ГЛАВА V. ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Мы будем рассматривать в этой главе автономные динамические системы второго порядка (с одной степенью свободы), т. е. такие динамические системы (динамические модели реальных физических систем), движение которых отображается двумя дифференциальными уравнениями первого порядка:

Такие системы представляют собой наиболее общий случай среди тех, которые составляют сейчас предмет нашего рассмотрения. Как уже было сказано, к двум уравнениям первого порядка приводит (при соответствующих упрощающих предположениях), например, исследование различных электротехнических и радиотехнических схем, в частности, рассмотрение лампового генератора при обычных упрощающих предположениях; к таким же задачам приводит исследование многих механических систем, исследование ряда вопросов динамики полета и т. д.

Следует подчеркнуть, что для математического изучения движений подобных физических систем еще недостаточно систем дифференциальных уравнений (5.1): кроме закона движения, выражаемого системой уравнений (5.1), необходимо знать еще многообразие возможных состояний рассматриваемой системы, иначе говоря, фазовое пространство динамической системы, точки которого взаимно однозначно и непрерывно соответствуют состояниям системы.

Но характер фазового пространства должен точно так же быть выведен из физической задачи, как и вид дифференциальных уравнений. Если, например, мы знаем, что наша система приходит к прежнему состоянию при изменении х на то этим самым имеем

указания о характере фазового пространства, о его связности, о его «цилиндричности». Дифференциальные уравнения сами по себе еще не определяют характера возможных движений системы, характера возможных фазовых траекторий в фазовом пространстве, пока это пространство еще не выбрано. Чтобы пояснить это, рассмотрим простейшую линейную систему:

Если х и у — обычные декартовы координаты на фазовой плоскости, то фазовые траектории суть прямые линии. На фазовой плоскости мы имеем континуум «убегающих» движений. Если же х и у — ортогональные криволинейные координаты на торе (например, азимут меридиональной плоскости, а у — полярный угол с вершиной на оси тора), то фазовые траектории для той же системы дифференциальных уравнений образуют либо континуум замкнутых кривых (если соизмеримы), т. е. континуум периодических решений, либо континуум траекторий, всюду плотно заполняющих поверхность тора (если не соизмеримы), т. е. континуум так называемых квазипериодических решений. Этот пример показывает значение природы фазового пространства, его связности, для картины поведения фазовых траекторий. Общие законы поведения, определяемые одним и тем же уравнением интегральных кривых, будут различны в случае плоскости и тора.

В настоящей главе мы ограничимся наиболее важным для применений случаем, когда фазовая поверхность представляет собой обычную плоскость. Позже, в гл. VII, на примерах мы коснемся имеющего существенное значение для механики случая цилиндрической фазовой поверхности, а в гл. VIII рассмотрим также несколько систем с многолистной фазовой поверхностью.