Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
8.6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ НЕСОВМЕСТНЫХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Несовместность системы
уравнений
означает, что ни для одной из возможных оценок
система не будет переходить в тождество при подстановке
вместо
. В таких случаях систему уравнений можно преобразовать к виду
(8.6.1)
где
- вектор ошибки, зависящий от
. Найдем
теперь такое значение оценки
, при котором оказывается
минимальной величина ошибки, выражаемая
двумя эквивалентными соотношениями:
(8.6.2а)
(8.6.2б)
Пусть символ
обозначает
псевдообратную матрицу, с помощью которой получается оценка
(8.6.3)
Прибавив и отняв
произведение
внутри обеих скобок соотношения (8.6.2а), получим
(8.6.4)
После перемножения
имеем
(8.6.5)
Два перекрестных
члена будут равны нулю, если
и
. Однако при выполнении этих условий матрица
является
матрицей обращения методом наименьших квадратов, т.
е.
. Тогда ошибка будет равна
сумме двух положительных слагаемых:
(8.6.6)
Второй член равенства
(8.6.6) превращается в нуль, так как
. Следовательно,
ошибка уменьшается до величины
(8.6.7а)
или, что то же самое,
(8.6.7б)
Как и ожидалось,
ошибка равна нулю, если
.
Решение, полученное псевдообращением по методу наименьших квадратов, может быть не единственным. Если при псевдообращении ввести дополнительные условия
и
, при
которых матрица
является обобщенной обратной
(т. е.
), то можно
показать, что оценка, полученная
с помощью этой матрицы (
), является решением с минимальной
нормой в том смысле, что
(8.6.8)
где
- произвольная оценка, найденная методом наименьших
квадратов. Если обобщенная обратная матрица
имеет
ранг
и удовлетворяет определению (8.3.5), то произведение
не обязательно равно единичной матрице, а ошибку
можно найти из соотношений (8.6.7). Если же матрица
имеет
ранг
,
т. е. соответствует определению (8.3.6), то и
ошибка
равна нулю.
В последующих главах
будет показано, как данные теоретические положения применяются для исправления, анализа и кодирования изображений.