§ 82. Кинетические коэффициенты металла. Низкие температуры
В количественном исследовании кинетических явлений при низких температурах мы будем иметь в виду случай открытых ферми-поверхностей, соответственно чему не будем специально заботиться о процессах переброса.
Прежде всего покажем, что релаксация в фононной системе осуществляется (при
) в основном за счет фонон-электронных, а не фонон-фононных столкновений.
Для оценки фонон-электронного интеграла столкновений (79,10) замечаем, что при низких температурах
и поэтому
. Интегрирование по
производится по объему слоя толщины
вдоль ферми-поверхности. Ввиду малости
аргумент
-функции можно представить в виде
-функция устраняется интегрированием по направлениям
(или, что то же, по направлениям
) при заданном к, что вносит в подынтегральное выражение множитель
Наконец, w оценивается по формуле (79,18). В результате найдем
т. е. эффективная частота столкновений
Эффективная же частота фонон-фононных столкновений при низких температурах, согласно оценке (69,15):
что и доказывает сделанное утверждение.
Ниже мы будем пренебрегать фонон-фононными столкновениями. Тогда кинетическое уравнение для фононов имеет вид
Это уравнение может быть решено в явном виде относительно фононной функции
Поскольку к в этом уравнении заданная величина, то функция
может быть вынесена из содержащего ее интеграла и получается
Легко видеть, что
Действительно, из определения функции видно, что
(интегралы в числителе и знаменателе отличаются только множителем
в подынтегральном выражении). Порядок же величины функции
определяется кинетическим уравнением для электронов:
откуда
Эффективная же частота электрон-фононных столкновений оценивается так же, как это было сделано выше для
разница состоит лишь в том, что интегрирование по
в интеграле
производится по объему импульсного пространства
(вместо объема
при интегрировании по
в интеграле
):
Наконец, заметив, что
, находим
что и требовалось доказать.
При вычислении электро- и теплопроводности (но не термоэлектрического коэффициента — см. ниже) можно пренебречь малой величиной
Подставив затем выражение
из (82,5) в электрон-фононный линеаризованный интеграл столкновений (представленный в виде (79,11)), получим
где
обозначает результат подстановки
в интеграл
Первый член в (82,9) есть интеграл столкновений электронов с равновесными фононами, а второй можно назвать интегралом столкновений между электронами через посредство фононов.
Введем (как это уже делалось в § 79) в качестве независимых переменных в функции
величину
и вектор
проведенный в направлении
и оканчивающийся на ферми-поверхности. Оба члена в (82,9) содержат в своих подынтегральных выражениях разность
(82,10)
причем
где х — проекция вектора к на плоскость, касательную к ферми-поверхности в точке
.
По переменной
функция
существенно меняется на интервалах
разность же
. В этом смысле зависимость
от переменной
является медленной, и в первом приближении можно положить в разности
т. е. заменить ее на
(82,11)
Зависимость же от переменной
является сильной в том смысле, что разность
совпадает, по порядку величины, с тем интервалом, на котором функция
существенно меняется.
Обозначим оператор, получающийся из
заменой (82,10) на (82,11), через
тогда
представится в виде
причем
Кинетическое уравнение для электронов (при наличии как электрического поля, так и градиента температуры) имеет вид
Два члена в правой стороне имеют существенно различный физический смысл: первый ответствен за быструю релаксацию по энергии, а второй за медленную, «диффузионную», релаксацию по направлениям квазиимпульса.
Отметим два очевидных свойства оператора
Во-первых, он обращается в нуль для всякой функции, зависящей только от
(так как обращается в нуль разность (82,11)). Во-вторых, обращается в нуль интеграл
(82,13)
оператор LB описывает столкновения с изменением только энергии, и равенство (82,13) означает просто сохранение числа электронов с заданным направлением
.
Будем искать решение кинетического уравнения в виде
(82,14)
где
- функция только от причем
Тот факт, что функция
(обращающая в нуль часть
интеграла столкновений) велика, выражает собой быстроту процесса релаксации по энергиям. Подставив (82,14) в (82,12) и пренебрегая относительно малым членом
, получим уравнение
(82,15)
Оба члена в его правой стороне, вообще говоря, одинакового порядка величины. Но при вычислении коэффициентов электро- или теплопроводности существен каждый раз лишь один из этих членов.
В этом легко убедиться, вспомнив, что линеаризованный электрон-фононный оператор
(а с ним и операторы
) при воздействии на функцию
не меняет ее четности по переменной
Имея это в виду, разделим функцию
начетную
и нечетную
по
части:
(независящая от
) функция а по определению четна). Подставив
в (82,15) и отделив нечетные и четные по
члены уравнения, получим два уравнения:
(82,16)
в левой стороне уравнений скорость v заменена, с достаточной точностью, независящей от
скоростью
на ферми-поверхности. Второе из этих уравнений проинтегрируем еще по
; ввиду свойства (82,13) член с
в результате выпадает и остается
(82,18)
Тепловой поток (при Е = 0) целиком определяется решением уравнения (82,16), содержащего только оператор
— как и следовало ожидать, он зависит от процессов релаксации по энергиям электронов.
