Коммутационные соотношения (4.20) удовлетворяются, так что мы получили представление для операторов вращений в гильбертовом пространстве. Поскольку матрицы а и b бесконёчномерны, то и бесконечномерно. Оно также унитарно, так как выражения (4.51) для генераторов инфинитезимальной группы эрмитовы. Определим оператор

Этот оператор коммутирует с и имеет собственные значения так что

Используя (4.52) и (4.53), находим, что оператор Казимира имеет вид

Различные неприводимые представления группы можно характеризовать собственными значениями оператора или J. Обозначая собственные значения оператора J через у, получаем

и собственными значениями оператора будут Обозначим через т. собственные значения оператора Тогда

Таким образом, мы можем характеризовать состояния числами j и , причем У — положительное полуцелое, а т. принимает значений:

Переопределим базисные векторы в виде

Операторы J и диагональны, так что

Матричные элементы оператора можно найти, действуя оператором на базисный вектор. Имеем

так что единственными нейсчезающими матричными элементами оператора а являются

Аналогично находим

Используя тождество

получаем

и

так что неисчезающие матричные элементы операторов группы вращений окончательно определяются формулами

Теперь очевидно, что представление приводимо, поскольку каждое значение j определяет -мерное подпространство гильбертова пространства, остающееся инвариантным под действием операторов группы вращений. Формулы (4.68) дают все конечномерные неприводимые представления кольца Ли группы когда j принимает все возможные полуцелые положительные значения. Если j — целое, то представление группы однозначно; при j полуцелом оно двузначно (спинорное представление).

Двузначные и однозначные представления конечных вращений

Так как j не изменяется под действием операторов группы вращений, то мы можем определить -мерные матрицы вращений, соответствующие элементу группы с помощью формулы

Это дает для матричных элементов оператора выражение

где — матрицы, соответствующие представлению и определяемые при помощи (4.68).

Если для параметризации вращений использовать углы Эйлера , то получим

Приведем примеры.

При из (4.68) находим

где матрицы Паули. Это дает

При

Это представление эквивалентно обсуждавшемуся ранее присоединенному представлению группы. Находим

Наконец, заметим, что вследствие

имеет место

и поэтому при вращении операторы преобразуются согласно закону

Неприводимые тензорные представления группы O3

Другая форма унитарных представлений группы может быть получена при рассмотрении бесконечно малых вращений трехмерного действительного пространства представления Если вычислить эрмитовы генераторы инфинитезимальной группы (3.35), то

найдем

Полагая

имеем

Новые операторы определяемые как

удовлетворяют коммутационным соотношениям для операторов трех независимых гармонических осцилляторов, а именно

Операторы теперь можно выразить через операторы Имеем

Таким образом, представление „орбитального момента" (4.79) можно задавать в виде операторов в гильбертовом пространстве, порождаемом действием трех операторов рождения на вакуумное состояние определяемое как

Векторы этого гильбертова пространства

образуют пространство представления унитарной -параметрической группы генераторы которой определяются как

Генераторы группы порождают подгруппу группы и, согласно (4.82), соответствующими элементами подалгебры Ли являются

Чтобы найти подпространства, остающиеся инвариантными под действием операторов (4,86), построим два оператора Казимира,

коммутирующие с операторами именно

    (4.87)

и

Здесь оператор диагонален и его собственные значения имеют вид так как

Чтобы построить состояния, являющиеся общими собственными векторами операторов рассмотрим состояния, получаемые из вакуума действием на него однородных полиномов от степени . Они соответствуют собственному значению оператора где — положительное целое число. Например, при или 2 имеем

Видно, что такие состояния соответствуют симметричным тензорам ранга , так как ведет себя как вектор относительно вращений. Получаемый подобным образом симметричный тензор не будет в общем случае собственным состоянием оператора хотя это и есть собственное состояние оператора Собственные состояния оператора С, образуют неприводимые тензорные представления группы и являются линейными комбинациями тензоров ранга . При мы находим, что

Таким образом, есть неприводимый тензор ранга 1. При имеем

где подразумевается суммирование по повторяющимся индексам.

Мы видим, что оператор имеет целые собственные значения, в то время как собственные значения оператора имеют вид где I — положительное целое число. Это свойство может быть доказано в общем случае. Подобным образом мы находим конечномерные представления группы Ой, эквивалентные представлениям, полученным ранее в случае Таким образом, представлениям „орбитального момента" (4.79) или (4.82) соответствуют только однозначные представления группы

В качестве последнего замечания, касающегося группы вращений, мы дадим явное выражение группового закона композиции для случая, когда группа параметризована с помощью координат а, полученных в результате стереографической проекции. Здкор композиции

имеет вид

а находится из равенства

В явной форме это дает

На основании этой формулы могут быть проверены все свойства функции а также вычислены функции для группы вращений.