§ 86. Аномальный скин-эффект

Как известно из макроскопической электродинамики, переменное электромагнитное поле затухает в глубь проводника; вместе с полем оказывается сконцентрированным в поверхностном слое проводника также и вызываемый им электрический ток (так называемый скин-эффект). Напомним некоторые относящиеся сюда формулы (см. VIII, § 45, 46).

Квазистационарное электромагнитное поле в металле удовлетворяет уравнениям Максвелла

(металл предполагается немагнитным, так что в нем При этом, разумеется, подразумевается выполненным общее условие применимости макроскопических уравнений: расстояния , на которых поле существенно меняется, велики по сравнению с атомными размерами. Если, сверх того, эти расстояния велики также и по сравнению с длиной свободного пробега электронов проводимости I, то связь плотности тока j с полем Е дается линейными соотношениями, связывающими их значения в одной и той же точке пространства: , где — тензор проводимости. Скин-эффект в этих условиях называют нормальным. Рассмотрим его, предполагая среду изотропной (или кристаллом кубической симметрии); тогда тензор сводится к скаляру, так что

Предположим простейшие геометрические условия, когда металл занимает полупространство ограниченное плоскостью . К металлу приложено однородное внешнее электрическое поле, параллельное его поверхности и меняющееся со временем с частотой . Уравнения (86,1-2) принимают вид

В силу симметрии задачи, распределения всех величин в металле будут функциями только одной координаты Из первого уравнения (86,3) следует тогда, что магнитное поле В везде параллельно плоскости границы. Мы удовлетворим всем уравнениям, предположив, что и электрическое поле Е лежит везде в той же плоскости. При этом автоматически выполнится и необходимое граничное условие исчезновения нормальной к поверхности металла компоненты тока: из следует, что везде и

Исключая В из первых двух уравнений (86,3), находим

Для тангенциального поля, зависящего только от имеем и уравнение принимает вид

где штрих означает дифференцирование по Его решение, обращающееся в нуль при есть

где — амплитуда поля на поверхности металла, а

Величину называют глубиной проникновения поля; она убывает с увеличением частоты поля. Магнитное поле в металле затухает потому же закону; из уравнений (86,3) следует, что Е и В связаны везде соотношением где — единичный вектор нормали к поверхности (направленной внутрь металла, т. е. в положительном направлении оси х), а

Этим соотношением связаны, в частности, и значения полей на самой поверхности металла:

Величину называют поверхностным импедансом металла. Напомним, что его вещественная часть определяет диссипацию энергии поля в металле (см. VIII, § 67).

Для того чтобы имела место связь между током и электрическим полем в той же точке пространства и в тот же момент времени, длина свободного пробега электронов I и время свободного пробега должны удовлетворять условиям должно быть мало по сравнению с характерным расстоянием изменения поля , а мало по сравнению с периодом поля. При нарушении первого из этих условий связь между током и полем перестает быть локальной, возникает пространственная дисперсия проводимости. Нарушение же второго условия приводит к появлению частотной дисперсии проводимости. Для выяснения связи между током и полем надо обратиться тогда к кинетическому уравнению.

Таким образом, характер скин-эффекта зависит от относительной величины трех характерных размеров: Нормальному скин-эффекту, описываемому формулами (86,5-8), отвечает область наиболее низких частот, при которых

При увеличении частоты поля или при увеличении длины пробега (при уменьшении температуры металла) глубина проникновения возрастает. В металлах обычно первым нарушается условие и связь тока с полем становится нелокальной; о скин-эффекте в этих условиях говорят как об аномальном. Мы рассмотрим в этом параграфе предельно аномальный случай, когда

(86,10)

Соотношение же между может быть произвольным.

Решение граничной задачи о скин-эффекте мы начнем со вспомогательной задачи о связи в неограниченном металле между током и переменным во времени и пространстве электрическим полем

Волновой вектор поля предполагается удовлетворяющим неравенствам

(86,11)

отвечающим условиям (86,10). Вместе с полем потому же закону будет меняться и добавка к функции распределения электронов.

В силу условия в кинетическом уравнении можно пренебречь интегралом столкновений по сравнению с членом с пространственными производными . В силу же условия можно пренебречь также и производной по времени .

