3.5. Независимые случайные величины

В § 2.5 мы назвали эксперименты независимыми, если их совместные вероятности выражаются в виде произведений соответствующих вероятностей для отдельных экспериментов. Так, эксперименты А и В, имеющие соответственно К и М попарно несовместимых исходов называются независимыми, если для всех значений и удовлетворяются соотношения

Пусть теперь исходы экспериментов А и В задаются дискретными случайными величинами х и у, причем х принимает значение когда происходит событие а у — значение у, когда происходит событие . Тогда

Мы назовем х и у независимыми случайными величинами, если задаваемые ими эксперименты независимы. Итак, дискретные случайные величины х и у, принимающие соответственно значений и М значений называются независимыми тогда и только тогда, когда для всех значений и выполняется соотношение

Из равенств (3.7) и (3.37) находим, что в случае независимости случайных величин х и у

Используя равенство (3.5), получаем, что если х и у — независимые случайные величины, то для всех значений X и Y выполняется соотношение

Легко показать, что справедливо и обратное: если соотношение (3.38) выполнено для всех X и Y, то соотношение (3.37) выполняется для всех . Итак, дискретные случайные величины независимы тогда и только тогда, когда соотношение (3.38) выполняется для всех значений X и Y.

Соотношение (3.37) применимо только к дискретным случайным величинам; тем не менее соотношение (3.38) может выполняться как для дискретных случайных величин х и у, так и для непрерывных или смешанных. Поэтому в основу нашего общего определения независимости случайных величин мы положим соотношение (3.38):

Определение. Случайные величины х, называются независимыми в том и только в том случае, если равенство

выполняется для всех значений

Предположим теперь, что х и у — непрерывные случайные величины, имеющие плотности распределений вероятностей. Тогда равенство (3.38) можно будет переписать в виде

Вычисляя смешанную вторую частную производную от обеих частей равенства (по X и Y), получаем

Наоборот, интегрируя последнее равенство, мы можем получить соотношение (3.38). Таким образом, представимость совместной плотности в виде произведения является необходимым и достаточным условием для независимости случайных величин х и у. Аналогично можно показать, что случайные величины независимы тогда и только тогда, когда равенство

выполняется для всех значений х, у, ..., z.