§ 6. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА

Переходим к центральному вопросу этой главы — определению и описанию свойств интеграла Лебега.

Чтобы понять принцип устройства этого интеграла, рассмотрим Следующий пример. Пусть имеется большое количество монет различного достоинства и требуется сосчитать общую сумму денег, заключенную в этих монетах. Это можно сделать двумя способами. Можно откладывать монеты подряд и прибавлять стоимость каждой новой монеты к общей стоимости всех ранее отложенных. Однако можно поступить и иначе: сложить монеты стопочками так, чтобы в каждой стопочке были монеты одного достоинства, затем сосчитать число монет в каждой стопочке, умножить это число на стоимость соответствующей монеты, а затем сложить полученные числа. Первый способ счета денег соответствует процессу интегрирования Римана, а второй — процессу интегрирования Лебега.

Переходя от монет к функциям, мы можем сказать, что для вычисления интеграла Римана производится деление на мелкие части области задания функции (оси абсцисс; рис. 2а), а для вычисления интеграла Лебега производится деление области значений функции (оси ординат; рис. 26). Последний принцип применялся практически задолго до Лебега при вычислении интегралов от функций, имеющих колебательный характер, однако Лебег впервые развил его во всей общности и дал его строгое обоснование при помощи теории меры.

Рассмотрим, как связаны между собою мера множеств и интеграл Лебега. Пусть Е — какое-либо измеримое множество, расположенное на некотором отрезке Построим функцию равную 1 для

принадлежащих Е, и равную 0 для х, не принадлежащих Е.

Рис. 2а.

Рис. 2б.

Иными словами, положим

Фунцкию принято называть характеристической функцией множества Е. Рассмотрим интеграл

Мы уже привыкли считать, что интеграл равен площади фигуры ограниченной осью абсцисс, прямыми и кривой [см. главу II (том 1)]. Так как в данном случае «высота» фигуры D отлична от нуля и равна 1 для точек и только для этих точек, то (согласно формуле, площадь равна длине, умноженной на ширину) ее площадь должна быть численно равна длине (мере) множества Е. Итак, должно быть равно мере множества Е

Именно так и определяет Лебег интеграл от функции

Читатель должен твердо уяснить себе, что равенство (6) является определением интеграла как интеграла Лебега. Может случиться, что интеграл I не будет существовать в том смысле, как это понималось в главе II (том 1), т. е. как предел интегральных сумм. Даже если это последнее имеет место, интеграл I как интеграл Лебега существует и равен

В качестве примера подсчитаем интеграл от функции Дирихле равной 0 в рациональных точках отрезка [0, 1] и равной 1 в иррациональных точках этого отрезка. Так как, согласно (5), мера множества иррациональных точек отрезка (0, 1] равна 1, то интеграл Лебега

равен 1. Нетрудно проверить, что интеграл Римана от зтой функции не существует.