§ 49. Квазилинейная теория затухания Ландау

Изложенная в §§ 29 — 32 теория плазменных колебаний основана на решении кинетического уравнения в линейном приближении теории возмущений. Условие ее применимости состоит в малости поправки к функции распределения (29,2) по сравнению с невозмущенной функцией

Для слабозатухающих плазменных колебаний с частотой и волновым вектором необходимо, таким образом, чтобы была

Для максвелловской плазмы это условие (после возведения обеих его сторон в квадрат) можно записать так:

В таком виде оно имеет простой физический смысл: плотность энергии волнового поля должна быть много меньше плотности кинетической энергии электронов плазмы.

Условие (49,2) обеспечивает малость поправки для основной массы электронов. Но и при его выполнении существует относительно небольшое число частиц, для которых условие (49,1) может нарушаться, - частицы, движущиеся почти в фазе с волной да и тем самым принимающие участие в затухании Ландау (резонансные частицы); даже слабое поле может существенно изменить их функцию распределения. Это изменение будет нелинейным эффектом, и потому его характер существенно зависит от спектрального (по и по к) состава волнового поля; дело в том, что лишь в линейном приближении различные фурье-компоненты поля независимы в своем воздействии на частицы.

Мы будем рассматривать здесь электромагнитные возмущения в плазме, представляющие собой совокупность плазменных волн с волновыми векторами, пробегающими непрерывный ряд значений в некотором интервале

Если начальное возмущение содержит широкий спектр волновых векторов то затухание Ландау распространяется на большое число электронов, находящихся (в смысле воздействия на них поля) в одинаковых условиях. В результате искажение функции распределения окажется относительно малым при всех скоростях; линейная теория (при условии (49,2)) будет, следовательно, применима для всего хода эволюции возмущения.

Напротив, если возмущение содержит волновые векторы лишь в узком интервале вокруг некоторого значения для которого , то резонансный интервал скоростей электронов

тоже мал и расположен вокруг значения . В затухании Ландау будет, следовательно, участвовать сравнительно небольшое число электронов и их функция распределения может в результате сильно измениться.

Количественную теорию этого явления мы изложим для случая, когда возмущение представляет собой почти монохроматическую волну, амплитуда и фаза которой модулированы в пространстве по некоторому статистическому закону. Спектр значений к начального возмущения узок,

но и в то же время

где — порядок величины амплитуды потенциала электрического поля волн (смысл этого условия выяснится ниже); отметим, что в силу (49,2) (где ) выражение в правой стороне неравенства (49,5) мало: . Мы будем также считать поле в среднем однородным по всему объему плазмы; это значит, что квадрат усредненный по статистическому распределению фаз и интенсивностей волн, не зависит от координат (такое усреднение эквивалентно усреднению по участкам пространства с размерами ).

Представим поле Е в начальный момент времени в виде интеграла Фурье:

где в силу условия вещественности Предположение (49,4) о характере начального возмущения означает, что интегрирование в (49,6) фактически ведется лишь в окрестностях точек Условие же пространственной однородности возмущения легко сформулировать, написав квадратичный тензор в виде двойного интеграла:

После усреднения по статистическому распределению, это выражение должно оказаться не зависящим от . Для этого среднее значение должно содержать -функцию Имея также в виду продольность плазменных волн, напишем

Это соотношение надо рассматривать как определение величин, обозначенных здесь символически посредством Отметим, что эти величины вещественны. Выражение (49,7) отлично от нуля лишь при и симметрично по отношению к перестановкам . Поэтому а перемена знака к эквивалентна комплексному сопряжению. Средний квадрат выражается через эти величины согласно

Интегрирование в (49,6), а потому и в (49,8), производится, как уже указывалось, по окрестностям точек . Удобнее, однако, исключить из рассмотрения вектор представив (49,6) в виде

где интегрирование производится уже только по окрестности точки означает комплексно-сопряженное выражение. Соответственно (49,8) запишется как

(49,10)

а соотношения (49,7) — в виде

Дальнейшая эволюция возмущения (49,9) со временем представится выражением

(49,12)

где - частота плазменных волн, а коэффициенты медленно меняются за счет затухания Ландау. В аналогичном виде представим и функцию распределения электронов

(49,13)

Выражение в фигурных скобках представляет собой быстро осциллирующую в пространстве и времени «хаотическую» часть изменения функции распределения; она исчезает при статистическом усреднении волн.

Член же - медленно меняющееся, усредненное распределение.

