4.5. Корреляционные функции

Пусть — случайные величины, задающие значения, которые могут принимать выборочные функции данного вероятностного процесса соответственно в моменты времени Замечания, высказанные в предыдущем параграфе относительно корреляции, применимы к этой паре случайных величин так же, как и к любой другой паре. Однако, так как совместное распределение случайных величин может меняться с изменением , то поэтому среднее может быть функцией обоих моментов времени. Для того чтобы указать на такую зависимость от времени, мы назовем это среднее корреляционной функцией случайного процесса и обозначим символом Таким образом, если рассматриваемый вероятностный процесс является действительным, то мы имеем

Для комплексного вероятностного процесса мы положим

где звездочка означает переход к комплексно сопряженной величине. В применении к действительному вероятностному процессу равенство (4.466), конечно, переходит в (4.46 а).

Если является функцией моментов времени то это имеет место и для коэффициента корреляции. Мы будем называть коэффициент корреляции величин нормированной корреляционной функцией данного вероятностного процесса и обозначим ее символом Для действительного случайного процесса

и, следовательно,

где

Если вероятностный процесс стационарен, то совместное распределение вероятностей случайных величин зависит не от самих значений а только от разности

Корреляционная функция оказывается тогда функцией только от промежутка времени и мы можем написать, что

для всех Соответствующая нормированная корреляционная функция имеет вид

где так как мы имеем дело со стационарным вероятностным процессом.

Некоторые вероятностные процессы не являются стационарными в узком смысле (т. е. их распределения вероятностей не являются инвариантными относительно сдвига начала отсчета времени), но тем не менее имеют корреляционные функции, удовлетворяющие соотношению (4.49), и их средние являются постоянными функциями времени. Такие вероятностные процессы называются стационарными в широком смысле. Очевидно, что вероятностный процесс, стационарный в узком смысле, является также стационарным в широком смысле.

Рассмотрим теперь два не обязательно действительных вероятностных процесса с выборочными функциями соответственно Пусть каждый из этих процессов имеет соответственно корреляционные функции . В дополнение к ним мы можем определить две взаимные корреляционные функции:

Корреляция между значениями выборочных функций в два различных момента времени задается тогда корреляционной матрицей

В общем случае потребуется корреляционная матрица порядка N для того, чтобы задать корреляции в два момента времени для совокупности N вероятностных процессов или в N моментов времени для совокупности двух процессов.

Некоторые общие свойства. Предположим, что вероятностные процессы с выборочными функциями стационарны каждый по отдельности и совместно (по крайней мере в широком

смысле). Тогда, полагая имеем

Так как оба процесса стационарны, эти средние инвариантны по отношению к переносу начала отсчета времени. Следовательно,

и

Итак, корреляционная функция стационарного действительного вероятностного процесса является четной функцией своего аргумента. Взаимные корреляционные функции двух таких процессов могут быть и могут не быть четными.

Предположим на время, что действительные вероятностные процессы с выборочными функциями не обязательно стационарны. Поскольку — действительные функции времени и поскольку квадрат действительной функции неотрицателен,

Раскрывая скобки, мы можем получить следующий результат:

и аналогично

Для стационарных вероятностных процессов эти неравенства принимают вид

и

Пример 4.5.1. Чтобы лучше освоить понятие корреляционной функции, рассмотрим один специальный пример — пример «случайного телеграфного сигнала», изображенного на фиг. 4.2. Значение этого сигнала в любой момент времени с равной вероятностью равно нулю или единице, и скачки от одного значения к другому происходят случайным и независимым образом. Следовательно,

Пусть вероятность того, что в интервале времени длины Т происходит к скачков, задается распределением Пуассона

где а — среднее число скачков за единицу времени.

Здесь дискретные случайные величины, принимающие два возможных значения — нуль и единица. Следовательно,

Фиг. 4.2 Случайный телеграфный сигнал.

Вероятность того, что равна вероятности того, и за время от до t происходит четное количество скачков. Следовательно,

ибо вероятность того, что к примет некоторое конкретное значение, независит от значения . Поскольку принимает значения нуль и единица с равными вероятностями,

Используя распределение Пуассона для получаем

Этот ряд мы можем записать в следующем виде:

Подставляя это выражение в предыдущею формулу для корреляционное функции, мы получаем

в качестве выражения для корреляционной функции случайного телеграфного сигнала. График этой функции приведен на фиг. 4.3.

Фиг. 4.3. Корреляционная функция случайного телеграфного сигнала.

Предельные значения корреляционной функции равны

для

для Правое равенство в (4.60) вытекает из (4 56).