В силу последнего пренебрежения, кинетическое уравнение для квазичастиц электронной ферми-жидкости снова сводится к уравнению для газа путем переопределения функции распределения замены на из (74,13). В данном случае, после указанных пренебрежений, кинетическое уравнение имеет простой вид

Положив

находим отсюда

Это выражение имеет полюс при При вычислении тока

этот полюс должен обходиться путем замены

Пренебрегая, как обычно, температурным размытием равновесной функции распределения, пишем и преобразуем интеграл по в интеграл по ферми-поверхности по формуле (74,20). Согласно известной формуле дифференциальной геометрии, элемент площади где -элемент телесных углов для направления нормали v к поверхности, а К — гауссова кривизна поверхности, т. е. обратное произведение ее главных радиусов кривизны в данной точке. Заметив также, что направление нормали к ферми-поверхности в каждой ее точке совпадает с направлением скорости получим

Определяя направление v азимутальным и полярным углами и 0 относительно направления к как полярной оси, будем иметь

Интегрирование в (86,14) по переменной производится по отрезку вещественной оси с обходом полюса по полуокружности снизу. Легко видеть, что интеграл по прямолинейным отрезкам (т. е. главное значение интеграла) при этом обращается в нуль, так что остается лишь вклад от обхода полюса. Для этого замечаем, что в силу четности функции ферми-поверхность инвариантна относительно замены поскольку изменение знака меняет также и знак вектора нормали v, отсюда следует, что Интеграл в (86,14) можно поэтому представить в виде

где в скобках стоит сумма интегралов, получающихся друг из друга заменой переменной интегрирования из этого выражения сделанное утверждение очевидно.

В полюсе подынтегрального выражения , т. е. нормаль v перпендикулярна заданному направлению волнового вектора к.

Вычет по переменной дается, следовательно, интегралом

взятым по кривой, представляющей собой геометрическое место точек ферми-поверхности, в которых .

Таким образом, окончательно находим связь тока с полем в виде

(86,15)

где

— вещественный тензор в плоскости, перпендикулярной к; если направление к выбрано в качестве оси то индексы пробегают значения . Вектор j лежит целиком в этой плоскости, т. е. поперечен по отношению к к.

Обратим внимание на то, что вклад в ток возник только от электронов с , т. е. движущихся перпендикулярно волновому вектору. Это естественное следствие приближения, в котором длина свободного пробега рассматривается как сколь угодно большая: при движении под углом к направлению к электрон в своем свободном движении проходит через поле, осциллирующее в пространстве и эти осцилляции погашают суммарное воздействие поля на электрон. В следующем приближении, при учете конечности произведения вклад в ток возникал бы уже от электронов, движущихся в малом интервале углов относительно плоскости, перпендикулярной направлению к.

Перейдем теперь непосредственно к задаче о проникновении поля при аномальном скин-эффекте. Здесь мы имеем дело с задачей о полупространстве, которую надо решать с учетом граничных условий на поверхности металла. Граничные условия для функции распределения зависят от физических свойств поверхности по отношению к падающим на нее электронам. Существенно, однако, что в данном случае в создании тока участвуют в основном лишь электроны, летящие почти параллельно поверхности металла (о них говорят как о скользящих электронах). Для таких электронов закон отражения в значительной степени не зависит от степени совершенства поверхности металла и близок к зеркальному, т. е. электроны отражаются с изменением знака нормальной к поверхности компоненты скорости v при неизменных тангенциальных составляющих (чтобы не прерывать изложение, более подробное обсуждение этого вопроса перенесем в конец этого параграфа).

Зеркальному отражению отвечает граничное условие для функции распределения:

(86,17)

При таком условии задача о полупространстве эквивалентна задаче о неограниченной среде, в которой поле распределено симметрично по обе стороны плоскости При этом электронам, отраженным от границ в задаче о полупространстве отвечают в задаче о неограниченном пространстве электроны, беспрепятственно прошедшие через плоскость со стороны

В задаче о предельно аномальном скин-эффекте можно считать, что поле Е (зависящее только от одной координаты ) направлено везде параллельно плоскости . Согласно (86,15), в той же плоскости лежит и вектор тока j, и потому автоматически удовлетворяется условие равенства нулю на поверхности металла нормальной к ней компоненты тока.

