Глава XVII. АБСТРАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

С тех пор как Н. И. Лобачевский впервые показал возможность неэвклидовой геометрии и выдвинул новое представление об отношении геометрии к материальной действительности, предмет геометрии, ее методы и применения чрезвычайно расширились. Теперь математики изучают разные «пространства»: наряду с эвклидовым пространством рассматривается пространство Лобачевского, проективное пространство, различные -мерные и даже бесконечномерные пространства, римановы, топологические и другие пространства; число таких пространств неограничено, и каждое из них имеет свои свойства, свою «геометрию». В физике используют понятия о так называемых фазовых и конфигурационных «пространствах»; теория относительности применяет представление о кривизне пространства и другие выводы абстрактных геометрических теорий.

Как и откуда возникли эти математические абстракции? Какое реальное основание, какое реальное значение и применение они имеют? Каково их отношение к действительности? Как они определяются и как их рассматривают в математике? Какое значение в математике имеют общие идеи современной геометрии?

На эти вопросы должна ответить настоящая глава. В ней не будут излагаться сами теории абстрактных математических пространств; это требовало бы гораздо большего объема изложения и гораздо большего обращения к специальному математическому аппарату. Задача состоит в том, чтобы выяснить сущность новых идей геометрии, т. е. ответить на поставленные вопросы, а это можно сделать без сложных доказательств а формул.

История нопроса восходит истоками к «Началам» Эвклида, к аксиоме или, как говорят еще, к постулату о параллельных линиях.

§ 1. ИСТОРИЯ ПОСТУЛАТА ЭВКЛИДА

В своих «Началах» Эвклид формулировал основные предпосылки геометрии в виде так называемых постулатов и аксиом. Среди них содержался V постулат (в других списках «Начал» — XI аксиома), который теперь формулируют обычно следующим образом: «Через точку, не лежащую

на данной прямой, нельзя провести более одной прямой, параллельной данной». Напомним, что прямая называется параллельной данной прямой, если обе прямые лежат в одной плоскости и не пересекаются, причем, говоря так, имеют в виду бесконечные прямые, а не конечные их отрезки.

Легко доказать, что через точку А, не лежащую на данной прямой а, всегда можно провести хотя бы одну прямую, параллельную данной.

Действительно, опустим из точки А перпендикуляр на прямую а и проведем через А прямую с перпендикулярно (рис. 1). Полученная фигура будет вполне симметрична относительно линии так как углы, образуемые прямой по обе ее стороны с прямыми а и с, равны. Поэтому, перегибая плоскость по линии мы приведем половины прямых а и с в совпадение. Отсюда видно, что если бы а и с пересекались с одной стороны от то они должны были бы пересекаться также с другой стороны. Выходило бы, что прямые а и с имеют две общие точки, а это невозможно, так как по основному свойству прямой через две точки может проходить только одна прямая (так что прямые, имеющие две общие точки, необходимо должны совпадать).

Рис. 1.

Итак, из основных свойств прямой и движения фигур (поскольку перегибание по линии есть вращение полуплоскости вокруг этой линии) следует, что хотя бы одна параллель к данной прямой всегда проходит через данную точку. Постулат же Эвклида дополняет этот вывод утверждением, что такая параллель только одна, никакой другой быть не может.

Среди других постулатов (аксиом) геометрии этот постулат занимает несколько особое место. У самого Эвклида он формулировался довольно сложно, но даже в приведенной выше обычной его форме он содержит известную трудность. Эта трудность заключается уже в самом понятии параллельных прямых: здесь речь идет о всей прямой. Но как убедиться, что данные прямые параллельны? Для этого нужно как бы пройти их в обе стороны «до бесконечности» и убедиться, что они нигде на всем бесконечном протяжении не пересекаются. Ясно, что такое представление имеет свою трудность. Все это, повидимому, и послужило причиной что постулат о параллельных занял уже у самого Эвклида несколько особое положение: в его «Началах» этот постулат применяется только начиная с предложения, в то время как в первых 28 предложениях Эвклид обходился без него. Ввиду сложности постулата желание обойтись бег него могло возникнуть довольно естественно, и поэтому еще в древности полнились попытки изменить определение параллельных линий, изменить

самую формулировку постулата или, что было бы лучше всего, вывести его как теорему из других аксиом и основных понятий геометрии.

