Представления ассоциативных алгебр.

Пусть каждой величине некоторой алгебры А над полем Р отнесена определенная величина какой-либо алгебры В над тем же полем Р. Если при этом сумме и произведению каждых двух элементев алгебры А отвечают сумма и произведение соответствующих элементов алгебры В и произведению каждого элемента поля Р на произвольный элемент алгебры А отвечает произведение того же элемента поля Р на соответствующий элемент алгебры В, то говорят, что алгебра А отображена гомоморфно в алгебру В. Гомоморфное отображение ассоциативной алгебры в алгебру матриц порядка называется представлением алгебры А степени . Если различным элементам алгебры А отвечают различные матрицы, то представление называется точным или изоморфным. Когда алгебра А представлена изоморфно матрицами, можно считать, что действия над величинами алгебры сводятся к действиям над соответствующими матрицами. Поэтому задача нахождения представлений

алгебр имеет значительный интерес. Мы рассмотрим здесь только самые простые способы нахождения представлений алгебр, которые, однако, играют важную роль в общей теории.

Выберем в заданной ассоциативной алгебре А какой-либо базис и пусть произвольная величина из А. Произведения являются снова величинами из А и потому должны выражаться линейно через Пусть

Как видим, при фиксированном базисе с каждым элементом а может быть сопоставлена определенная матрица Весьма простой подсчет показывает, что это сопоставление является представлением алгебры А. Это представление часто называют регулярным представлением алгебры А. Степень его очевидно равна рангу алгебры.

Комплексные числа можно рассматривать как алгебру ранга 2 над полем действительных чисел с базисом Равенства

показывают, что в соответствующем регулярном представлении комплексному числу а отвечает матрица Аналогичное представление кватернионов имеет вид

Указанные представления комплексных чисел и кватернионов являются точными (т. е. изоморфными самой алгебре). Примеры показывают, однако, что регулярное представление не всегда точное. Но если алгебра содержит единицу, то ее регулярное представление заведомо точное.

Легко показать, что всякую ассоциативную алгебру можно включить в алгебру с единицей. Регулярное представление объемлющей алгебры будет точным; следовательно, это представление будрт точным и для данной алгебры. Таким образом, всякая ассоциативная алгебра обладает точным представлением матрицами.

Указанный способ нахождения представлений недостаточен для построения всех представлений алгебры. Более тонкий способ связан

с понятием идеала алгебры, которое вообще играет большую роль в современной математике.

Система I элементов некоторой алгебры называется правым идеалом, если она есть линейное подпространство алгебры и произведение любого элемента из I на любой элемент алгебры снова содержится в I. Аналогично (с переменой порядка множителей) определяется левый идеал. Идеал, являющийся одновременно левым и правым, называется двусторонним. Ясно, что нулевой элемент алгебры сам по себе уже образует двусторонний идеал — так называемый нулевой идеал алгебры. Так же и вся алгебра может рассматриваться как свой собственный двусторонний идеал. Однако, кроме этих двух тривиальных идеалов, алгебра может содержать и другие идеалы, существование которых обычно связано с интересными свойствами алгебры.

Пусть ассоциативная алгебра А содержит правый идеал I. Выберем в этом идеале базис Так как I составляет в общем случае лишь часть А, то базис I будет иметь, [как правило, меньше элементов, чем базис А. Пусть произвольный элемент из А. Так как I правый идеал и содержатся в то произведения также содержатся в I и, значит, выражаются линейно через базис т. е.

Сопоставляя с элементом а матрицу получим, как и ранее представление алгебры А. Степень этого представления равна числу элементов идеала I и, следовательно, в общем случае будет меньшей, чем степень регулярного представления. Очевидно, степень представления, полученного при помощи идеала, будет наименьшей, если сам идеал будет минимальным. Отсюда можно понять особую роль минимальных идеалов в теории алгебр.