6.3. Спектральная плотность периодического вероятностного процесса

Стационарный в широком смысле вероятностный процесс с выборочными функциями называется периодическим с периодом Т, если его корреляционная функция периодична с периодом Т. Из этого следует (см. задачу 2), что случайные величины и

с вероятностью единица равны друг другу при любом Если все выборочные функции или даже почти все, за исключением множества функций, появляющегося с вероятностью нуль являются периодическими, то процесс периодичен в смысле, определенном выше.

Пусть - выборочные функции стационарного в широком смысле периодического вероятностного процесса с периодом Т. Предположим для удобства, что среднее значение равно нулю. Тогда, если выборочные функции являются периодическими и могут быть разложены в ряды Фурье, мы получим

где

Для различных выборочных функций выражение (6.19) дает различные значения т. е. в соответствии с рассуждениями § 4.7, если рассматривать целый ансамбль выборочных функций, то выражение (6.19) задаст как случайную величину. Из теоремы, сформулированной в § 4.7, следует, что интеграл (6.19) существует с вероятностью единица, и можно показать, что выполняется соотношение, аналогичное равенству (6.18); точнее,

где понимается в статистическом смысле, так же, как в § 4.6. Равенство (6.20) представляет собой в действительности частный случай более общего результата, который мы рассмотрим в следующем параграфе. Приведенные формулы аналогичны равенствам (6.2) и (6.3), однако теперь коэффициенты Фурье являются случайными величинами, а не числами.

Для большинства вычислений, производимых со случайными рядами Фурье, т. е. с рядами вида (6.18), особенно удобно, если ряды обладают свойством двойной ортогональности, т. е. если не только функции от времени, задаваемые членами ряда, при являются ортогональными, но и в дополнение к этому Покажем, что периодичность вероятностного процесса является достаточным условием для того, чтобы при величины были не коррелированы между собой.

Используя (6.19), имеем

где, в силу периодичности функции можно написать, что для всех

Подставляя (6.22) в (6.21) и учитывая, что аргумент здесь изменяется от -Т до +Т, т. е. в пределах двух периодов функции получаем

Выражение (6.23) показывает не только некоррелированность при но, совместно с (6.22), и то, что коэффициент Фурье для корреляционной функции равен дисперсии (случайного) коэффициента Фурье для Этот результат является статистическим аналогом того факта, что для периодической функции коэффициент Фурье ее корреляционной функции равен абсолютной величине квадрата коэффициента Фурье функции

Энергию шумового сигнала, представленного вероятностным процессом, наиболее естественно определить как математическое ожидание энергии выборочных функций этого процесса. Тогда для энергии шумового сигнала за интервал времени Т имеем

Средняя по времени энергия сигнала равна По аналогии с определением, введенным в § 6.2, мы определим спектральную плотность периодического вероятностного процесса равенством

где

Здесь равно математическому ожиданию мощности компонент выборочных функций частоты Преобразование Фурье от корреляционной функции равно

Итак, как и в § 6.2, мы видим, что спектральная плотность является преобразованием Фурье от корреляционной функции, хотя в § 6.2 корреляционная функция была временным средним, а в этом параграфе она является математическим ожиданием. Мы будем в действительности определять спектральную плотность как преобразование Фурье корреляционной функции произвольного стационарного в широком смысле процесса; результаты, полученные в настоящем параграфе, могут служить эвристическим оправданием такого определения. Прежде, однако, чем рассматривать этот вопрос, мы рассмотрим в следующем параграфе задачу о представлении в конечном интервале времени произвольного непериодического вероятностного процесса рядами ортогональных функций со случайными коэффициентами.