6. Фрикционный регулятор.

Рассмотрим еще одну механическую систему, приводящую при определенных упрощающих предположениях к динамической системе первого порядка, — фрикционный регулятор, устройство которого схематически изображено на рис. 188. Такие фрикционные регуляторы применяются в ряде астрономических приборов, в телеграфных аппаратах, в патефонах и т. п. для стабилизации скорости вращения тех или иных осей. Их действие основано на том, что по мере увеличения скорости вращения оси регулятора шары регулятора расходятся и при некотором угле тормозные колодки начинают тереться об ограничительное кольцо, создавая тормозящий момент, который будет больше, чем больше скорость вращения (при росте возрастает сила нажима тормозных колодок на ограничительное кольцо). Этот тормозящий момент, резко возрастающий при увеличении скорости вращения, приводит систему в режим равномерного вращения, скорость которого оказывается сравнительно слабо зависящей от момента сил действующего на ось регулятора со стороны передающего механизма.

Считая все части регулятора идеально жесткими и предполагая, что во время процесса регулирования мы получим

динамическую модель с степени свободы (ее движение будет описываться дифференциальным уравнением первого порядка).

Однако временно для получения выражения зависимости давления тормозных колодок на ограничительное кольцо мы не будем полагать, что и будем рассматривать регулятор как систему с двумя степенями свободы (с обобщенными координатами и Функция Лагранжа для такой системы запишется в виде

где - момент инерции регулятора относительно его оси, — момент инерции шаров регулятора относительно точки потенциальная энергия регулятора. Будем пренебрегать всеми силами трения, кроме сил сухого трения тормозных колодок об ограничительное кольцо. Момент этих сил трения (относительно оси регулятора) мы будем считать пропорциональным моменту сил давления тормозных колодок на ограничительное кольцо (моменту относительно точки О), т. е. будем полагать, что

где функция, пропорциональная коэффициенту трения и поэтому определяемая свойствами трущихся поверхностей тормозных колодок и ограничительного кольца (вид этой функции изображен на рис. 189).

Рис. 189.

Тогда мы получим уравнения движения регулятора в виде следующих уравнений Лагранжа II рода:

или

Полагая в этих уравнениях мы получим, во-первых, выражение для момента сил давления тормозных колодок на ограничительное кольцо:

или

где квадрат той скорости вращения регулятора, при которой положение было бы равновесным и без ограничительного кольца; мы получим, во-вторых, уравнение

движения динамической модели первого порядка:

Состояния равновесия (т. е. режимы равномерного вращения регулятора) очевидно, определяются уравнением

Скорость равномерного вращения 2, конечно, зависит от момента приложенного к оси регулятора со стороны передаточного механизма (эта зависимость, обычно называемая статической характеристикой регулятора, дается в неявном виде уравнением (4.22)). Локально мы можем эту зависимость характеризовать величиной производной

Устойчивость режима равномерного вращения определяется уравнением первого приближения

или

Очевидно, режим равномерного вращения устойчив, если 0, и неустойчив, если

Статическая характеристика регулятора в зависимости от вида функции (от крутизны падающего участка характеристики трения) и от величины параметра регулятора является или однозначной монотонной кривой (рис. 190, а), когда при каждом

Рис. 190.

значении момента система имеет единственный и притом устойчивый режим равномерного вращения, или же имеет -образную форму (рис. 190,5). В последнем случае при система имеет три режима равномерного вращения со скоростями , два из которых устойчивы и один неустойчив. Значения являются бифуркационными. При переходе момента через них в системе имеют место переходы из одного режима равномерного вращения в другой.