Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
12.3. Свойства векторного произведения.
Справедливы свойства
, (6)
, (7)
, (8)
где
,
,
- произвольные векторы,
- скаляр.
Если векторные произведения, входящие
в равенства (6), (7), (8), выразить по формуле (1) через компоненты векторов
,
,
,
то легко получить эти равенства.
Формулы (6) и (7) легко следуют также
из геометрических соображений. Пусть
и
- неколлинеарные векторы. Если в
векторном произведении заменить местами
и
, то площадь параллелограмма,
построенного на
и
, и
перпендикуляр к
и
не
изменятся. Изменится лишь направление
на противоположное, что влечет
изменение ориентации
.
Умножение на положительное число
вектора
увеличивает лишь в
раз площадь
параллелограмма, построенного на
и
, а направление векторного произведения
останется прежним. Если же
, то
.
Заметим еще, что из (6) и (7) следует
также, что
.
Пример 1. Определить угол
треугольника
с вершинами
,
,
. Обозначим искомый угол через
. Таким
образом,
это
угол между векторами
и
. Из второго определения векторного
произведения имеем
,
где
,
,
,
,
.
Отсюда
.
Так как
и
, то необходимо взять
.
Замечание. Если в треугольнике АВС угол
прямой, то
=
; если
- тупой угол, то
; если
- острый угол, то
.
Пример 2 (из механики). Пусть заданы
две точки
и
. К точке
приложена сила,
определенная вектором
. Пусть
. Моментом силы
относительно точки
называется векторное
произведение вектора
на вектор
:
(см. рис. 32,
).
Вектор
(момент силы
) перпендикулярен к векторам
и
и имеет длину,
равную площади параллелограмма, построенного на векторах
и
. Направление же вектора
зависит от той
прямоугольной системы координат, которая задана в этом вопросе.
На рис. 32 взята левая система
координат. Направление
взято так, чтобы векторы
,
,
тоже образовали левую
систему.
Рис.
32