10.5. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ АДАМАРА
Преобразование
Адамара [16, 17] основано на квадратной матрице Адамара [18], элементы которой
равны плюс или минус единице, а строки и столбцы образуют ортогональные
векторы. Нормированная матрица Адамара 
-го порядка удовлетворяет соотношению
. (10.5.1)
Среди
ортонормальных матриц Адамара наименьшей является матрица второго порядка
. (10.5.2)
Известно,
что если матрица Адамара порядка (где 
) существует, то делится на 4 без остатка
[19]. Пока не удалось определить, существуют ли матрицы Адамара для
произвольных ,
удовлетворяющих этому условию, однако почти для всех допустимых , доходящих до 200,
найдены правила построения соответствующих матриц. Наиболее просто удается
построить такие матрицы при 
, где 
- целое. Если 
- матрица Адамара -го порядка, то
матрица
(10.5.3)
также
является матрицей Адамара, но порядка 
. На рис. 10.5.1 приведены матрицы
Адамара четвертого и восьмого порядка, построенные с помощью соотношения
(10.5.3).
Рис. 10.5.1. Неупорядоченные
матрицы Адамара четвертого и восьмого порядка.
Хармут
[20] предложил частотную интерпретацию матриц Адамара, имеющих блочную
структуру (10.5.3). Число изменений знака вдоль каждой строки матрицы Адамара,
деленное на два, называется секвентой строки. Можно построить матрицу Адамара
порядка ,
в которой число изменений знака в строках принимает значения от 0 до 
. Унитарные матрицы
с такими характеристиками называются матрицами с секвентным свойством.
Строки
матрицы Адамара, описываемой соотношением (10.5.3), можно рассматривать как
последовательность отсчетов прямоугольных периодических колебаний (сигналов),
период которых кратен 
. Подобные непрерывные функции,
называемые функциями Уолша [21], связаны с импульсными функциями Радемахера
[22]. Следовательно, матрица Адамара описывает преобразование, связанное с
разложением функций по семейству прямоугольных базисных функций, а не по
синусам и косинусам, характерным для преобразования Фурье.
Для
симметричных матриц Адамара порядка двумерное преобразование Адамара
можно представить в виде ряда
, (10.5.4)
где
. (10.5.5)
Переменные
и 
равны цифрам в
двоичном представлении чисел 
и 
соответственно. Так, например, если 
, то 
и 
. Если матрица
Адамара упорядочена, т. е. строки ее переставлены в порядке возрастания
секвенты, то существует другая форма записи преобразования Адамара. В этом
случае
, (10.5.6)
где
, (10.5.7)
причем
(10.5.8)
Графики
базисных функций преобразования Адамара с упорядоченной матрицей для 
представлены на
рис. 10.5.2. Базисные изображения, образованные с помощью матричного
произведения базисных векторов преобразования Адамара размера 
, приведены на рис.
10.5.3. На рис. 10.5.4 дан пример преобразования Адамара (для упорядоченной
матрицы Адамара).
Рис. 10.5.2. Базисные функции
преобразования Адамара при .
Рис. 10.5.3. Базисные изображения
преобразования Адамара при 
.
Черный цвет соответствует
значению +1, белый - значению -1.
Рис. 10.5.4. Преобразование
Адамара изображения «Портрет».
а - исходное изображение; б -
спектр Адамара в логарифмическом масштабе по оси амплитуд; в - спектр с
ограниченными наибольшими гармониками
