Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
11.5. ПСЕВДООБРАЩЕНИЕ С ПРЕОБРАЗОВАНИЕМ
Обработку
с использованием преобразований можно с успехом применить для получения
обобщенных обратных матриц. Как видно из соотношения (11.1.6б), матрица
линейного
оператора в спектральном пространстве связана с произвольной матрицей
размера
следующим
образом:
. (11.5.1)
В
тех же обозначениях обобщенная обратная матрица
определяется как
, (11.5.2)
где
-
матрица размера
.
Соотношения (11.5.1) и (11.5.2) являются самосогласованными, поскольку
известно, что для произвольной матрицы
и унитарных матриц
и
выполняется
равенство
[13,
стр. 100].
Если
ранг матрицы
равен
, то,
согласно формуле (8.3.5),
(11.5.3)
и
нетрудно показать, что
. (11.5.4)
В
противоположном случае, когда ранг матрицы
равен
, из формулы (8.3.6) следует, что
(11.5.5)
и
обобщенная обратная матрица преобразования в спектральном пространстве
удовлетворяет соотношению
. (11.5.6)
Укажем
для примера, что обобщенные обратные матрицы относительно матриц максимального
ранга, соответствующих операторам суперпозиции
и
, определяются равенствами
, (11.5.7а)
, (11.5.7б)
. (11.5.7в)
На
рис. 11.5.1 представлены распечатки обобщенных обратных матриц для операторов
свертки одномерных сигналов с использованием преобразований Фурье и Адамара.
Хорошо заметно, что эти матрицы более разрежены, чем исходные матрицы. Более
того, обобщенная обратная матрица оператора циклической свертки с
преобразованием Фурье является диагональной, поскольку, как следует из
равенства (11.2.13), матрица
- диагональная.
Рис. 11.5.1. Обобщенные обратные
матрицы операторов свертки одномерных сигналов с использованием преобразований
Фурье и Адамара.
а - конечная свертка; б - дискретизованная
интегральная свертка; в - циклическая свертка.