Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Представления ассоциативных алгебр.Пусть каждой величине некоторой алгебры А над полем Р отнесена определенная величина какой-либо алгебры В над тем же полем Р. Если при этом сумме и произведению каждых двух элементев алгебры А отвечают сумма и произведение соответствующих элементов алгебры В и произведению каждого элемента поля Р на произвольный элемент алгебры А отвечает произведение того же элемента поля Р на соответствующий элемент алгебры В, то говорят, что алгебра А отображена гомоморфно в алгебру В. Гомоморфное отображение ассоциативной алгебры в алгебру матриц порядка алгебр имеет значительный интерес. Мы рассмотрим здесь только самые простые способы нахождения представлений алгебр, которые, однако, играют важную роль в общей теории. Выберем в заданной ассоциативной алгебре А какой-либо базис
Как видим, при фиксированном базисе с каждым элементом а может быть сопоставлена определенная матрица Комплексные числа можно рассматривать как алгебру ранга 2 над полем действительных чисел с базисом
показывают, что в соответствующем регулярном представлении комплексному числу а
Указанные представления комплексных чисел и кватернионов являются точными (т. е. изоморфными самой алгебре). Примеры показывают, однако, что регулярное представление не всегда точное. Но если алгебра содержит единицу, то ее регулярное представление заведомо точное. Легко показать, что всякую ассоциативную алгебру можно включить в алгебру с единицей. Регулярное представление объемлющей алгебры будет точным; следовательно, это представление будрт точным и для данной алгебры. Таким образом, всякая ассоциативная алгебра обладает точным представлением матрицами. Указанный способ нахождения представлений недостаточен для построения всех представлений алгебры. Более тонкий способ связан с понятием идеала алгебры, которое вообще играет большую роль в современной математике. Система I элементов некоторой алгебры называется правым идеалом, если она есть линейное подпространство алгебры и произведение любого элемента из I на любой элемент алгебры снова содержится в I. Аналогично (с переменой порядка множителей) определяется левый идеал. Идеал, являющийся одновременно левым и правым, называется двусторонним. Ясно, что нулевой элемент алгебры сам по себе уже образует двусторонний идеал — так называемый нулевой идеал алгебры. Так же и вся алгебра может рассматриваться как свой собственный двусторонний идеал. Однако, кроме этих двух тривиальных идеалов, алгебра может содержать и другие идеалы, существование которых обычно связано с интересными свойствами алгебры. Пусть ассоциативная алгебра А содержит правый идеал I. Выберем в этом идеале базис
Сопоставляя с элементом а матрицу
|
1 |
Оглавление
|