§ 31. Диэлектрическая проницаемость максвелловской плазмы

Применим формулу (29,10) к электронной плазме с равновесным (максвелловским) распределением электронов

где — температура электронного газа (имея в виду включить ниже в рассмотрение также и ионную компоненту плазмы, будем сразу же отличать индексом величины, относящиеся к электронам). Находим

где функция определена интегралом

и введены параметры

Величина есть некоторая средняя тепловая скорость электронов; — дебаевский радиус, определенный по заряду и плотности электронов.

Предельные выражения функции для больших и малых значений легко найти непосредственно из определения (31,3). При пишем

Интегралы от нечетных по членов обращаются в нуль, а остальные дают

При производим сначала замену переменной интегрирования после чего разлагаем по степеням х:

Главное значение интеграла от первого (нечетного по u) члена обращается в нуль, а с учетом второго члена находим

С помощью этих формул можно написать предельные выражения диэлектрической проницаемости.

При больших частотах имеем

Здесь введен параметр

— так называемая плазменная (или ленгмюровская) частота для электронов. Как и следовало, в случае пространственная дисперсия приводит лишь к малым поправкам в диэлектрической проницаемости, причем мнимая часть оказывается экспоненциально малой — результат того, что в максвелловском распределении лишь экспоненциально малая доля электронов имеет скорости Независящее от k предельное значение диэлектрической проницаемости

Это выражение относится как к продольной, так и к поперечной проницаемости (см. (28,8)). Его легко получить с помощью простых рассуждений, без использования кинетического уравнения.

Действительно, при поле волны можно считать однородным, и тогда уравнение движения электрона дает , так что создаваемая электронами плотность тока

С другой стороны, имеем

Сравнение обоих выражений и приводит к формуле (31,9).

В обратном предельном случае малых частот имеем

(31,10)

Обратим внимание на то, что пространственная дисперсия устраняет полюс при , который имеет диэлектрическая проницаемость обычной проводящей среды.

Отметим также, что мнимая часть проницаемости оказывается относительно малой (хотя и не экспоненциально) и при малых частотах, на этот раз в результате малости фазового объема электронов, в котором удовлетворяется условие

В § 29 было показано, что функция , определяемая интегралом (29,10), не имеет особых точек в верхней полуплоскости со, а ее особые точки в нижней полуплоскости определяются особыми точками как функции комплексной переменной Но для максвелловского распределения функция

вообще не имеет особых точек на конечных расстояниях во всей комплексной плоскости (т. е. является целой функцией). Поэтому и диэлектрическая проницаемость максвелловской бесстолкновительной плазмы является целой функцией — не имеет вовсе особенностей при конечных .

До сих пор мы рассматривали вклад в диэлектрическую проницаемость, происходящий только от электронной компоненты плазмы. Вклад ионной части вычисляется точно тем же способом и оба вклада в просто складываются; таким образом, приходим к очевидному обобщению формулы (31,2):

(31,11)

Индексы e и i отличают величины, относящиеся к электронам и ионам;

( и - масса и заряд иона). Выражение (31,11) относится к «двухтемпературной» плазме, в которой каждая из компонент имеет равновесное распределение, но с различными температурами, так что друг с другом электроны и ионы в равновесии не находятся. Такой случай возникает естественным образом ввиду того, что большая разница в массе затрудняет обмен энергией при столкновениях электронов с ионами.

Обычно приходится иметь дело с ситуацией, когда ; при этом Учитывая также, что всегда , легко заключить, что в случае вклад ионов пренебрежим, так что справедлива формула (31,7).

В обратном предельном случае имеем

Случай же будет рассмотрен в § 32.

Все вычисления в этом и предыдущем параграфах произведены для продольной части диэлектрической проницаемости. Вычисление поперечной проницаемости представляет меньший интерес. Дело в том, что поперечное поле обычно сводится к обычным электромагнитным волнам, для которых частота и волновой вектор связаны соотношением При этом поэтому пространственная дисперсия мала и диэлектрическая проницаемость дается формулой (31,9). Для этих волн отсутствует также и затухание Ландау; поскольку фазовая скорость волны превышает скорость света, то в плазме нет частиц, которые могли бы двигаться в фазе с волной (строго говоря, доказательство этого утверждения требует релятивистского рассмотрения — см. задачу 4).