ГЛАВА VIII. КВАНТОВЫЕ ЖИДКОСТИ

§ 74. Кинетическое уравнение для квазичастиц в ферми-жидкости

Кинетическое уравнение для квазичастиц в нормальной ферми-жидкости уже рассматривалось в другом томе этого курса в связи с вопросом о распространении колебаний в этой жидкости (см.; IX, §§ 4, 5); для этих вопросов интеграл столкновений в уравнении был несуществен. Продолжим теперь изучение кинетического уравнения, имея в виду его применение к диссипативным процессам, связанным именно со столкновениями.

Квазичастицы в ферми-жидкости обладают спином 1/2. Соответственно этому, в общем случае их функция распределения является матрицей по отношению к спиновым переменным. Но в широкой категории задач достаточно рассматривать распределения, не зависящие от спиновых переменных. В таких случаях функция распределения сводится к скалярной функции , нормированной так, что есть число квазичастиц (в единице объема) с импульсами в интервале и с заданной проекцией спина; это и будет подразумеваться ниже в §§ 74—76.

Характерное свойство спектра ферми-жидкости состоит в том, что энергия квазичастиц является функционалом от функции распределения. Когда последняя меняется на малую величину,

(-равновесное распределение), энергия меняется на

где - функция взаимодействия квазичастиц. Таким образом, распределению (74,1) отвечает энергия квазичастиц

где - энергия, отвечающая равновесному распределению.

Кинетическое уравнение гласит:

Его характерная особенность состоит в том, что в неоднородной жидкости левая часть уравнения содержит член с производной даже в отсутствие внешнего поля за счет зависимости от координат, вносимой выражением (74,3).

Интеграл столкновений в правой стороне уравнения (74,4) имеет вид

где - функции импульсов сталкивающихся квазичастиц. Закон сохранения импульса при столкновениях предполагается уже учтенным, так что интегрирование в (74,5) производится поэтому всего по двум (а не по трем) импульсам. Сохранение же энергии обеспечивается -функцией, выписанной в явном виде. Наконец, w — функция импульсов, определяющая вероятность столкновения. Первый и второй члены в фигурных скобках определяют соответственно числа квазичастиц, приходящих в заданное квантовое состояние и уходящих из него в результате столкновений. Эти члены отличаются от аналогичных членов в интеграле столкновений больцмановского газа множителями Появление этих множителей связано со статистикой Ферми, в силу которой столкновения могут привести квазичастицы лишь в еще не занятые состояния.

К столкновениям квазичастиц в ферми-жидкости борновское приближение, вообще говоря, неприменимо. Тем не менее вероятности прямого и обратного процессов рассеяния можно считать одинаковыми. Мы рассматриваем величины, уже усредненные по направлениям спинов квазичастиц. В этих условиях вероятность рассеяния оказывается зависящей только от начальных и конечных импульсов сталкивающихся квазичастиц. Это обстоятельство позволяет применить здесь те же соображения, которые были использованы в § 2 при выводе принципа детального равновесия в форме (2,8). При этом существенно, чтов ферми-жидкости по-прежнему имеет место инвариантность относительно пространственной инверсии. Таким образом, приходим к равенству

уже использованному в интеграле столкновений (74,5). Функция w зависит, вообще говоря, от чисел заполнения состояний и тем самым — от температуры. Но ввиду малости температуры (существенной для всей теории ферми-жидкости) под в интеграле столкновений следует понимать функцию, вычисленную для .

Как и следовало, интеграл (74,5) тождественно обращается в нуль при подстановке в качестве равновесной функции распределения Ферми

Действительно, заметив, что

сразу видим, что в силу закона сохранения энергии имеет место равенство

Выясним с помощью кинетического уравнения, каким образом выражаются, в терминах функции распределения, законы сохранения массы, энергии и импульса ферми-жидкости. Зависимость энергии квазичастиц от их распределения придает этому вопросу определенную специфику.

Проинтегрируем обе стороны уравнения (74,4) по (множитель 2 учитывает два возможных направления спина). В силу сохранения числа квазичастиц при столкновениях, интеграл от обращается в нуль. В левой же стороне уравнения интеграл от члена преобразуем по частям, в результате чего уравнение принимает вид

где N — плотность числа квазичастиц,

-скорость квазичастиц. Это — уравнение непрерывности для квазичастиц, так что i — плотность их потока. В силу совпадения числа квазичастиц в ферми-жидкости с числом истинных частиц, i есть в то же время плотность потока истинных частиц, так что

Произведем теперь с уравнением (74,4) те же операции, предварительно умножив обе его стороны на . Интеграл от обращается в нуль в силу сохранения суммарного импульса квазичастиц при столкновениях.

