Топологические группы.

Наряду с широким развитием классической теории групп Ли в СССР исключительных успехов достигла более общая теория топологических или непрерывных групп. В отличие от понятия группы Ли, где требуется, чтобы элементы группы определялись конечной системой параметров и чтобы закон умножения выражался при помощи дифференцируемых функций, понятие топологической группы проще и шире. Именно, группа называется топологической, если для ее элементов, кроме обычной групповой операции определено понятие близости, при этом из близости элементов группы следует близость их произведений и близость обратных элементов.

Первоначально понятие топологической группы оказалось необходимым, чтобы привести в надлежащий порядок многие основные понятия теории групп Ли. Однако впоследствии обнаружилась чрезвычайно большая важность этого понятия и для других отделов математики. Первые работы по теории общих топологических групп относятся к началу 20-х годов нашего века, но фундаментальные результаты, позволившие говорить о возникновении новой дисциплины, были найдены лишь в конце 20-х начале 30-х годов. Значительная часть их была получена советским математиком Л. С. Понтрягиным, который заслуженно считается одним из создателей современной теории непрерывных групп. Его книга «Непрерывные группы», содержащая первое в мировой литературе сводное изложение теории непрерывных групп, остается основным руководством в этой области уже почти 20 лет.