5. Векторное произведение двух векторов.

Векторным произведением двух векторов называется вектор (рис. 1.6), направленный перпендикулярно плоскости, в которой, лежат векторы в ту сторону, откуда поворот от первого сомножителя ко второму на меньший угол виден против хода часовой стрелки, и равный по модулю площади параллелограмма, построенного на этих векторах:

Если векторы параллельны, то Для векторов ортогонального трехмерного базиса в соответствии с определением векторного произведения справедливы соотношения (рис. 1.7)

Вектор с можно представить в виде определителя:

Векторное произведение можно записать и в виде

где символы Леви-Чивита, которые удовлетворяют условиям: 1) если в числе индексов имеется хотя бы два одинаковых значения; 2) если индексы различны и являются циклической перестановкой чисел 1, 2, 3; если индексы различны и не соответствуют циклической перестановке чисел 1, 2, 3.

Рис. 1.6

Рис. 1.7

Рис. 1.8

Так как вектор с можно представить через проекции в виде

то, развернув определитель, получим выражения для проекций вектора с:

В качестве примера векторного произведения рассмотрим момент силы. Если сила приложена к материальной точке (рис. 1.8), то момент силы относительно точки О

Как следует из рис. равен удвоенной площади треугольника

Компоненты вектора с можно записать, воспользовавшись символами Леви-Чивита в виде

В прикладных задачах часто один из векторов в векторном произведении неизвестен, например вектор Для преобразований векторное произведение удобнее представить в виде

где А — кососимметричная матрица вида

Матрица А является вырожденной матрицей, так как ее определитель равен нулю, что необходимо иметь в виду при преобразованиях.