§ 5. МЕРА МНОЖЕСТВ

Понятие меры множества является далеко идущим обобщением понятия длины отрезка. В простейшем случае (которым только мы и будем заниматься) задача состоит в том, чтобы дать определение длины не только для отрезков, но также и для более сложных точечных множеств, расположенных на прямой.

Примем за единицу измерения отрезок Тогда длина произвольного отрезка очевидно, равна Точно так же если имеется два непересекающихся отрезка то под длиной множества Е, состоящего из этих двух отрезков, естественно понимать число Однако далеко не так ясно, что следует понимать под длиной множества более сложной природы, расположенного на прямой; например, чему равна длина канторова множества Р, рассмотренного в § 4 этой главы? Отсюда вывод: понятие длины множества, расположенного на прямой, нуждается в строгом математическом определении.

Задача определения длины множеств, или, как говорят еще, задача измерения множеств, весьма важна, так как она имеет существенное значение для обобщения понятия интеграла. Понятие меры множества применяется и в других вопросах теории функций, а также в теории вероятностей, топологии, функциональном анализе и т. д.

Ниже излагается определение меры множеств, предложенное французским математиком А. Лебегом и лежащее в основе данного им определения интеграла.

Мера открытого и замкнутого множества.

Начнем с определения меры произвольного открытого или замкнутого множества. Как уже отмечалось в § 4, всякое открытое множество на прямой является конечной или счетной суммой попарно не пересекающихся интервалов.

Мерой открытого множества называется сумма длин составляющих его интервалов.

Таким образом, если

и интервалы попарно не пересекаются, то мера равна Обозначая вообще меру множества Е через можем написать

В частности, мера одного интервала равна его длине

Всякое замкнутое множество содержащееся в отрезке а такое, что концы отрезка принадлежат получается из отрезка путем удаления из него некоторого открытого множества . В соответствии с этим мерой замкнутого множества называется разность между длиной отрезка и мерой открытого множества дополнительного к F (относительно ).

Итак,

Нетрудно усмотреть, что, согласно этому определению, мера произвольного отрезка равна его длине

а мера множества, состоящего из конечного числа точек, равна пулю.