По решению уравнения (82,16) тепловой поток вычисляется как интеграл
(82,19)
четная по
часть функции
не дает вклада в интеграл ввиду нечетности получающегося под интегралом выражения.
Оператор
- основная часть электрон-фононного интеграла столкновений. Отвечающая ему эффективная частота столкновений есть поэтому
из (82,7); об этой величине надо, точнее, говорить как об эффективной частоте столкновений по отношению к обмену энергией. Соответствующая длина пробега электронов есть
Коэффициент же теплопроводности можно оценить по газокинетической формуле (7,10):
. В данном случае
-плотность числа электронов, с — электронная часть теплоемкости (отнесенная к одному электрону проводимости),
Величины N и
от температуры не зависят, теплоемкость электронной ферми-жидкости пропорциональна Т, а согласно (82,7) длина пробега
Поскольку вычисленный таким образом тепловой поток относится к
коэффициент в нем есть не сам коэффициент теплопроводности
, а сумма
(см.
). Таким образом,
. Член
однако, оказывается малым по сравнению с
(см. ниже примечание на стр. 417); поэтому и
Положив для грубой оценки
(обычные единицы; ср. IX, (1, 15)), получим
(82,2°)
Электропроводность определяется решением уравнения (82,18), содержащего только оператор
- как и следовало ожидать, электрический ток зависит от процессов релаксации по направлениям квазиимпульсов электронов. В начале § 81 было отмечено, что эти процессы имеют характер диффузии вдоль ферми-поверхности. В следующем параграфе будет показано, каким образом кинетическое уравнение (82,18) может быть действительно приведено к виду уравнения диффузии. Закон же температурной зависимости электропроводности может быть выяснен уже путем следующих простых рассуждений.
Перемещение вдоль ферми-поверхности происходит малыми скачками на расстояния
эта величина играет роль «длины свободного пробега» в импульсном пространстве
частота же «актов рассеяния» совпадает с частотой электрон-фононных столкновений
Коэффициент диффузии вдоль ферми-поверхности можно оценить по газокинетической формуле
написав в ней
в качестве I и v. Таким образом, получим (обычные единицы)
(82,21)
Отсюда можно найти время релаксации, которое должно фигурировать в оценке электропроводности согласно (78,16): о
Это время, за которое квазиимпульс электрона меняется на величину порядка его самого. Другими словами, за время
электрон должен продиффундировать вдоль ферми-поверхности на расстояние
Но при диффузионном перемещении средний квадрат смещения пропорционален времени (и коэффициенту диффузии). Отсюда находим соотношение
и затем для проводимости (обычные единицы):
Таким образом, при низких температурах проводимость пропорциональна
).
Остановимся на вопросе о термоэлектрическом коэффициенте. Ситуация здесь аналогична той, которая имеет место при высоких температурах.
Если вычислить ток j по функции
— решению уравнения (82,16), то ввиду нечетности этой функции по переменной
интеграл обращается в первом приближении в нуль, а отличный от нуля результат получается лишь с учетом следующего по
члена разложения подынтегрального выражения. Это приводит (как и при
) к значению термоэлектрического коэффициента (обычные единицы)
(82,23)
вместо «нормального» порядка величины
Другой вклад в термоэлектрический коэффициент возникнет от отброшенного в (82,5) члена
в фононной функции этот вклад связан с эффектом увлечения электронов фононами. Если сохранить этот член, то в интеграле столкновений (82,9) добавится член
(82,24)
Этот член можно перенести затем в левую сторону кинетического уравнения (82,12), где его следует сравнивать с членом
(82,25)
Член (82,24) мал по сравнению с (82,25) в отношении
(оценка, аналогичная (82,8)). Но учет этого члена приводит к появлению в решении
кинетического уравнения слагаемого (пропорционального
), которое не будет уже нечетным по
. Поэтому при вычислении соответствующего вклада в ток никаких дополнительных малостей не возникает и в термоэлектрическом коэффициенте появляется слагаемое
(82,26)
[Л. Э. Гуревич, 1946).
По мере понижения температуры частота электрон-фононных столкновений уменьшается и в конце концов главная роль в создании электро- и теплосопротивления переходит к столкновениям электронов с примесными атомами. Отметим, что ввиду различной температурной зависимости переход к «остаточному теплосопротивлению» происходит позже, чем переход к остаточному электрическому сопротивлению.
В очень чистых металлах может существовать область температур, в которой кинетические свойства металла определяются электрон-электронными столкновениями. Соответствующая длина свободного пробега в электронной жидкости в металле, как и во всякой другой ферми-жидкости, зависит от температуры как
причем малым параметром разложения является отношение
(см. § 75). При
этот пробег должен был бы стать
, так что
(82,27)
Отсюда следует закон температурной зависимости электро- и теплопроводности
(82,28)
(Л. Д. Ландау, И. Я. Померанчук, 1936).