Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 2. Понятие о фазовой плоскости. Представление совокупности движений гармонического осциллятора на фазовой плоскости1. Фазовая плоскость. Положим Зная решение дифференциального уравнения гармонического осциллятора (1.1), нетрудно найти уравнение траектории на фазовой плоскости. Именно, уравнения
являются параметрическими уравнениями фазовой траектории; исключая из этих уравнений
Нетрудно видеть, что это — уравнение семейства подобных (с постоянным отношением осей) эллипсов, причем через каждую точку плоскости проходит один и только один эллипс, соответствующий определенному значению К, т. е. определенному классу начальных условий, а именно одним и тем же начальным значениям полной энергии системы. Вся плоскость х, у в этом случае заполнена вложенными друг в друга эллипсами, за исключением точки
Рис. 12. Все эти эллипсы представляют собой траектории движения представляющей точки. Посмотрим, как будет двигаться изображающая точка по какому-нибудь из этих эллипсов. Легко видеть, что при выбранном нами направлении осей координат движение, представляющей точки будет всегда, по любой траектории, происходить по часовой стрелке, так как в верхней полуплоскости Для того чтобы найти величину фазовой скорости, введем, как это обычно делается в механике, фазовый радиус-вектор
В таком случае фазовая скорость изобразится в виде:
или по (1.6) в виде:
Нетрудно видеть, что фазовая скорость, за исключением случая Мы исследовали характер фазовой плоскости и обнаружили, что периодическим движениям, происходящим в системе, на фазовой плоскости соответствуют замкнутые траектории представляющей точки — в нашем случае эллипсы, по которым двигается изображающая точка с не обращающейся в нуль фазовой скоростью (рис. 12), совершая полный оборот в Допустим теперь, что нам не известен характер движений в системе, но каким-либо образом стал известен характер фазовых траекторий и величины фазовых скоростей. Можем ли мы, пользуясь этим знанием, делать высказывания, касающиеся отображаемых этими кривыми движений? Как мы увидим дальше, общий характер движения, качественные его черты, выявляются уже в характере фазовых траекторий. Фазовая плоскость, разбитая на траектории, дает легко обозримый «портрет» динамической системы; она дает возможность сразу, одним взглядом охватить всю совокупность движений, могущих возникнуть при всевозможных начальных условиях. Мы получили для рассматриваемого случая гармонического осциллятора картину на фазовой плоскости, исходя из готового решения (1.6) уравнения осциллятора. Можно, однако, не пользуясь этим решением, непосредственно из уравнения (1.1) вывести заключения о движении изображающей точки на фазовой плоскости. Именно этот второй путь и представляет особый интерес, так как он позволяет вывести известные заключения о характере движения без знания аналитических выражений интегралов исходного уравнения и, следовательно, применим и в тех случаях, когда такие аналитические выражения, подобные (1.6), не могут быть найдены. 2. Уравнение, не содержащее времени. Чтобы от исходного уравнения (1.1), не интегрируя этого уравнения, непосредственно перейти к картине на фазовой плоскости, поступим следующим образом. Заменим исходное уравнение второго порядка двумя эквивалентными уравнениями первого порядка:
Деля одно из этих уравнений на другое, получим дифференциальное уравнение
Это уравнение определяет так называемые интегральные кривые — кривые, в каждой точке которых касательная имеет наклон (угловой коэффициент выражается дифференциальным уравнением первого порядка. Проинтегрировав уравнение (1.11), мы получили бы уравнение интегральных кривых уже не в дифференциальной, а в конечной форме. В данном, простейшем случае интегральные кривые, как нетрудно видеть, совпадают с фазовыми траекториями. Однако в дальнейшем нам придётся различать интегральные кривые и фазовые траектории, так как может случиться, что одна интегральная кривая состоит не из одной, а сразу из нескольких фазовых траекторий. 3. Особые точки. Центр. Уравнение (1.11) непосредственно определяет в каждой точке плоскости единственную касательную к соответствующей интегральной кривой, за исключением точки Дифференциальное уравнение может иметь, вообще говоря, много особых точек. В нашем случае имеется единственная особая точка интегральных кривых соответствуют различные типы движений системы, классификация особых точек непосредственно связана с поведением системы вблизи особой точки. 4. Изоклины. Итак, уравнение (1.11) определяет поле касательных на фазовой плоскости. Нетрудно отдать себе отчет в характере этого поля, если построить семейство изоклин, которые в данном случае будут просто прямыми, проходящими через начало координат (рис. 13). Действительно, пусть мы ищем все те точки фазовой плоскости, где наклон интегральных кривых равняется и
где
Рис. 13. Нетрудно видеть (давая Уравнение (1.11) не дает, однако, ответа на вопрос о том, в какую сторону и с какой скоростью будет двигаться изображающая точка на фазовой плоскости. Уравнения же (1.10) определяют фазовую скорость как по величине, так и по направлению; действительно,
Рис. 14. Если принять во внимание и направление, то целесообразно вместо ноля линейных элементов (рис. 13) рассматривать векторное поле (рис. 14), которое характеризует не только направление касательной к интегральной кривой в данной точке, но и направление движения по фазовой траектории. Как мы уже указывали, фазовая скорость Нетрудно, взглянув на рис. 13 и 14, убедиться, что метод изоклин в рассматриваемом случае позволяет сразу получить известное представление о характере траекторий на фазовой плоскости. Конечно, применение метода изоклин в рассматриваемом простейшем случае, когда исходное дифференциальное уравнение (1.11) допускает разделение переменных и, следовательно, легко интегрируется, вряд ли представляет какие-либо преимущества. В самом деле, интегрируя уравнение
получим:
или, полагая
Не следует забывать, что сейчас мы его получили совсем другим путем, не зная решений дифференциального уравнения (1.1). В тех же случаях, когда уравнение, подобное (1.11), не может быть проинтегрировано, метод изоклин позволяет получить достаточно точное представление о характере интегральных кривых на фазовой плоскости, несмотря на то, что аналитическое выражение для этих интегральных кривых не может быть найдено. В этих более сложных случаях применение метода изоклин, как мы увидим в дальнейшем, может принести существенную пользу. 5. Состояние равновесия и периодические движения. Сделаем теперь обратные выводы по отношению к тем, которые мы делали в начале этого параграфа, когда, зная движение, зная зависимость х от Во-первых, мы утверждаем, что все фазовые траектории в нашем случае (кроме траектории точку фазовой плоскости, т. е. имеет через некоторое время то же самое положение и ту же самую скорость, то дальнейшее движение будет совершенно точно совпадать с предшествовавшим, процесс будет повторяться. Нетрудно видеть, что «время возвращения», или, иначе, период движения, является конечным. Действительно, длина нашего эллипса конечна; с другой стороны, фазовая скорость при движении по эллипсу нигде не приближается к нулю (так как она равна нулю только в начале координат, а наши эллипсы не проходят через начало координат). Поэтому изображающая точка Во-вторых, мы утверждаем, что выродившаяся траектория Вообще состояниям равновесия соответствуют такие точки фазовой плоскости, для которых одновременно Вообще говоря, состояниям равновесия динамической системы соответствуют на фазовой плоскости особые точки уравнения интегральных кривых и, обратно, особые точки соответствуют состояниям равновесия. Таким образом, не зная еще возможных движений с количественной стороны, мы знаем качественную характеристику возможных движений. Результаты качественного исследования линейной системы без трения (гармонического осциллятора) могут быть сформулированы таким образом: такая система при любых накальных условиях совершает периодические движения вокруг состояния равновесия
|
1 |
Оглавление
|