Наша цель состоит в получении системы уравнений, определяющих эволюцию усредненных характеристик состояния плазмы — функций . Для того чтобы такая система могла быть замкнутой, эти характеристики должны охватывать собой все электроны, участвующие в интересующих нас нелинейных эффектах. Для этого в свою очередь интервал скоростей (49,3), отвечающий разбросу волновых векторов во всяком случае должен широко перекрывать амплитуду колебаний скорости электронов под влиянием поля резонансных с ними волн. Именно это условие и выражается неравенством (49,5); -порядок величины указанной амплитуды. Действительно, в системе координат, движущейся с фазовой скоростью волны, поле последней статично и представляет собой последовательность потенциальных горбов с высотой . В этой системе резонансный электрон совершает колебания между двумя горбами, причем его скорость меняется в интервале между

Одно из уравнений, связывающих выражает собой затухание Ландау каждой из фурье-компонент поля:

(49,14)

где

(49,15)

есть, согласно (32,6) и (30,1), амплитудный коэффициент затухания волн; множитель 2 в правой стороне уравнения (49,14) связан с квадратичностью величины

Второе уравнение получим, исходя из кинетического уравнения бесстолкновительной плазмы:

Применим его сначала в линейном приближении к отдельной фурье-компоненте возмущения. В последнем члене уравнения, уже содержащем малую величину полагаем . В первом же пренебрегаем медленной зависимостью от t. В результате получим для обычное выражение

причем, как всегда, в дальнейших интегрированиях надо понимать как

Далее подставим в (49,16) полные выражения Е и f в виде (49,12) и (49,13) (с из (49,17)) и произведем усреднение по статистическому распределению волн с помощью (49,11). Все линейные по возмущению члены при этом исчезают, квадратичные же члены определят производную в виде

Заменив разность в квадратных скобках, согласно (29,8), на получим окончательно

где

Уравнения (49,14) и (49,18) составляют искомую полную систему. Основанную на этих уравнениях теорию плазменных волн называют квазилинейной.

Уравнение (49,18) имеет вид уравнения диффузии в пространстве скоростей, причем играет роль тензора коэффициентов диффузии (индекс ) напоминает о том, что эта «диффузия» связана с эффектами нелинейности). Эти коэффициенты как функции скорости электронов отличны от нуля в интервале вблизи связанном с разбросом согласно (49,3). В этой области скоростей и будет происходить диффузия и соответственно возникает искажение функции распределения (остающейся максвелловской для всей остальной массы электронов). Характер этого искажения очевиден из общих свойств всяких диффузионных процессов: диффузия приводит к сглаживанию, т. е. в данном случае к возникновению в «хвосте» функции плато ширины как это изображено схематически на рис. 13. Отметим, что при таком характере искажения изменяется главным образом производная , а само значение остается близким к максвелловскому.

Оценим время релаксации этого процесса, Поскольку речь идет о выравнивании на интервале то

(49,20)

Для оценки коэффициента диффузии замечаем, что согласно (49,10)

Наличие же в подынтегральном выражении в (49,19) -функции эквивалентно, по порядку величины, умножению интеграла на Таким образом,

(49,21)

Наконец, выразив через амплитуду колебаний потенциала и подставив (49,21) в (49,20), найдем

В изложенном рассмотрении подразумевается, конечно, что время мало по сравнению со временем затухания Ландау: в противном случае волны затухнут, прежде чем успеют проявиться эффекты нелинейности.

Рис. 13.

В то же время применимость уравнения (49,14) предполагает малость времени по сравнению со временем свободного пробега электронов: где — средняя частота столкновений. Последнее условие, однако, не гарантирует еще законности пренебрежения столкновениями в рассматриваемом явлении (т. е. законности использования здесь кинетического уравнения в виде (49,16)): для конкуренции с нелинейными эффектами существенно не общее время столкновительной релаксации, а лишь время столкновительной релаксации в интервале скоростей ; обозначим его как .

Поскольку речь идет о релаксации в интервале , расположенном вблизи значения и в котором содержится лишь относительно малая доля всехэлектронов, то ситуация аналогична той, с которой мы имели дело в задаче об убегающих электронах. Процесс представляет собой диффузию в импульсном пространстве с коэффициентом диффузии

(коэффициент при в плотности потока в импульсном пространстве (45,5)).

Искомое время столкновительной релаксации в интервале Ди отличается от (49,20) заменой на

(49,24)

При

(т. е. ) нелинейные эффекты не играют роли: столкновения успевают поддерживать максвелловское распределение вблизи несмотря на возмущение от волнового поля; соответственно коэффициент затухания Ландау будет даваться обычным выражением, отвечающим максвелловскому значению производной в окрестности . Таким образом, неравенство (49,25) есть условие применимости строго линейной теории затухания Ландау. Напомним в то же время, что излагаемая квазилинейная теория справедлива при гораздо более слабом условии (49,2). Условие (49,25) можно представить в виде

где — параметр газовости. Малость множителя, заключенного в квадратные скобки, демонстрирует слабость условия (49,2) по сравнению с (49,25).

В обратном предельном случае, при , нелинейные эффекты приводят к сильному уменьшению производной в указанной области, грубо говоря, в отношении . Соответственно уменьшается коэффициент затухания Ландау.