Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 3. РАЗЛОЖЕНИЕ ПО ОРТОГОНАЛЬНЫМ СИСТЕМАМ ФУНКЦИЙОпределение и примеры ортогональных систем, функций.Если на плоскости выбрать какие-нибудь два взаимно перпендикулярных вектора
где
Аналогично, если в трехмерном пространстве выбрать какие-нибудь три взаимно перпендикулярных вектора
где
Рис. 7. В гильбертовом пространстве также можно рассматривать системы попарно ортогональных векторов этого пространства, т. е. функций Такие системы функций называются ортогональными системами функций и играют большую роль в анализе. Они встречаются в самых различных вопросах математической физики, интегральных уравнений, приближенных вычислений, теории функций действительного переменного и т. п. Упорядочение и объединение понятий, относящихся к таким системам, были одним из стимулов, приведших в начале XX в. к созданию общего понятия гильбертова пространства. Дадим точные определения. Система функций
называется ортогональной, если любые две функции этой системы ортогональны между собой, т. е. если
В трехмерном пространстве мы требовали, чтобы длины векторов системы равнялись единице. Вспомнив определение длины вектора, мы видим, что в случае гильбертова пространства это требование записывается так:
Система функций, удовлетворяющая требованиям (13) и (14), называется ортогональной и нормированной. Приведем примеры таких систем функций. 1. На интервале
Каждые две функции из этой последовательности ортогональны между собой. Это проверяется простым вычислением соответствующих интегралов. Квадрат длины вектора в гильбертовом пространстве есть интеграл от квадрата функции. Таким образом, квадраты длин векторов последовательности
суть интегралы
т. e. последовательность наших векторов ортогональна, но не нормирована. Длина первого вектора последовательности равна остальные имеют длину
Эта система является исторически одним из первых и наиболее важных примеров ортогональных систем. Она возникла в работах Эйлера, Д. Бернулли, Даламбера в связи с задачей о колебаниях струны. Ее изучение сыграло существенную роль в развитии всего анализа. Появление ортогональной системы тригонометрических функций в связи с задачей о колебаниях струны не случайно. Каждая задача о малых колебаниях среды приводит к некоторой системе ортогональных функций, описывающих так называемые собственные колебания данной системы (см. § 4). Например, в связи с задачей о колебаниях сферы появляются так называемые сферические функции, в связи с задачей о колебаниях круглой мембраны или цилиндра появляются так называемые цилиндрические функции и т. д. 2. Можно привести пример ортогональной системы функций, каждая функция которой является многочленом. Таким примером является последовательность многочленов Лежандра
т. е.
Очевидно, что вообще Общую теорию ортогональных многочленов (так называемые ортогональные многочлены с весом) развил замечательный русский математик П. Л. Чебышев во второй половине XIX в. Разложение по ортогональным системам функций. Подобно тому как в трехмерном пространстве каждый вектор можно представить в виде линейной комбинации трех попарно ортогональных векторов
в функциональном пространстве возникает задача о разложении произвольной функции
При этом сходимость ряда (15) к функции
Такая сходимость называется обычно «сходимостью в среднем». Разложения по тем или иным системам ортогональных функций часто встречаются в анализе и являются важным методом для решения задач математической физики. Так, например, если ортогональная система есть система тригонометрических функций на интервале
то такое разложение есть классическое разложение функции в тригонометрический ряд
Предположим, что разложение (15) возможно для любой функции
из которого в силу того, что
Мы видим, что, как и в обычном трехмерном пространстве (см. начало этого параграфа), коэффициенты Вспоминая определение скалярного произведения, получаем, что коэффициенты разложения функции
определяются по формулам
В качестве примера рассмотрим ортогональную нормированную тригонометрическую систему функций, приведенную выше:
Тогда
где
Мы получили формулу для вычисления коэффициентов разложения функции в тригонометрический ряд в предположении, конечно, что это разложение возможно. Мы установили вид коэффициентов разложения (18) функции Ортогональная система функций называется полной, если к ней нельзя добавить ни одной, не равной тождественно нулю функции, ортогональной ко всем функциям системы. Легко привести пример неполной ортогональной системы. Для этого возьмем какую-нибудь ортогональную систему, например ту же систему тригонометрических функций, и исключим одну из функций этой системы, например
будет по прежнему ортогональной, Если система функций не полна, то не всякую функцию из гильбертова пространства можно по ней разложить. Действительно, если мы попытаемся разложить по такой системе нулевую функцию Имеет место следующая теорема: если задана полная ортогональная и нормированная система функций в гильбертовом пространстве
При этом коэффициенты
Имеющаяся в § 2 теорема Пифагора в гильбертовом пространстве позволяет найти интересное соотношение между коэффициентами
Функция
Так как Итак, в равенстве
отдельные слагаемые правой части ортогональны между собой. Значит, в силу теоремы Пифагора, сформулированной в § 2, квадрат длины вектора
Так как система функций
Ряд
т. е., что
Но тогда из формулы (20) мы получаем равенство
утверждающее, что интеграл квадрата функции равен сумме квадратов коэффициентов ее разложения по замкнутой ортогональной системе функций. Условие (21), если оно имеет место для любой функции из гильбертова пространства, называется условием полноты. Обратим внимание еще на следующее важное обстоятельство. Какие числа Равенство (21) утверждает, что для этого должен сходиться ряд чисел Заметим, что эта существенная теорема имеет место, если определить гильбертово пространство как совокупность всех функций с ивтегрируемым квадратом в смысле Лебега (см. § 2, стр. 223). Если в гильбертовом пространстве ограничиться только, например, непрерывными функциями, то решение вопроса о том, какие числа а могут служить коэффициентами разложения, было бы ненужным образом весьма усложнено. Приведенные здесь соображения являются лишь одной из причин, приведших к необходимости использовать при определении гильбертова пространства интегралы в обобщенном (по Лебегу) смысле.
|
1 |
Оглавление
|