3. Появление предельных циклов из сложных предельных циклов.

Рассмотрим теперь те случаи, когда при переходе через бифуркационное значение параметра могут появляться или исчезать предельные циклы. В § 4 мы уже останавливались на том, как при изменении правых частей системы дифференциальных уравнений сложные предельные циклы могут разделяться на несколько циклов или исчезать.

Вернемся снова к этому вопросу в предположении, что правые части являются функциями параметра Так же как и в § 4 настоящей главы, мы используем при этом функцию последования.

Предположим, что при значении мы имеем отрезок без контакта и функцию последования на нем. Опираясь на теорему VI Дополнения 1, о которой мы говорили в начале этого параграфа, можно высказать следующее утверждение: всегда можно указать такое чтобы для всех значений внутри интервала отрезок без контакта оставался отрезком без контакта и на нем существовала бы функция последования для значений где и можно взять не зависящими от При этом функция аналитическая функция для. значений переменных внутри указанных границ (ср. § 4 настоящей главы, п. 3).

Рассмотрим, как при изменении могут появляться и исчезать предельные циклы.

Рассмотрим плоскость и на ней диаграмму Ламерея, т. е. кривую и прямую Замкнутым траекториям (см.

гл. V, § 7) соответствуют значения 5, для которых общие точки кривой и прямой Мы видели (см. гл. V, § 7), что на основании характера поведения функции вблизи ее точки пересечения с прямой можно сделать заключения о поведении траекторий вблизи предельного цикла.

Предположим сначала, что при отрезок без контакта I в точке, соответствующей пересекает грубый предельный цикл, т. е. предельный цикл, у которого (см. § 4 настоящей главы, п. 3). Тогда на диаграмме Ламерея кривая будет при иметь простую точку пересечения с прямой т. е. общую точку, в которой касательная к кривой не совпадает с прямой так что Так как функция последования — аналитическая функция то кривая и ее касательная мало меняются при малых изменениях и следовательно, при значениях достаточно близких к кривая также будет пересекать прямую в точке R, близкой к и не будет иметь других точек пересечения с прямой достаточно близких к R (рис. 312).

Рис. 312.

Это означает, что при всех значениях достаточно близких к мы будем иметь один и только один (соответствующий значениям достаточно близким к 50) предельный цикл, устойчивый или неустойчивый, в зависимости от того, устойчивым или неустойчивым был предельный цикл

Предположим, что значение является бифуркационным и что при этом значении системы (6.22) существует двойной предельный цикл (см. § 4, п. 3), пересекающий отрезок без контакта I в точке, соответствующей значению где Тогда кривая, изображающая функцию последования

в точке, соответствующей значению имеет простое соприкосновение с прямой При малых изменениях параметра общая точка у прямой и кривой может либо исчезнуть, либо разделиться на две простые точки пересечения (рис. 313). Предположим, например, что при значениях общая точка прямой и кривой исчезает, а при разделяется на две. Тогда при изменении параметра от некоторого значения до некоторого значения системы сначала нет предельных циклов, пересекающих отрезок без контакта I, а затем появляется один двойной («полуустойчивый») предельный цикл,

который при дальнейшем изменении параметра разделяется на два простых предельных цикла, из которых один устойчивый, другой неустойчивый. Обратно, полуустойчивый цикл может получиться от слияния двух циклов, из которых один устойчивый, другой неустойчивый.

Аналогично можно было бы рассмотреть более сложный случай, именно случай -кратного цикла при и его разделение на простых циклов или на циклы меньшей кратности, но мы не будем на этом останавливаться.

Рис. 313.

Укажем только, что высказанные соображения могут быть также изложены в иной геометрической форме и сведены к обычной теории бифуркаций, если ввести рассмотренную выше функцию

Очевидно (ср. § 4), корни уравнения

при всяком данном соответствуют предельным циклам.

Мы не будем подробно останавливаться на этой бифуркационной диаграмме, так как она по существу не отличается от бифуркационных диаграмм, рассмотренных ранее, и совершенно аналогичная бифуркационная диаграмма будет подробно рассмотрена для случая появления предельного цикла из состояния равновесия.