Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Алгебра векторов.Хотя действия с кватернионами во многом сходны с действиями над комплексными числами, все же отсутствие переместительного закона для умножения делает свойства кватернионов глубоко отличными от свойств чисел. Например, из алгебры комплексных чисел хорошо известно, что квадратное уравнение имеет два корня. Если же мы будем рассматривать хотя бы квадратное уравнение
в области кватернионов, то найдем сразу 6 его корней: Однако кватернионы дали толчок развитию векторной алгебры, являющейся незаменимым средством в современной технике и физике. Дело в том, что в механике и физике существенную роль играют понятия скорости, ускорения, силы и т. д., для характеристики которых нужны три числа. Выше мы видели, что каждый кватернион может быть рассматриваем как совокупность действительного числа а и векторной части Геометрически векторную часть Возьмем два векторных кватерниона С иным положением мы сталкиваемся при перемножении кватернионов. Действительно,
т. e., перемножая два векторных кватерниона, мы получаем полный кватернион, имеющий скалярную часть и векторную часть. Скалярная часть произведения векторных кватернионов, взятая с обратным знаком, называется скалярным произведением векторов, изображающих данные кватернионы, а вектор, изображающий векторную часть произведения, — векторным произведением указанных векторов. Скалярное произведение - векторов а и то
При помощи последних формул легко дать и геометрическое истолкование скалярному и векторному произведениям векторов. Оказывается, скалярное произведение двух векторов равно произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, а векторное произведение двух векторов есть вектор, по длине равный площади параллелограма, построенного на данных векторах, и направленный перпендикулярно площадке указанного параллелограма в ту сторону, откуда вращение от первого данного вектора ко второму кажется совершающимся в ту же сторону, что и вращение от оси В настоящее время в механике и физике не употребляются, как правило, действия с кватернионами, а вместо них рассматриваются лишь действия над векторами, причем эти действия определяются чисто геометрическим способом, следуя сформулированным только что результатам. В заключение укажем одну задачу из механики, решаемую при помощи кватернионов особенно красиво. Решение ее собственно и послужило одной из причин открытия кватернионов. Пусть твердое тело сначала поворачивается на некоторый угол Пусть тор Обратно, зная ось поворота и угол Рассмотрим теперь еще один поворот на угол вокруг некоторой оси
Поскольку умножение вектора, т. е. векторного кватерниона Помимо геометрических и физических приложений, кватернионы нашли замечательные приложения и в теории чисел. Из последующих работ в этой области следует отметить в особенности работы Ю. В. Линнпка.
|
1 |
Оглавление
|