4.2.1. ВЛИЯНИЕ ФОРМЫ ДИСКРЕТИЗИРУЮЩЕГО ИМПУЛЬСА
С учетом вышеупомянутых
предположений дискретизованное изображение можно описать функцией
(4.2.1)
где дискретизирующая функция
(4.2.2)
состоит из
одинаковых импульсов
, образующих
решетку с шагом
.
Для упрощения обозначений пределы суммирования выбраны симметричными. Будем
считать, что дискретизирующие импульсы нормированы так, что
(4.2.3)
При анализе можно полагать, что
дискретизирующая функция была получена пропусканием конечного набора
дельта-функций
через
линейный фильтр с импульсным откликом
. Таким образом,
(4.2.4)
где
(4.2.5)
Подставив выражение (4.2.2) в
(4.2.1), получим формулу для дискретизованного изображения
(4.2.6)
Спектр этой функции имеет вид
(4.2.7)
где
- результат преобразования Фурье
функции
.
Преобразование Фурье конечной решетки дискретизирующих импульсов описывается
следующим соотношением [5, стр. 105]:
(4.2.8)
На рис. 4.2.2 приведен график
функции
.
С увеличением
и
правая
часть формулы (4.2.8) в пределе превращается в набор дельта-функций.
В системе восстановления
изображений непрерывное изображение получается путем интерполяции отсчетов.
Идеальные интерполяционные функции, такие, как
и бесселевы [формулы (4.1.14) и
(4.1.16)], обычно определены на бесконечной плоскости. Если же
дискретизирующая решетка имеет конечные размеры, то на границах отсекаются «хвосты»
интерполяционных функций и вблизи краев восстановленного изображения появляются
ошибки [9, 10]. Однако такие ошибки обычно становятся пренебрежимо малыми при
удалении от границ на 8-10 шагов дискретизации.
Числовые значения отсчетов
изображения получаются путем пространственного интегрирования
по некоторой конечной
площадке - элементу изображения. В сканирующей системе
Рис. 4.2.2. Усеченная
дискретизирующая последовательность и ее спектр.
(рис. 4.2.1) интегрирование фактически
проводится на светочувствительной поверхности фотодетектора. Значение отсчета,
соответствующего
-му
элементу, можно найти по формуле
(4.2.9)
где
и
обозначают наибольшие размеры этого
элемента. Здесь предполагается, что за время интегрирования в системе берется
лишь один отсчет. В противном случае приходится решать сложную проблему
перекрестных искажений. В рассматриваемой системе дискретизации размеры
элемента могут оказаться больше, чем расстояние между отсчетами. Поэтому в
модели допускается, что последовательные (во времени) отсчеты соответствуют
частично перекрывающимся элементам изображения.
Простой заменой переменных
равенство (4.2.9) можно преобразовать к виду
(4.2.10)
Поскольку предполагается, что за
время интегрирования берется только один отсчет, пределы в интеграле (4.2.10)
можно расширить до бесконечности. В такой форме выражение (4.2.10) можно рассматривать
как результат свертки исходного изображения
с импульсным откликом
и последующей
дискретизации этой свертки в конечной области с помощью дельта-функций. Тогда,
пренебрегая эффектами, связанными с конечными размерами дискретизирующей
решетки дельта-функций, получим
(4.2.11)
В большинстве систем
дискретизации дискретизирующий импульс симметричен, поэтому
.
Несложное по форме соотношение
(4.2.11) полезно при оценке эффектов, возникающих при дискретизации с
использованием импульсов конечной ширины. Если спектр изображения ограничен по
ширине, а
и
удовлетворяют
критерию Найквиста, то конечная ширина импульса приводит к тем же результатам,
как если бы исходное изображение перед идеальной дискретизацией подверглось
линейному искажению (смазыванию). В части 4 будут рассмотрены методы
компенсации подобных искажений. Однако конечность размеров дискретизирующего
импульса не всегда является недостатком. Рассмотрим случай, когда спектр
исходного изображения очень широкий, и поэтому оно дискретизируется с
недостаточной частотой. Импульс с конечными размерами фактически осуществляет
низкочастотную фильтрацию исходного изображения, что приводит к сужению
спектра и, следовательно, уменьшает ошибки, вызванные наложением спектров.