§ 3. Качественная картина разбиения фазовой плоскости на траектории. Особые траектории

1. Топологически инвариантные свойства и топологическая структура разбиения на траектории.

Перейдем теперь к основной задаче качественного исследования динамической системы — к установлению качественной картины разбиения фазовой плоскости на траектории. Рассмотрение приведенных в предыдущей главе частных примеров динамических систем приводит к мысли, что для знания качественной картины нужно знать поведение не всех траекторий, а лишь некоторых особых траекторий. Таких особых траекторий в рассмотренных примерах было конечное число, и они разбивали всю совокупность траекторий на области, в которых траектории вели себя одинаково. Особыми траекториями в этих примерах были состояния равновесия, предельные циклы и траектории,

стремящиеся к седлам, — сепаратрисы седел. Если взаимное расположение этих особых траекторий было известно и, кроме того, было известно, какие из состояний равновесия и предельных циклов устойчивы, а какие неустойчивы, то мы получали полную качественную картину фазовых траекторий. Естественно возникают вопросы: всегда ли существует конечное число таких особых траекторий, знание которых позволяет установить качественную картину фазовых траекторий? Как в общем случае эти особые траектории могут быть охарактеризованы и исчерпывают ли или нет особые траектории, встречавшиеся в рассмотренных выше примерах, вообще все возможные типы таких траекторий? Выяснению всех этих вопросов и посвящен настоящий параграф [17, 80].

Однако сначала нужно уточнить смысл некоторых понятий, которыми мы постоянно пользовались, в частности понятий качественной картины фазовых траекторий и качественного исследования данной динамической системы. Для этого нам прежде всего придется напомнить понятие топологического отображения (или преобразования). Как известно, топологическим отображением называется взаимно-однозначное и взаимно-непрерывное отображение плоскости в себя (или одной плоскости в другую), т. е. отображение, при котором каждой точке соответствует одна и только одна точка той же самой (или другой) плоскости; всяким двум различным точкам соответствуют две различные точки кроме того, всяким двум сколь угодно близким точкам соответствуют сколь угодно близкие точки Отображение, обратное топологическому, очевидно, также является топологическим, т. е. взаимнооднозначным и непрерывным. Всякое топологическое отображение плоскости в себя (или плоскости в другую плоскость) может быть задано однозначными и непрерывными функциями

которые однозначно могут быть разрешены относительно

где и — также непрерывные функции. Очевидно, вид кривых, областей и вообще множеств на плоскости при топологическом отображении может измениться очень сильно, однако некоторые свойства кривых, областей и т. д. остаются неизменными. Так, если на плоскости дана замкнутая кривая (например, окружность), то после любого топологического отображения плоскости в себя кривая, в которую она отображается, также непременно будет замкнутой, хотя вид ее может сильно отличаться от вида исходной кривой (кривая, являющаяся топологическим отображением окружности, называется простой замкнутой кривой). Отрезку прямой после топологического отображения может соответствовать уже не отрезок прямой, а некоторая дуга, однако эта дуга заведомо будет дугой без самопересечения (дуга, являющаяся топологическим отображением отрезка, называется простой дугой). Свойства,

остающиеся неизменными при всевозможных топологических отображениях, называются топологически инвариантными свойствами или топологическими характеристиками.

Пусть теперь дана динамическая система (6.1). Она определяет некоторое семейство траекторий или, в другой терминологии, некоторое разбиение плоскости на траектории. Будем рассматривать всевозможные топологические отображения плоскости в себя и смотреть, как при этом изменяется заданное системой (6.1) разбиение на траектории. Очевидно, вид траекторий при этом может сильно измениться, но некоторые черты этого разбиения остаются неизменными или, иначе, топологически инвариантными. Например, остается неизменным число и взаимное расположение замкнутых траекторий, состояний равновесия и т. д.; если состояние равновесия системы (6.1) было седлом, то и после любого топологического преобразования характер его сохранится.

С другой стороны, не трудно видеть, что фокус или узел топологически тождественны, т. е. всегда можно указать такое топологическое преобразование плоскости в себя, при котором узел преобразуется в фокус и наоборот, — геометрически этот факт совершенно нагляден.

Мы можем теперь перейти к уточнению понятия качественной картины фазовых траекторий или топологической структуры разбиения на траектории. Две топологические структуры разбиения фазовой плоскости на траектории, заданные двумя системами вида (6.1), называют тождественными, если существует топологическое (т. е. взаимно-однозначное и непрерывное) отображение плоскости в себя, при котором траектории одной системы отображаются в траектории другой (при этом траектория отображается в траекторию как при прямом, так и при обратном отображении). Это определение тождественности двух структур является косвенным определением самого понятия топологической структуры разбиения на траектории. Можно сказать, что под топологической структурой разбиения на траектории (или, что то же самое, под качественной картиной фазовых траекторий) понимают все те свойства этого разбиения, которые остаются инвариантными при всевозможных топологических отображениях плоскости в себя. Примеры таких свойств были приведены выше.

Мы скажем, что проведено полное качественное исследование динамической системы, если установлена топологическая структура разбиения на траектории этой системы. Как уже указывалось, на основании рассмотренных частных примеров можно думать, что для установления топологической структуры разбиения на траектории нужно знать поведение не всех траекторий, а линь некоторых особых траекторий.