5. Векторное произведение двух векторов.
Векторным произведением
двух векторов называется вектор
(рис. 1.6), направленный перпендикулярно плоскости, в которой, лежат векторы
в ту сторону, откуда поворот от первого сомножителя ко второму на меньший угол виден против хода часовой стрелки, и равный по модулю площади параллелограмма, построенного на этих векторах:
Если векторы
параллельны, то
Для векторов ортогонального трехмерного базиса
в соответствии с определением векторного произведения справедливы соотношения (рис. 1.7)
Вектор с можно представить в виде определителя:
Векторное произведение можно записать и в виде
где
символы Леви-Чивита, которые удовлетворяют условиям: 1)
если в числе индексов
имеется хотя бы два одинаковых значения; 2)
если индексы
различны и являются циклической перестановкой чисел 1, 2, 3;
если индексы различны и не соответствуют циклической перестановке чисел 1, 2, 3.
Рис. 1.6
Рис. 1.7
Рис. 1.8
Так как вектор с можно представить через проекции в виде
то, развернув определитель, получим выражения для проекций вектора с:
В качестве примера векторного произведения рассмотрим момент силы. Если сила
приложена к материальной точке
(рис. 1.8), то момент
силы
относительно точки О
Как следует из рис.
равен удвоенной площади треугольника
Компоненты вектора с можно записать, воспользовавшись символами Леви-Чивита в виде
В прикладных задачах часто один из векторов в векторном произведении неизвестен, например вектор
Для преобразований векторное произведение удобнее представить в виде
где А — кососимметричная матрица вида
Матрица А является вырожденной матрицей, так как ее определитель равен нулю, что необходимо иметь в виду при преобразованиях.