Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 6. Предельные циклы и автоколебанияПосле рассмотрения состояний равновесия перейдем к периодическим движениям, которые, как мы знаем, могут встречаться в системах, описываемых уравнениями
Если
то движение Мы будем называть предельный цикл устойчивым, если существует такая область на фазовой плоскости, содержащая этот предельный цикл, — окрестность
Рис. 240.
Рис. 241. Если же, наоборот, в любэй сколь угодно малой окрестности
Рис. 242. Наряду с устойчивостью предельного цикла как траектории, определение которой было только что дано (ее часто называют орбитной устойчивостью), можно говорить об устойчивости в смысле Ляпунова периодического движения, соответствующего предельному циклу. Именно, периодическое движение
выполняются неравенства:
при любых Устойчивость предельного цикла (равно как и устойчивость в смысле Ляпунова соответствующих периодических движений) определяется знаком его «характеристического показателям
где Для исследования устойчивости периодического движения
Это — система линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами периода
где В рассматриваемой задаче (в силу автономности исходной системы уравнений (5.1)) один из характеристических показателей равен нулю, а другой равен Прежде чем переходить к доказательству сформулированного условия устойчивости предельного цикла, мы остановимся, забегая по некоторым пунктам немного вперед, на принципиальном вопросе о физической интерпретации изолированных замкнутых траекторий — предельных циклов. Если мы потребуем, чтобы в реальных физических системах качественный характер возможных движений сохранялся при произвольных малых изменениях самих систем (на языке математики — при произвольных малых изменениях правых частей системы (5.1)), то, как это мы увидим в дальнейшем, мы этим запретим существование неизолированных замкнутых кривых. В системах, удовлетворяющих этому требованию устойчивости качественного характера движений при малых изменениях динамической системы, — в так называемых «грубых» системах, — могут быть только изолированные замкнутые траектории (только предельные циклы) и притом обязательно с характеристическим показателем, отличным от нуля (поэтому орбитная устойчивость предельного цикла влечет за собой устойчивость по Ляпунову всех соответствующих ему периодических движений). С физической точки зрения представляет интерес следующее замечание, которое можно сделать относительно движений, отображаемых устойчивым предельным циклом. Именно, можно сказать, что для таких движений период и «амплитуда» не зависят от начальных условий в том смысле, что все соседние движения (соответствующие целой области начальных значений — так называемой области устойчивости в большом) асимптотически приближаются к периодическому движению по предельному циклу, которое имеет определенный период и определенную «амплитуду». Вышеприведенные свойства периодических движений, отображаемых предельными циклами с отрицательными характеристическими показателями: а) устойчивость по отношению к малым изменениям самой системы; б) независимость (в указанном смысле) периода и «амплитуды» от начальных условий — составляют характерную черту реальных автоколебательных процессов. Конкретное исследование уравнений вида (5.1), с которыми пришлось иметь дело в различных случаях автоколебаний, также показало на ряде примеров, что если уравнения (5.1) с достаточной точностью отображают законы движения реальной автоколебательной системы, то они обязательно имеют предельные циклы с отрицательным характеристическим показателем, и что стационарные периодичёские процессы действительно отображаются этими предельными циклами. Отсюда мы делаем такой вывод: реальные автоколебательные процессы, устанавливающиеся в системах, достаточно точно отображаемых уравнениями (5.1), математически соответствуют предельным циклам с отрицательным характеристическим показателем. Наличие таких предельных циклов в фазовом портрете рассматриваемой динамической системы является необходимым и достаточным условием для возможности (при надлежащих начальных условиях) существования автоколебаний в системе, т. е. для того, чтобы, система была автоколебательной [3, 5]. Неустойчивый предельный цикл, имеющий положительный характеристический показатель, само собой разумеется, также может содержаться в фазовом портрете «грубых» систем. Однако такой предельный цикл не соответствует реальному периодическому процессу; он играет лишь роль «водораздела», по обе стороны от которого траектории имеют различное поведение. Ясно, что это обстоятельство также имеет существенный физический интерес. Например, наличие неустойчивого цикла дает объяснение так называемого «жесткого» режима, при котором малые начальные отклонения в системе затухают, а большие, наоборот, нарастают.
|
1 |
Оглавление
|