Глава 5. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ДИСКРЕТНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ

В гл. 2 были рассмотрены вопросы, связанные с математическим описанием непрерывных изображений. В настоящей главе даны способы формального представления дискретных изображений с использованием как детерминированных, так и статистических моделей.

5.1. ДЕЙСТВИЯ С ВЕКТОРАМИ И МАТРИЦАМИ

В данном разделе коротко рассмотрены встречающиеся в тексте математические действия, выполняемые с векторами и матрицами. Строгий вывод и доказательства теорем и положений, приведенных ниже, можно найти в литературе [1-5].

Вектор

Вектор-столбец  размера  представляет собой совокупность элементов , где , расположенных в виде вертикального столбца

                               (5.1.1)

Вектор-строка  размера  представляет собой упорядоченную совокупность элементов , где , расположенных в виде горизонтальной строки

         (5.1.2)

В книге полужирными строчными буквами будут, как правило, обозначаться вектор-столбцы. Вектор-строка будет обозначаться как транспонированный вектор-столбец:

       (5.1.3)

Матрица

Матрица  размера  представляет собой совокупность элементов  где  и , расположенных в виде строк и столбцов двумерной таблицы

    (5.1.4)

Символ  обозначает нулевую матрицу, все элементы которой равны нулю. Диагональная матрица – это квадратная матрица (когда ), все элементы которой, не лежащие на главной диагонали, равны нулю, т.е. , если . Единичная матрица, обозначаемая символом , есть диагональная матрица, все диагональные элементы которой равны единице. Индекс при символе единичной матрицы указывает ее размеры;  обозначает единичную матрицу размера . Матрица  может быть разделена на блоки (подматрицы) :

.             (5.1.5)

Сложение матриц

Сумма двух матриц  определена только в том случае, когда обе матрицы имеют одинаковые размеры. Матрица  - сумма матриц  и , имеет размеры , а ее элементы .

Умножение матриц

Произведение двух матриц  определено только тогда, когда число столбцов матрицы  равно числу строк матрицы . При умножении матрицы  размера  на матрицу  размера  получается матрица  размера , элементы которой определяются равенством

     (5.1.6)

При умножении матрицы  на скаляр  получается матрица , элементы которой .

Обращение матриц

Если  - квадратная матрица, то матрица, обратная относительно нее и обозначаемая как , обладает следующими свойствами:  и . Если матрица  существует, то матрица  называется неособенной (невырожденной). В противном случае она называется особенной (вырожденной). Если у некоторой матрицы есть обратная, то эта обратная матрица единственна. Матрица, обратная относительной обратной, совпадает с исходной матрицей, т.е.

                            (5.1.7)

Если матрицы  и  неособенные, то

                    (5.1.8)

Если матрица  неособенная, а скаляр , то

.                 (5.1.9)

Обращение особенных квадратных матриц и неквадратных матриц будет рассмотрено в гл. 8. Матрицу, обратную относительно блочной квадратной матрицы

,                      (5.1.10)

можно представить в виде

         (5.1.11)

при условии, что матрицы  и  не являются особенными.

Транспонирование матриц

При транспонировании матрицы  размера  образуется матрица размера , которую обозначают через . Строки матрицы  совпадают со столбцами, а столбцы — со строками матрицы . Для любой матрицы

.                 (5.1.12)

Если , то матрицу  называют симметричной. Для любых матриц  и

           (5.1.13)

Если матрица  неособенная, то матрица  также неособенная и

.          (5.1.14)

Прямое произведение матриц

Левое прямое произведение матрицы  размера  на матрицу  размера  представляет собой матрицу размера

.     (5.1.15)

Аналогично можно определить правое прямое произведение. В этой книге будет использоваться только левое прямое произведение. Прямые произведения  и  могут различаться между собой. Ниже указаны свойства операций умножения, сложения, транспонирования и обращения прямого произведения матриц:

,      (5.1.16)

,           (5.1.17)

,                         (5.1.18)

,                      (5.1.18)

След матрицы

След квадратной матрицы  размера  равен сумме ее диагональных элементов и обозначается как

.                       (5.1.20)

Если  и  - квадратные матрицы, то

.                   (5.1.21)

След прямого произведения двух матриц равен

.        (5.1.22)

Норма вектора

Евклидовой нормой вектора  размера  называется скаляр, определяемый как

.                                (5.1.23)

Норма матрицы

Евклидовой нормой матрицы  размера  называется скаляр, определяемый следующим образом:

.             (5.1.24)

Ранг матрицы

Матрица  размера  имеет ранг , если наибольший из всех ее квадратных неособенных блоков имеет размер . Понятие о ранге используется при обращении матриц. Если матрицы  и  неособенные, а  - произвольная матрица, то

.    (5.1.25)

Ранг произведения матриц  и  удовлетворяет неравенствам

,                                              (5.1.26а)

.                                                           (5.1.26б)

Ранг суммы матриц  и  удовлетворяет неравенству

.                                    (5.1.27)

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением векторов  и  размера  является скаляр

                        (5.1.28)

или

.       (5.1.29)

Матричное произведение векторов

Матричным произведением вектора  размера  на вектор  размера  является матрица

,                     (5.1.30)

где .

Квадратичная форма

Квадратичной формой вектора  размера  является скаляр

,                   (5.1.31)

где  - матрица размера . Часто матрицу  берут симметричной.

Векторная производная

Производная от скалярного произведения  по  есть

,           (5.1.32)

а производная от скалярного произведения  по вектору  равна

.           (5.1.33)

Производная от квадратичной формы  по  есть

.   (5.1.34)