§ 7. Точечные преобразования и предельные циклы

Как мы видели в гл. III, §§ 3 —5, один из способов нахождения предельных циклов и определения их устойчивости состоит в сведении задачи к некоторому точечному преобразованию, к вычислению соответствующей так называемой функции последования.

1. Функция последования и точечное преобразование.

Понятие функции последования было введено Пуанкаре и состоит в следующем.

Проведем на фазовой плоскости динамической системы

через неособые точки так называемый отрезок без контакта L, т. е. такой отрезок, в каждой точке которого фазовые траектории системы (5.1) пересекают его, не касаясь. Обозначим через его концевые точки и через координату точек отрезка L (мы будем предполагать, что монотонно увеличивается при движении вдоль отрезка от например, за может быть взято расстояние точки отрезка от концевой точки А).

Пусть точка на Рассмотрим траекторию С, проходящую через точку и пусть движение по этой траектории, при котором точка соответствует Проследим траекторию С для значений Может случиться, что при значении траектория С больше не пересекает отрезок Мы скажем тогда, что точка Q «не имеет последующих на отрезке L».

Но может случиться, что траектория С пересекает отрезок L еще раз при значении Пусть первое значение большее при котором С пересекается с соответствующая точка отрезка Мы скажем тогда, что точка «имеет последующую на отрезке (рис. 243).

Рис. 243.

Легко показать, на основании теоремы о непрерывной зависимости от начальных условий, что если какая-нибудь точка имеет последующую, не совпадающую с концами А или В отрезка L, то и все достаточно близкие к точки L также имеют последующие.

Пусть координаты различных точек и их последующих на отрезке Ясно, что является функцией от Эта функция

называется функцией последования и выражает собой закон некоторого точечного преобразования отрезка L (или его части), устанавливая однозначное соответствие между точками этого отрезка (или его части) и их последующими (на том же отрезке Геометрически ясно, что «функцию последования» мы имеем тогда, когда отрезок без контакта пересекает траектории, имеющие характер спиралей или замкнутые. При этом очевидно, что если некоторому значению соответствует замкнутая траектория, то т. е. точка и ее последующая совпадают (такие точки отрезка L, преобразующиеся сами в себя, носят название неподвижных точек точечного преобразования (5.52)). Обратно, отыскание замкнутых траекторий, пересекающих данный отрезок без контакта, сводится к отысканию тех значений 5, для которых Нетрудно также видеть, что в том случае, когда все траектории, пересекающие отрезок L, замкнуты, функция последования имеет вид Пуанкаре доказал ряд свойств функции которые мы приведем без доказательств.

I свойство. Если точка соответствующая имеет последующую на отрезке L, то функция голоморфная функция в точке свойство. Производная всегда положительна.

Первое свойство является, по сути дела, следствием теоремы о том, что решения системы (5.1) с аналитическими правыми частями являются аналитическими функциями от начальных условий, а последнее — следствием теоремы Коши, того обстоятельства, что фазовые траектории не могут пересекаться.

Геометрически последнее свойство означает, что если мы будем двигаться по отрезку L, например, в положительном направлении, то и последующие проходимых нами точек будут двигаться по отрезку L в том же направлении.

Предположим, что некоторая точка отрезка L, соответствующая имеет последующую (не совпадающую с концами А или В отрезка Тогда, в силу сказанного выше, все достаточно близкие к точки также имеют последующие и, следовательно, для всех значений достаточно близких к существует функция последования Будем двигаться по отрезку L от точки в положительном (или отрицательном) направлении, т. е., другими словами, будем, начиная с увеличивать (или уменьшать)

Могут представиться следующие возможности:

1) Или мы дойдем до точки отрезка L, соответствующей для которой последующей будет конец В (или А) отрезка L (рис. 243). Тогда точки L, соответствующие значениям не будут уже, в силу свойства II, иметь последующих на отрезке L и функция последования не будет определена для значений В этом случае мы, вообще говоря, можем удлинить отрезок без контакта и, следовательно, увеличить интервал значений для которых определена функция последования.

2) Или мы дойдем до такого значения что все точки отрезка L, соответствующие значениям на интервале будут иметь последующие, а точка соответствующая не будет иметь последующей на отрезке

Можно показать, что в этом случае траектория, проходящая через точку будет кончаться в особой точке, не пересекая больше В том случае, когда мы имеем лишь простые особые точки, эта точка может быть только седлом.

Может случиться, что точки, соответствующие значениям опять имеют последующие. Таким образом, у нас имеется функция последования для и для Для функция

последования неопределенна (рис. 244 и 245). Однако иногда говорят об этих двух функциях последования (одной для другой для как об одной функции последования, и тогда при значении эта функция будет, вообще говоря, претерпевать разрыв в том смысле, что

Рис. 244.

Рис. 245.