Левая же сторона, написанная в векторных компонентах, дает

Подынтегральное выражение во втором члене переписываем в виде

Интегрирование обращает третий член в нуль, а второй дает производную от плотности энергии жидкости Е; напомним, что энергия квазичастид в ферми-жидкости определяется именно по вариации внутренней энергии:

Таким образом, получаем уравнение сохранения импульса в виде

где тензор плотности потока импульса

(74,10)

Наконец, умножив обе стороны уравнения (74,4) на и проинтегрировав, аналогичным образом получим уравнение сохранения энергии,

где плотность потока энергии

(74,11)

В равновесии все потоки i, q, обращаются в нуль. Получим для них выражения, линейные по малой поправке в возмущенном распределении (74,1).

Равновесная функция зависит только от энергии квазичастицы, причем сама эта энергия отвечает именно равновесному распределению. Отметив это обстоятельство индексом нуль , запишем определение (74,1) в более точном виде;

(74,12)

Если же выразить в функции реальной энергии квазичастицы , то надо написать

и тогда возмущенная функция распределения представится в виде

(74,13)

Поскольку в интегралах (74,8-11) - уже реальные энергия и скорость квазичастицы, то достаточно подставить в них в виде (74,13) и мы сразу же получим

(в последнем выражении использовано также (74,9)). Теперь, когда выделены члены первого порядка по в интегралах (74,14) уже можно, конечно, понимать как

Подобно тому, как мы это уже неоднократно делали, представим в виде

В данном случае выделение множителя имеет особый смысл. Возмущение сконцентрировано в зоне размытости распределения Ферми. В той же зоне заметно отлична от нуля и производная , после выделения этого множителя остающаяся функция будет уже медленно меняющейся. Наряду с (74,15) будем писать

(74,16)

где

В нулевом приближении по малому отношению функцию можно заменить ступенчатой функцией, обрывающейся на граничной энергии Тогда

(74,18)

и интегрирование по сводится к интегрированию по ферми-поверхности Элемент объема между двумя бесконечно близкими изоэнергетическими поверхностями в импульсном пространстве равен

где - элемент площади изоэнергетической поверхности.

Поэтому интегрирование по преобразуется в интегрирование по ферми-поверхности формулой

(74,20)

где - значение скорости на ферми-поверхности. В (74,20) еще не использована сферичность поверхности; на сфере с постоянным

После такого преобразования определение (74,17) принимает

где обозначает импульс (с переменным направлением!), на ферми-поверхности. Выражение потока частиц:

и аналогично для потока импульса. В потоке же энергии приближение (74,18) заведомо недостаточно: оно свело бы q просто к конвективному переносу энергии — первому члену в выражении

(74,23)

Для проведения линеаризации интеграла столкновений надо заметить, что он обращается в нуль равновесным распределением как функцией реальной энергии Поэтому линеаризация осуществляется подстановкой в виде (74,13), (74,16). Вычисления производятся подобно тому, как это было сделано при переходе от (67,6) к (67,17). Пишем выражение в квадратных скобках в (74,5) в виде

и замечаем, что

В результате получим

(74,24)

Обратим внимание на то, что искомое (при решении кинетического уравнения) возмущение функции распределения входит в интеграл столкновений в виде того же которое фигурирует и в выражениях потоков (74,14). Если в левой стороне кинетического уравнения (74,4) членов с вообще не надо учитывать (как в задачах о вычислении коэффициентов теплопроводности и вязкости — см. следующий параграф), то функция взаимодействия квазичастиц не фигурирует явным образом в системе получающихся уравнений: уравнения с -функцией для неизвестного такие же, какими они были бы при для неизвестного Другими словами, в таких задачах «ферми-жидкостные» эффекты не проявляются, и задачи формально тождественны с таковыми для ферми-газа.

Покажем, что такая же ситуация имеет место и в определенной категории случаев, когда в левой стороне кинетического уравнения должны быть сохранены члены первого порядка по . При независящей от координат функции эти члены таковы:

С из (74,13) они сводятся к виду

Если производной по времени можно пренебречь, то и здесь будет фигурировать только .

Эти утверждения сохраняют силу не только для электрически нейтральной ферми-жидкости, о которой здесь идет речь, но и для электронной жидкости в металлах, которая будет рассматриваться в следующей главе. Имея в виду этот объект и чтобы не возвращаться вновь к этому вопросу, сделаем уже здесь несколько дополнительных замечаний.

Если квазичастицы несут электрический заряд , то в присутствии электромагнитного поля в производной

Соответственно в левой стороне кинетического уравнения появляется член

Электрическое поле обычно предполагается слабым и в члене — достаточно положить Член же с магнитным полем обращается тождественно в нуль для функции зависящей только от . Но если поле сильное, то может оказаться необходимым сохранение также и членов первого порядка по . Эти члены таковы:

. В фигурной скобке можно внести множитель , зависящий только от , под знак (его производная направлена вдоль v и дает нуль при умножении на ). В результате эти члены сведутся к виду

снова содержащему только