Так, теория параллельных линий, основанная на V постулате, стала предметом комментирования и разработки в трудах многих геометров, начиная с древности. В цепи этих исследований главной задачей было вовсе избавиться от V постулата, выведя его как теорему из других основных положений геометрии.

Этой задачей занимались многие геометры: грек Прокл (V в. н. э.), комментировавший Эвклида, иранец Насирэддин Туси (ХIII в.), англичанин Валлис (1616—1703), итальянец Саккери (1667—1733), немецкий философ и математик Ламберт (1728—1777), француз Лежандр (1752— 1833) и многие другие; все они на протяжении более чем двух тысяч лет, прошедших со времени появления эвклидовых «Начал», изощрялись в тонкости и геометрическом остроумии, пытаясь доказать V постулат.

Однако результат этих попыток неизменно оставался отрицательным. Каждый раз выяснялось, что автор того или иного доказательства фактически опирался на какое-нибудь предположение, может быть, и очевидное, но вовсе не вытекающее с логической необходимостью из других предпосылок геометрии. Иными словами, дело сводилось каждый раз к замене V постулата другим утверждением, из которого этот постулат действительно вытекал, но которое само требовало доказательства

Глубже других в задачу проникли Саккери и Ламберт. Саккери первый попытался доказать V постулат от противного, т. е. он принял за исходное противоположное утверждение и, развивая из него следствия, надеялся придти к противоречию. Дойдя в этих выводах до результатов, казавшихся совершенно невообразимыми, он подумал, что решил задачу. Но ошибся, потому что противоречие с наглядным представлением не означает еще логического противоречия. Задача ведь состояла в логическом доказательстве эвклидова постулата на основе других положений геометрии, а не в том, чтобы еще раз убедиться в его наглядной верности. Этот постулат и сам по себе наглядно достаточно убедителен. Но, повторяем, наглядная убедительность и логическая необходимость вещи различные.

Ламберт оказался более глубоким мыслителем, чем Саккери и его предшественники. Идя по тому же пути, он не нашел логического противоречия и не допустил ошибки других; он не заявил, будто доказал

V постулат. Но и после него еще в начале XIX в. Лежандр снова «доказывает» V постулат, впадая в старую ошибку: постулат он опять-таки заменяет другими утверждениями, которые сами требуют доказательства.

Итак, к началу XIX в. проблема доказательства V постулата оставалась так же не решенной, как было во времена Эвклида. Усилия оставались тщетными, и задача, казалось, не продвинулась. Поистине то была глубокая загадка геометрии: задача, разрешимость которой казалась несомненной лучшим геометрам, никак не поддавалась решению в течение двух тысяч лет.

Теория параллельных стала в XIX в. одной из центральных задач геометрии. Ею занимались многие геометры: Гаусс, Лагранж, Даламбер, Лежандр, Вахтер, Швейкарт, Тауринус, Фаркаш Бойаи и другие.

Однако доказательство постулата не удается. В чем же дело: в неумении ли решить задачу, или, может быть, задача неверно поставлена? Этот вопрос уже начинал возникать перед некоторыми из геометров, превосходившими других глубиной мысли. Гаусс, знаменитейший немецкий математик, бьется над задачей начиная с 1792 г. и постепенно перед ним вырисовывается правильная постановка вопроса. Наконец, он решается отказаться от V постулата и начиная с 1813 г. развивает последовательность теорем, выводимых из противоположного утверждения. Несколько позже тем же путем идут немецкие математики Швейкарт в бытность его профессором права в Харькове и затем Тауринус. Но никто из них не нашел окончательного ответа на вопрос. Гаусс тщательно скрывал свои исследования, Швейкарт ограничился частным письмом к Гауссу, и лишь Тауринус выступил в печати с элементами новой геометрии, основанной на отрицании V постулата. Однако он сам исключал возможность такой геометрии. Таким образом, никто из них не решил задачи, и вопрос о правильности всей ее постановки оставался без ответа. Ответ впервые был дан Н. И. Лобачевским, молодым профессором Казанского университета: 23 февраля 1826 г. он прочел в заседании физико-математического факультета доклад о теории параллельных, а в 1829 г. опубликовал его содержание в журнале Казанского университета.