2. Движение тяжелой точки по параболе, вращающейся вокруг вертикальной оси.

В качестве второго примера рассмотрим следующую задачу. Положим, что тяжелая точка массы от может свободно двигаться по параболе, определяемой уравнением и вращающейся с постоянной угловой скоростью вокруг оси (рис. 81). Моделью для этой задачи может служить известная демонстрационная модель — тяжелый шарик в чашке, имеющей форму параболоида вращения. Для составления уравнений движения точки мы могли бы поступить так же, как в предыдущей задаче, именно ввести силы инерции (т. е. снова центробежную силу) и написать уравнения, выражающие второй закон Ньютона для движений в плоскости Мы поступим, однако, несколько иначе, чтобы на частном примере напомнить читателям уравнения Лагранжа второго рода, которые нам понадобятся в скором времени.

Уравнения Лагранжа второго рода имеют вид

где лагранжева функция, которая для обычных случаев механики представляет собой разность между кинетической и

Рис. 81.

потенциальной энергиями, т. е.

Потенциальная энергия системы — это энергия точки в поле силы тяжести, т. е.

Кинетическая энергия составляется из энергии вращения тела вокруг вертикальной оси и энергии движения в плоскости х, z (так как направления этих движений перпендикулярны друг к другу). Следовательно,

Заменяя через — (из уравнения параболы) и составляя лагранжеву функцию (2.33), получим:

где и уравнение Лагранжа напишется так:

или

Полагая имеем:

и, деля одно на другое:

Первый интеграл уравнения (2.32), так называемый интеграл энергии, имеет вид: (В справедливости этого легко убедиться непосредственной подстановкой.) Как видно из выражений для интеграл энергии имеет следующий вид:

Уравнение для рассматриваемого случая напишется так: следователъно, значит, есть бифуркационное

значение параметра. Для разных значений получаются следующие типы движений и состояний равновесия:

1) — одно устойчивое состояние равновесия типа центра Вид интегральных кривых на фазовой плоскости (вложенные одна в другую замкнутйе кривые) изображен на рис. 82. В этом случае точка будет совершать колебания вокруг состояния равновесия .

2) — бесконечное множество состояний равновесия, соответствующих прямой Вид интегральных кривых на фазовой плоскости изображен на рис. 83.

Рис. 82.

Рис. 83.

Точка либо будет покоиться в любом месте параболы, либо будет монотонно двигаться в ту сторону, в которую ей будет сообщена начальная скорость; при стремящемся к бесконечности, скорость стремится к нулю; скорость получается максимальная на вершине параболы.

одно неустойчивое состояние равновесия типа седла; из интеграла энергии сразу видно, что прямые удовлетворяют уравнению движения и являются поэтому интегральными кривыми. Эти интегральные «кривые» соответствуют таким движениям точки по вращающейся параболе, при которых проекция скорости точки на ось х остается постоянной. Общий вид интегральных кривых для этого случая изображен на рис. 84. Если начальная скорость достаточно велика (больше чем

Рис. 84.

то характер движения такой же, как в случае при меньших начальных скоростях точка либо монотонно движется в одну сторону, имея минимальное значение скорости на вершине, либо, не достигая вершины, поворачивает обратно; эти два последних типа движения разделяются двумя интегральными кривыми, проходящими через особую точку, причем по одной из них представляющая точка может двигаться к состоянию равновесия, асимптотически приближаясь к нему.