Без предположения для двумерного вектора Е имеем вместо (86,4) уравнение

Будем далее подразумевать временной множитель во всех функциях опущенным, так что будут функциями только от

Функция симметрично продолженная в область непрерывна при Но производная будучи нечетной функцией испытывает при разрыв, меняя знак при прохождении переменной через нуль. Согласно уравнению (86,1), эти производные связаны с магнитным полем соотношением

где — снова единичный вектор в направлении оси . В задаче о полупространстве мы имели бы поэтому при условие , где - поле на границе металла. В задаче о неограниченной среде этому отвечает условие

Умножим уравнение (86,18) с обеих сторон на и проинтегрируем по в пределах от до . В левой стороне уравнения пишем

Поскольку на бесконечности поле обращается в нуль, то первые два интеграла дают как раз разность . В последнем же члене, ввиду непрерывности самой функции можно уже просто интегрировать по частям. В результате приходим к равенству

где и - образы функций

Согласно (86,15), эти фурье-образы связаны друг с другом соотношением Воспользовавшись этим, найдем для фурье-образа поля выражение

(86,19)

где -двумерный тензор, задаваемый своим обратным:

(86,20)

Аргумент функций сгар написан как чтобы напомнить, что здесь фигурирует абсолютная величина вектора к.

Сама функция получается из (86,19) умножением на и интегрированием по Ввиду четности функций имеем

(86,21)

В частности, значение поля на границе металла есть

(86,22)

Для фактического вычисления поверхностного импеданса выберем оси в направлении главных осей симметричного тензора

Вместе с приводится к главным осям и тензор и его главные значения

где — главные значения тензора Интегрирование приводит к результату

(86,23)

Величины зависят только от характеристик формы и размеров ферми-поверхности. Отметим, что импеданс (86,23) оказывается не зависящим вовсе от длины пробега электронов. Для оценки по порядку величины можно считать, что радиусы кривизны ферми-поверхности тогда и

(86.24)

Напомним, что вещественная часть импеданса определяет диссипацию энергии поля в металле. В рассмотренном приближении (не учитывающем столкновений электронов) эта диссипация имеет природу затухания Ландау.

Закон затухания электрического поля внутрь металла при аномальном скин-эффекте не экспоненциален, и потому понятие глубины проникновения не имеет в этом случае того буквального смысла, как в (86,5). Ввиду наличия в подынтегральном выражении в (86,21) осциллирующего множителя , интеграл определяется (при заданном ) в основном областью значений

Существенное убывание функции происходит, когда эти значения Поэтому глубина проникновения по порядку величины равна или

(86,25)

При увеличении частоты эта глубина продолжает убывать, но медленнее, чем при нормальном эффекте. Величины, определяемые выражениями (86,6) и (86,25) (обозначим их как ), сравниваются по порядку величины при Поскольку одна из них убывает как , а другая как ясно, что при одном и том же значении :

Наконец, сделаем некоторые замечания по поводу характера отражения электронов от границы металла. Если поверхность идеальна (без дефектов) и совпадает с какой-либо кристаллической плоскостью, то расположение атомов в ней обладает периодичностью, отвечающей трансляционной симметрии кристаллической решетки. В таком случае при отражении электрона сохраняются наряду с энергией также и тангенциальные компоненты его квазиимпульса Нормальная же компонента квазиимпульса отраженного электрона, определяется по значению падающего электрона уравнением

(86,26)

причем должно быть — отраженный электрон движется по направлению от границы (скорость же падающего электрона Уравнение (86,26) может иметь несколько таких корней, причем, вообще говоря,

Но для скользящих падающих электронов среди этих корней всегда имеется один, отвечающий небольшому изменению квазиимпульса, причем е. отражение является зеркальным в буквальном смысле этого слова). Действительно, для электрона, движущегося почти параллельно границе, производная мала; это значит, что на изоэнергетической поверхности в - пространстве электрону отвечает точка Р, находящаяся вблизи точки экстремума энергии как функции т. е. точки, в которой Но вблизи такой точки, по другую сторону экстремума, всегда существует точка Р, в которой значение производной отличается от значения в точке Р лишь знаком.

Можно показать, что отражение скользящего электрона с подавляющей вероятностью происходит именно с таким изменением квазиимпульса. Более того, это утверждение остается в силе и при отражении от несовершенной поверхности, содержащей шероховатости атомных размеров, когда закона сохранения тангенциальных компонент квазиимпульса, строго говоря, уже не существует.

Наглядное объяснение состоит в том, что волновая функция скользящего электрона медленно меняется вдоль оси и потому «не чувствует» атомных шероховатостей поверхности.

Интересно, что значение поверхностного импеданса при предельно аномальном скин-эффекте фактически оказывается вообще малочувствительным к характеру отражения электронов. Так, при диффузном отражении (когда все направления отраженного электрона равновероятны вне зависимости от угла падения) значение импеданса отличается от (86,23) лишь множителем 9/8. Граничное условие при диффузном отражении от плоской поверхности формулируется как при При этом, однако, метод Фурье оказывается непригодным и решение задачи должно производиться так называемым методом Винера — Хопфа.