Ортогональное преобразование квадратичных форм к каноническому виду.

Среди всевозможных способов приведения квадратичной формы к каноническому виду особый интерес представляют ортогональные преобразования, т. е. осуществляющиеся посредством линейного преобразования переменных с ортогональной матрицей. Именно такие преобразования представляют интерес, например, в аналитической геометрии — в задаче о приведении общего уравнения кривой или поверхности порядка к каноническому виду.

Для того, чтобы убедиться в возможности такого преобразования, целесообразно рассматривать квадратичную форму как функцию от вектора в эвклидовом пространстве, рассматривая переменные

как координаты переменного вектора относительно некоторого ортонормального базиса. Тогда ортогональное преобразование переменных интерпретируется как переход от одного ортонормального базиса к другому.

Свяжем с квадратичной формой

линейное преобразование А, имеющее но отношению к выбранному базису матрицу . Тогда сама квадратичная форма может рассматриваться как скалярное произведение (где X — вектор с координатами ), а ее коэффициенты — как скалярные произведения где — выбранный ортонормальный базис.

Легко видеть, что вследствие симметрии матрицы А для любых векторов X и имеет место равенство

Докажем прежде всего, что преобразование А имеет по крайней мере одно действительное собственное число и соответствующий ему собственный вектор.

Для этого рассмотрим значения формы в предположении, что вектор X пробегает единичную сферу, т. е. совокупность всех единичных векторов. При этих условиях форма будет иметь максимум. Покажем, что этот максимум есть собственное число преобразования А, а вектор для которого этот максимум достигается, есть соответствующий собственный вектор, т. е.

Доказательство этого утверждения проведем косвенными средствами, установив, что вектор ортогонален ко всем векторам, ортогональным

Заметим, что для любого вектора справедливо неравенство . Это очевидно из того, что есть единичный вектор, — максимум значения формы на единичной сфере. Рассмотрим , где — некоторое действительное число, — произвольный вектор, ортогональный к вектору Тогда

Кроме того,

ибо

Следовательно,

откуда, поделив на получим

Последнее неравенство должно выполняться при любом действительном сколь угодно малом по абсолютной величине.

Но оно может выполняться только при условии так как если то неравенство (14) невозможно при достаточно малом положительном если же то оно невозможно при достаточно малом по абсолютной величине отрицательном е. Итак, действительно ортогонален ко всякому вектору, ортогональному к Следовательно, коллинеарны, т. е. , где X — некоторое действительное число. То, что легко проверить, именно

Теперь легко доказать, что каждая квадратичная форма действительно может быть приведена к каноническому виду посредством ортогонального преобразования.

Пусть — исходный ортонормальный базис пространства, — новый ортонормальный базис, в котором первый вектор равен собственному вектору преобразования А. Пусть — координаты вектора X в исходном базисе, а

— его же координаты в новом базисе. Тогда

где Р — ортогональная матрица.

Сделаем в квадратичной форме переход к новым переменным. В новых переменных квадратичная форма будет иметь коэффициенты Следовательно,

т. е. форма имеет вид

Итак, за счет ортогонального преобразования нам удалось выделить один квадрат новой переменной.

Проведя те же рассуждения с новой формой и т. д., мы придем в конце концов к тому, что форма посредством цепочки ортогональных преобразований окажется приведенной к каноническому виду. Но очевидно, что цепочка ортогональных преобразований равносильна одному ортогональному же преобразованию. Тем самым теорема доказана.